随机信号分析与应用第一章

1、随机过程随机过程 Tel:Q: 545850709Email: 林成林成2022-2-22本章主要内容：本章主要内容： v随机过程的基本概念随机过程的基本概念 v随机过程的数字特征随机过程的数字特征 v随机过程的微分和积分计算随机过程的微分和积分计算 v随机过程的平稳性和遍历性随机过程的平稳性和遍历性 v随机过程的相关函数及其性质随机过程的相关函数及其性质 v复随机过程复随机过程 v正态过程正态过程 v马尔可夫链马尔可夫链 v泊松过程泊松过程 2022-2-23 自然界中的事物变化过程可以分成两大类 确知过程确知过程：具有确定的变化规律；每次试验所得的变化过程相同，都

2、是时间t的同一个函数 随机过程随机过程：没有确定的变化规律；每次试验所得的变化过程不同，是时间t的不同函数 电信号是电压或电流随时间变化的过程，它就是据此分成两类确知信号确知信号和随机信号随机信号。下面先来看两个例子。 1.1 随机过程的基本概念及统计特性随机过程的基本概念及统计特性 2022-2-24正弦（型）确知信号 正弦（型）确知信号 式中：振幅、角频率和相位都是已知的常量。 每次对高频振荡器作定相激励时，其稳态部分就是这种信号。每次激励相当于一次试验，由于每次试验时，信号都相同地随时间按上式所示确知函数而变化，因而这种信号是确知过程。 00( )cos()s tAt2022-2-25正

3、弦（型）随机初相信号 正弦（型）随机初相信号 式中：振幅 和角频率 都是常量，而相位 是在区间 上均匀分布的随机变量。 由于相位 是连续随机变量，在区间 上有无数多个取值，即可取中的任一值 ，这时相应有不同的函数式： 0( )cos()X tAtA0(0,2 )(0,2 )i0( )cos()iix tAt(0,2 )i2022-2-26 可见正弦（型）随机初相信号实际上表示一族不同的时间函数，见右图所示（图中只画出其中的三条函数曲线）。因此这种信号是随机过程。 图1.1-1 正弦（型）随机初相信号2022-2-27 对没有采用定相措施的一般高频振荡器作开机激励时，其稳态部分就是这种信号。 每

4、次开机作激励时，由于振荡器的起振相位受偶然因素影响而每次有所不同，因而高频振荡信号的相位作随机变化，这是最常遇见的一种随机信号。同理，在信号 的式中，若仅振幅是随机变量，则为随机振幅随机振幅信号信号。若仅角频率是随机变量，则为随机频率随机频率信号信号。 ( )cos()X tAt2022-2-28 上例对每次开机作观测，都相当于作一次随机试验。每次试验所得的观测、记录结果 都是一个确定的时间函数，称为样本函数样本函数，简称样样本或实现实现。 所有这些样本函数的总体或集合就构成随机过随机过程程 。在每次试验之前，我们无法确知这次试验的结果应该选取这个集合中的哪一个样本，只有在大量观测后才能知道它

5、们的统计规律性，即究竟以多大的概率实现某一样本。( )ix t( )X t2022-2-291 样本函数：x1(t) , x2(t), x3(t), , xn(t)，都是时间的函数，称为样本函数。 2 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果的函数，记为X(t,) ，简写成X(t,) 。 因此：因此：2022-2-210定义定义2 2：若对于每个特定的时间ti(i=1,2,), X(ti,) 都是随机变量，则称X(t,)为随机过程， X(ti,)称为随机过程X(t)在t=ti时刻的状态。 定义定义1 1：设随机试验

6、E的样本空间S= ，若对于每个元素S ，总有一个确知的时间函数X(t,)与它对应，这样，对于所有的S ，就可以得到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的每一个函数称为样本函数。 1.1.1 随机过程的定义：随机过程的定义： 把随机过程理解为以随机方式把随机过程理解为以随机方式（具有一定概率）选取某个特（具有一定概率）选取某个特定的样本函数。定的样本函数。这种定义是把随机过程这种定义是把随机过程理解为随时间而变化的理解为随时间而变化的一族随机变量。一族随机变量。2022-2-2114 定义的理解定义的理解 ： 上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。具体的说，作观测时，常用定义1，这

7、样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n 维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。 2022-2-212理解：理解： 一个时间函数族一个时间函数族 一个确知的时间函数一个确知的时间函数一个随机变量一个随机变量一个确定值一个确定值t 4 和和 都是变量都是变量t1 1 是变量而是变量而 固定固定2 固定而固定而 是变量是变量 t3 和和 都固定都固定 t若若固定为固定为i，仅时间，仅时间t变化，则得一个特定的时变化，则得一个特定的时间函数间函数X(i,t)，它是一个确定的样本函数，即某，它是一个确定的样本函数，

