Riccati矩阵方程的对称自反解的迭代算法

1、Riccati矩阵方程的对称自反解的迭代算法*陈世军* 基金项目：2018年福建省教育厅中青年教育科研项目：（JZ180190）福建工程学院应用技术学院2018年科研项目（YYJS-JB1808） 作者简介：陈世军（1983-），男，讲师，硕士，研究方向：计算数学 Email:(福建工程学院应用技术学院，福建福州 350001)摘要：研究了Riccati矩阵方程的对称自反解解问题，用牛顿算法将Riccati矩阵方程的对称自反解转化为线性矩阵方程的对称自反解，采用变形共轭梯度算法（MCG）解决了线性矩阵方程的对称自反解或者是最小二乘解问题算例表明，该算法是有效的关键词：Riccati矩阵方程；对

2、称解；自反解；修正共轭梯度法MR(2000) 主题分类号：65F10，15A24 中图分类号：0241.6 1 引言时滞系统1的故障诊断经常出现在生物系统、神经网络、网络控制系统中，在这些问题中会遇到求解形如方程（1）的含有两个矩阵变量的Riccati矩阵方程 （1）其中当时，方程（1）就是广义Sylvester矩阵方程，梁开福、杨晓晓、张翔2-4等研究了此类矩阵方程特殊解和解的性质李靖雅、黄敬频9-11等研究了非线性矩阵方程组的无导数投影法的收敛速度MCG算法是一种研究矩阵方程（组）特殊解的有效算法，张凯院等5-8建立了基于MCG算法求解Riccati矩阵方程的牛顿-MCG算法在文献7中，张

3、凯院等研究了Riccati矩阵方程（1）的对称解，即方程（1）中的均为对称矩阵本文拟借鉴文献7的方法，将牛顿-MCG算法应用于求方程（1）的对称自反解，即方程（1）中的为对称矩阵，为自反矩阵，也称为一组异类约束解，建立求方程（1）的对称自反解的迭代算法定义1 设矩阵满足且，若矩阵使得，称为关于矩阵的自反矩阵，用表示关于矩阵的自反矩阵集合用表示实矩阵集合，定义同阶实矩阵与的内积为，矩阵的F范数为了书写方便，对称矩阵集合记为，自反矩阵集合记为，则，记为，称为一组对称自反约束解2 求Riccati矩阵方程(1)对称自反解的牛顿算法为了书写简洁，引进以下记号, , , 因为 所以记 容易导出 （2）这

4、里是在“点”沿着“方向”的Frechet导数引理1 设是方程（1）的近似解，那么，求Riccati矩阵方程（1）的一组解等价于求校正值使得，并可以线性化为求使得 （3）下面给出求Riccati矩阵方程（1）解的牛顿算法：第1步：给定初始矩阵，置;第2步：如果，停止；否则，求，使得第3步：计算，置，转第2步.3 求线性矩阵方程（3）对称自反解以及最小二乘解的MCG算法记 ,下面建立求方程（3）的对称自反解的MCG算法，考虑方程（3）的一般形式为 （4）其中.问题 设线性矩阵方程（4）有解，求，使满足方程（4）问题 设线性矩阵方程（4）无解，求，使 （5）3.1 求解问题的MCG算法借鉴文献7的算

5、法原理，建立求解问题的MCG算法如下引入记号：算法1（问题的MCG算法）第1步：给定初始矩阵，置，计算，第2步：若，或者而，则停止计算；否则，计算， 第3步：计算，第4步：置，转第2步易见，算法1中的矩阵，下面给出算法1的基本性质和定理，证明算法1在有限步迭代后停止，证明过程参考文献7引理2 对任意的，都有性质1 对于算法1中的矩阵，和，有性质2 设，对算法1中的矩阵和，有性质3 设是问题的任意一组解，那么对任意初始矩阵，由算法1得到的矩阵和满足定理1 设问题有解，任意给定初始矩阵，算法1可在有限步收敛得到问题的解，即方程组有解若问题无解，则存在某个正整数，使得由算法1得到的而.定理2 设问题

6、有解，选取初始矩阵满足 则算法1可在有限步迭代后得到问题的唯一极小范数解，即方程组（4）的唯一极小范数解.3.2 求解问题的MCG算法当算法1中断时，需要求解问题，下面通过构造等价的约束正规矩阵方程，将求解方程（4）的最小二乘解转化为求其正规方程的解，参照算法1，建立求方程（4）的最小二乘解的MCG算法记，表示满足的列交换矩阵12，定义矩阵，的Kronecker积为，表示将矩阵按行拉直构成的列向量引入记号：，定理3 问题的解可以转化为求的解，并且矩阵方程一定有解证明 求解问题等价于求，使得 等价于求矩阵方程组 （6） 的对称自反解将矩阵方程组（6）按行拉直可得线性方程组，它的正规方程组为，还原