8、即某次观测所得的记录曲线（实现）。如图次观测所得的记录曲线（实现）。如图1.1-1中中的的x1(t), x2(t), x3(t) 。为了防止混淆，随机过程通。为了防止混淆，随机过程通常用大写字母表示，如常用大写字母表示，如X(t)、Y(t) ，而样本则用，而样本则用小写字母表示，如小写字母表示，如x(t)、y(t) 。若若t固定为固定为ti ，仅随机因素，仅随机因素变化，则变化，则X(, ti)蜕化蜕化为一个随机变量，简记为为一个随机变量，简记为X(ti) 。随机变量。随机变量X(ti)又称为随机过程又称为随机过程X(t)在在ti时的状态。时的状态。若若和和t均为变量，则均为变量，则X(, t

9、)为所有样本的集合或为所有样本的集合或所有随机变量的总体。这才是随机过程所有随机变量的总体。这才是随机过程X(t)。若若固定为固定为i ，且，且t固定为固定为ti，则，则X(i, ti)为一个确为一个确定值，简记为定值，简记为x(i, ti) 。2022-2-213随机变量随机变量 与时间无关与时间无关 随机过程随机过程 与时间相关与时间相关 2022-2-2141.1.2 分类分类 随机过程可以按其状态的不同，分成连续型和离散型。也可以按其时间参量t的不同，分成连续参量随机过程（简称随机过程）和离散参量随机过程（简称随机序列）。因此，合起来可以分成下述四类，见后图所示（图中仅示出其一个样本，

10、且为按常用的等间隔取样画出）。 2022-2-2151 按随机过程的时间和状态来分类按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：连续型随机过程：其状态X(ti)和ti时间都连续;对随机过程任一时刻 ti 的取值X(ti)都是连续型随机变量。 离散型随机过程：离散型随机过程：其状态X(ti)离散，而时间ti连续;对随机过程任一时刻 ti 的取值X(ti) 都是离散型随机变量。对连续型随机过程进行随机取样，并经量化后保持各取样值，即得这类随机过程。 2022-2-216 连续随机序列：连续随机序列：时间t只能取某些时刻，且这时得到的随机变量是连续型随机变量，即状态连续，而时间离散； 对连续型随机

11、过程进行等间隔取样，即得这类随机过程。 离散随机序列：离散随机序列：时间t只能取某些时刻，且这时得到的随机变量是离散型随机变量；即状态和时间都离散。对连续型随机过程进行等间隔取样，并将取样值量化成若干个固定的离散值，例如二进制中的0、1，或十进制中的09，即得这类随机过程，实际上即为数字序列或数字信号。 2022-2-2172 按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。 确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。 2022-2-218 3 按概率分布的特性来分类随机过程根据其分布函数或概率密度进行

12、分类，可以分成独立随机过程、马尔可夫（Markov）过程，独立增量过程、正态（Normal）随机过程、瑞利（Rayleigh）随机过程等。根据随机过程的功率谱特性，可以分成宽带的或窄带的，白色的或有色的。在工程技术中，还可根据随机过程有无平稳性，分成平稳的和非平稳的。 2022-2-2191.1.3 随机过程的概率分布1 一维概率分布 随机过程X(t)在任意tiT的取值X(t1)是一维随机变量。概率PX(t)x1是取值x1和时刻t1的函数，记为Fx(x1, t1)=PX(t1)x1，称作随机过程 X(t)的一维分布函数。 若Fx(x,t) 的偏导数存在，则有11111),(),(xtxFtxf

13、XX 随机过程能够看成是随时间而变化的一族随机变量，故可将随机变量的概率分布概念推广用于随机过程，求得随机过程的概率分布。2022-2-220若Fx(x,t) 的偏导数存在，则定义11111),(),(xtxFtxfXX为过程X(t)的一维概率密度，一般省写其脚注而简记为f(x,t) 。 一维概率分布只能描述随机过程在任一孤立时刻的取值统计特性，不能反映随机过程在各个时刻取值之间的关联性。 随机过程X(t)在任两时刻t1 , t2的取值X(t1) , X(t1)构成二维随机变量X(t1), X(t2)。记： 称为过程X(t)的二维分布函数。 若它对x1和x2 的二阶混合偏导数存在，则定义： 为

14、过程X(t)的二维概率密度。FX(x1,x2;t1,t2)=P X(t1)x1,X(t2)x221212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX2 二维概率分布 二维概率分布可以描述随机过程在任两时刻取值之间的关联性; 通过积分可以求得两个一维概率密度fX(x1; t1) 和fX(x1; t1) ，可见二维概率分布比其一维概率分布含有较多的统计信息，对随机过程的描述要细致些 但它还不能反映随机过程在两个以上时刻取值之间的关联性。 随机过程X(t)在任意n个时刻t1, t2 , t3 , 的取值 构成n维随机变量，即n维空间中的随机矢量 。同上可得过程X(t)的n维分布函数为

15、, 过程X(t)的n维概率密度为：3 n维概率分布 )(,)(,)(),;,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFnnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,( n维概率分布可以描述任意n个时刻的取值之间关联，比其低维概率分布含有更多的统计特性，对随机过程的描述更细微些。 故若随机过程的观测时刻点数取得越多（即维数n越大），则随机过程的统计特性可以描述得越细致。 从理论上来说，要完全描述一个随机过程的统计特性，需要维数n，但对工程实际来说，在许多场合仅取二维即可。2022-2-2250),;,(2121ninXttttxxxF

16、1),;,(21nXtttF0),;,(2121nnXtttxxxf121212n重(,; , , )1Xnnnfxxx t tt dx dxdx),;,(),;,(2121212121mnmmXnmmnnXtttxxxfdxdxdxtttxxxf重若 统计独立，则有 )(,),(),(21ntXtXtX);();();(),;,(22112121nnXXXnnXtxftxftxftttxxxf根据多维随机变量的概率分布可知，随机过程的n维概率分布具有下列主要性质： 例：设随机振幅信号 ，式中： 为常量， X为标准正态随机变量。试求时刻： 、 时的一维概率密度。 tXtX0cos00t03t0

17、2t解：标准正态随机变量X的一维概率密度为： 21exp22xfxx txxt0cosX(t)在任一时刻t的取值为由随机变量的概率密度变换，可以求得X(t)的一维概率密度为：0022001,coscos1exp2 cos2costtttxdxfxtfxtftdxttxxtt f 故得： 时 时 时 上述结果示于下图。由图可知，随机过程X(t)的一维概率密度随时间t变化，任一时刻的取值都是正态分布，但各个时刻的方差有所不同。01 tt21111,exp22xfxt023 tt032 tt22221,exp22 0.5fxtx32333320 30 31,limexp2 cos2costtxfxt

18、xtt102030405060708090100-1.5-1-0.500.511.5tX(t)(a) 随机振幅信号的八条样本曲线clc;clear;A = randn(1,8);for k = 1:8 for t = 1:100 x(k,t) = A(k)*cos(0.025*pi*t); end plot(x(k,:); hold on;endxlabel(t);ylabel(X(t);grid on;axis tight;title(随机振幅信号的八条样本曲线);1.1.4 随机过程的数字特征 随机变量的数字特征通常是确定值；随机过程的数字特征通常是确定性函数。 对随机过程的数字特征的计算

19、方法，是先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。 随机过程的分布函数和概率密度是其一般统计特性，它们能够对随机过程作完整地描述，但却不够简明，而且常常难以求得。在工程技术中，一般只需采用描述随机过程主要平均统计特性的几个矩函数就够了。它们的定义和意义只是随机变量矩的推广。 随机过程X(t)在某一特定时刻t1的取值为一维随机变量X(t1) ，其数学期望是一个确定值。随机过程X(t)在任一时刻t的取值仍为一维随机变量X(t) （注意此处t已固定，故X(t)已非随机过程），将其任一取值x(t)简记为x，根据随机变量的数学期望定义，可得： 它是时间t的确定函数，是在任一时刻t的数学期望或统计平

20、均，称为随机过程X(t)的(瞬时)数学期望或统计均值，常以专用符号mx(t) 记之 (脚注在不致混淆时可以省去不写)。 ,xXEX txfxt dxmt 1 数学期望统计均值是对随机过程X(t)中的所有样本在任一时刻t的取值进行平均，因而统计均值又称集合均值（在不致混淆时可以简称均值）。显然，mx(t)是某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示中的粗实线所示，它表示随机过程中的所有样本在任一时刻的取值（随机变量）之分布中心。物理意义：如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。 2022-2-2322 均方值和方差 随机过程X(t) 在任

21、一时刻t的取值是一个随机变量X(t) 。把X(t)二阶原点矩称为随机过程的均方值，dxtxfxtXEtXX);()()(222)()()()()(222tmtXEtXEtXDtXX222( )( )( )XXtE X tm t且 随机过程X(t)的数学期望mx(t)是确定的时间函数，因而X(t)- mx(t)仍为随机过程，称为中心化随机过程，简称为过程X(t)的起伏; 起伏在任一时刻的取值仍为一维随机变量，可得方差：2022-2-233 方差必为非负函数，其平方根称为随机过程的标准差或方差根。 方差表示随机过程中的所有样本在任一时刻的取值（随机变量）对其分布中心的平均离散程度。)()(ttXD