7、为矩阵形式就是矩阵方程因为正规方程组一定有解，所以矩阵方程组（6）有解设是它的一组解（未必是解），则，令，显然，且有，故方程组（6）一定有对称自反解借鉴算法1以及文献7的算法原理，建立求矩阵方程的解，即求解问题的MCG算法如下算法2（问题的MCG算法）第1步：任意给定初始矩阵，置，计算，第2步：若，则停止；否则，计算， 第3步：计算，第4步：令，转到第2步在算法2中的矩阵，算法2也能在有限步收敛定理4 对任意的初始矩阵，算法2可在有限步计算后求得问题的一组解，即矩阵方程组（5）的一组最小二乘解若取初始矩阵满足则算法2可在有限步计算后得到矩阵方程组的唯一极小范数解，也就是方程组（5）的唯一极小范

8、数最小二乘解4 数值算例用本文建立的算法1和算法2求Riccati矩阵方程(1)的一组对称自反解，取方程(1)系数矩阵均为块对角矩阵，矩阵均为阶方阵，结果如下,，（终止准则），选取初始约矩阵为阶零矩阵，按照算法1和算法2可求得矩阵方程(1)的一组对称自反解，计算时间（秒）、算法1迭代次数、算法1中断次数、算法2迭代次数、实际误差的范数如下（Matlab软件2014版- P3.0GHZ微机下同）：4n4812计算时间 0.04360.21440.4357153 247254800 00000实际误差 1.7823e-137.6179e-091.3216e-08 从算法计算结果可以看出，算法1和算

9、法2求解方程（1）是有效的当算法1中断时，可以通过算法2计算方程（1）的对称自反最小二乘解修改算法中的矩阵类型，则可以建立求其他特殊矩阵解的迭代算法参考文献： 1 康 卫，程向阳，钟守铭具有时变时滞离散系统稳定性的新准则J. 阜阳师范学院学报（自然科学版），2015，32(2)：7-112 梁开福，刘建州广义耦合Sylvester矩阵方程的对称一反对称最小二乘解J. 应用数学，2011，24(4)：746-7533 杨晓晓，王卿文广义耦合Sylvester四元数矩阵方程组解的性质J. 应用数学与计算数学学报，2018，32(2)：323-330 4 张翔受限的广义Sylvester矩阵方程的相

10、容性和通解J. 贵州师范大学学报（自然科学版），2016，34(1)：37-40 5 张凯院,宋卫红，王娇一类广义Riccati矩阵方程对称解的双迭代算法J. 数值计算与计算机应用，2013，34(4)：286-294 6 张凯院，宁倩芝，牛婷婷一类离散时间代数Riccati矩阵方程对称解的双迭代算法J. 计算机工程与科学，2015，37(2)：329-334 7 张凯院，朱寿升，刘晓敏双变量Riccati矩阵方程对称解的迭代算法J. 应用数学学报，2013，36(5)：831-838 8 解培月，张凯院特殊双变量矩阵方程组异类约束解的MCG算法J.数学杂志，2012，32(4)：649-65

11、79 李靖雅，欧宜贵一类非线性方程组的无导数投影法的收敛速度分析J.海南大学学报（自然科学版），2016，34(4)：324-32910 黄敬频矩阵方程AX=C的极小F范数中心对称解J.海南大学学报（自然科学版），2003，21(3)：215-22111 林玲一类矩阵方程的最小秩解及其最佳逼近J.海南大学学报（自然科学版），2006，24(3)：222-22912 张贤达矩阵分析与应用M北京：清华大学出版社，2006：105-113 An Iterative Method to Find Symmetric Matrix Solutionsand Reflexive Matrix Soluti

12、ons of Riccati Matrix EquationChen Shi jun（Fujian University of Technology College of Applied Technology Fujian Fuzhou 350001）Abstract: The problem of symmetric solution and reflexive solution of Riccati matrix equation is studied. The symmetric solution and reflexive solution of Riccati matrix equation is transformed into symmetric solution and reflexive solution of linear matrix equation by Newton algorithm. The symmetric solution and reflexive solution or least square solution of linear matrix equation is solved by the modified c