22、X 物理意义：如果X(t)表示噪声电压，则均方值 和方差 分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。 表示瞬时直流功率统计平均值， 表示噪声电压的交流分量。2(x)x2(x)x2(x)xm(x)x 数学期望和方差只能表示随机过程在各个孤立时刻的平均统计特性，不能反映随机过程在任两时刻的取值之间关联。 为了表示随机过程在任两时刻的取值之间的关联程度，需用二维随机变量的二阶原点矩或中心矩，这就是随机过程的自相关函数和中心化自相关函数。 3 自相关函数 相同数学期望和方差的两个随机过程。X(t)变化缓慢、规律性强，相关性较强；Y(t)变化激烈、波动较大，相关性不明显。 随

23、机过程X(t)在任两时刻 的取值构成二维随机变量，将变量 和 在任两时刻的取值 和 简记为 和 ，记二阶混合原点矩为： 称为随机过程X(t)的自相关函数，简称相关函数。它表示过程X(t)在任两时刻的取值之间的平均关联程度。21,tt 1tX 2tX 1tx 2tx1x2x 2121112212121,;,dxdxttxxpxxtXtXEttRX 同理，记变量 和 的二阶混合中心矩为： 称为随机过程X(t)的中心化自相关函数或自协方差函数，简称协方差函数。它表示过程X(t)在任两时刻的起伏值之间的平均关联程度。 1tX 2tX 12121122,XXXKttEX tX tEX tmtX tmt

24、21211122211,;,dxdxttxxptmxtmxXX2022-2-236比较自协方差和自相关函数的关系 )()()()(),(111121tmtXtmtXEttKXXX )()()()()()()()(21121121tmtmtXEtmtXEtmtXtXEXXXX)()(),(2121tmtmttRXXX比较自协方差和方差的关系 )()(),(),(221tmtXEttKttKXXX)()(2ttXDXttt21令则2022-2-2例：求随机相应止弦波 的数字期望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是区间0， 上均匀分布的随机变量。 0( )sin()x tt02解：由题可知： 00

25、0( ) ( )sin()sincoscossin xm tE x tEtEtt(1)0000sincos cossin sincos cossin EtEtt Et E22001cos cos( )cos02Efddsin 0E同理( )0 xm t2022-2-238(2)22222( )( )( )( )( )xxxxttm ttE x t 200011sin ()1 cos(22 )1 cos(22 )22EtEtEt0011cos(2)cos2 sin2sin2 2EtEt0011 cos2cos2 sin2sin2 2t Et E可知 sin2 cos2 0EE21( )2xt20

26、22-2-2390 20 101211cos()cos()22tttt(3)12( , )xR t t12 ( ) ( )E x t x t1200sin()sin()Ett122100001cos(2 )cos()2Etttt 随机变量的概率密度与特征函数是一对傅立叶变换，且随机变量的矩唯一地被特征函数所确定。 因此求正态分布等随机变量的概率密度和数字特征时，利用特征函数可以显著简化运算。 同样，求随机过程的概率密度和矩函数时，利用特征函数也是如此。1.1.5 随机过程的特征函数 随机过程X(t)的一维特征函数被定义为： 式中x为随机变量X(t)的取值，f(x, t)是过程X(t)的一维概率

27、密度，它与一维特征函数C(, t)构成一对傅立叶变换，即有： ,j X tj xXCtEeefxt dx1,2j xXfxtCt ed 将上式两端各对变量 求偏导n次，得： 因而过程X(t)的n阶原点矩函数为： 利用该式即可以求得随机过程的数学期望和均方值。,nnnj xXnCtjx efxt dx 0,nnnnXnEXtx fxt dxjCt 随机过程的二维特征函数被定义为： 式中： ， 是过程的二维概率密度，它与 构成二重傅立叶变换对，即有： 11221212,; ,jX tjX tXcttEe1 12 22121212,; ,jxjxefxxttdx dx 2211,tXxtXx2121

28、2,; ,fxxtt1212,; ,XCtt1 1222121212121221,; ,; ,2jxjxXfxxttCttedd 将上式的两端各对变量 和 求一次偏导，得： 因而过程X(t)的相关函数为：121 1222121212212121212,; ,; ,jxjxXCttx x efxxttdx dx 122121221212121212120,; ,; ,XXRttx x fxxttdx dxftt 利用特征函数的性质，还可求得过程X(t)的方差和协方差函数分别为： 220,j E X tXDX teCt 1122122121212120,; ,jE X tjE X tXXKtteC

29、tt 例116：已知随机过程X(t)在t时刻的取值服从正态分布，其一维概率密度为： 试求这时随机过程X(t)的特征函数，并求此时的数学期望、方差、均方值。 解：由一维特征函数的定义式可得：221,exp22xmfxt 22,1exp22j X tj xXCtEeep xt dxxmjxdx 作变量代换： ，得： 可以求得数学期望和均方值分别为： 因而方差为： 。mxy22211,expexp222j xXyCtejydyjm 10,XEX tjCtm 2222220,XEXtjCtm 222tXEtXEtXD2022-2-2471.2 连续时间随机过程的微分和积分连续时间随机过程的微分和积分

30、1.2.1 随机过程的连续性 1 预备知识：对于确定性函数 ，若)(xf0)()(lim00 xfxxfx则 在 处连续。)(xf0 x2022-2-2482 随机过程 连续性定义 如果随机过程 满足 )(tX)(tX0)()(lim20tXttXEt则称 依均方收敛意义下在t点连续，简称随机过程 在t点均方连续。)(tX)(tX2022-2-2493 随机过程 的相关函数连续，则 连续)(tX)(tX)()(2tXttXE),(),(),(),(ttRtttRtttRttttRXXXX 因此，如果对 时刻，函数 在 点上连续，则随机过程 必在点t上连续。 21,tt),(21ttRXttt2

31、1)(tX2022-2-2504 随机过程 均方连续，则其数学期望连续 )(tX证：2222YEYEYEY)()()()(22tXtTXEtXttXE 由均方连续的定义， ，则不等式左端趋于0，那么不等式的右端也必趋于0（均值的平方不可能小于0) ,即 0 t)()(tXttXY设0)()()()( tXEttXEtXttXE 注意 为确定性函数，可知连续。可将此结果写成 ，)(tXE)(lim)(lim00ttXEttXEtt2022-2-2511.2.2 随机过程的导数 预备知识： 对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下： 一阶可导： 如果 存在，则 在t处可导，记为 。 ttft

32、tft )()(lim0)(tf)(tf 2022-2-252二阶可导： hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00 存在，则 二阶可导，记为 ),(tsftstsf ),(2若2022-2-2531 随机过程可导的定义 如果随机过程 满足 ( )X t20()( )lim( )0tX ttX tEX tt 则称 在t时刻具有均方倒数 ，表示为 )(tX0( )()( )( )tdX tX ttX tX tlimdtt ( )X t2022-2-2542 判别方法 0)()()()(lim2222211110,21 ttXttXttXttXEtt)()()()(

33、222221111ttXttXttXttXE ),(),(),(),(1),(),(),(),(1),(),(),(),(1221211212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX 判断一个随机过程是否均方可微的方法是采用柯西准则,即 而2022-2-255若 时，存在二阶混合偏导12ttt21212( ,)Rx t ttt 222121212121212( ,)( ,)( ,)20Rx t tRx t tRx t ttttttt 则)()

34、()()(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt = = 可见，随机过程X(t)在t处均可微的充分条件为：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶混合偏导数且连续，即存在 2121212),(ttXttttR2022-2-2563 数字特征 (1)随机过程导数的数学期望等于其数学期望的导数 )()(tXEdtddttdXE证明： )()(lim)(0ttXttXEdttdXEt ttmttmttXttXEXXtt)()(lim)()(lim00dttdmtmXX)()(2022-2-257（2）随机过程导数的相关函数等于可微随机过程的相关函数的混合偏导数 2121221),

35、()()(ttttRtXtXEX 证明： )()(.)()(lim222211110021ttXttXttXttXEtt)()(.)()(lim222211110021ttXttXttXttXEtt2121211221221100),(),(),(),(lim21ttttRtttRtttRttttRXXXXtt21212),(ttttRX)()(21tXtXE2022-2-2581.2.3 随机过程的积分 1 预备知识 对于确定性函数 ，)(xf baniiixfdxxf10)(lim)( 其中 ，1 iiixxx nixi,.,2 , 1,max 2022-2-2592 随机过程积分的定义

36、随机过程 在确定区间 上的积分Y是一个随机变量，即 ( )X t, a bbadttXY)(若有 0)(lim120niiitttXYEi则称 为随机过程 在 上的积均方积分niiibattXmildttXY10)(. .)(, a b( )X t可以推广到带有“权函数”的随机过程的积分 badthXtY),()()(2022-2-2603 数字特征 （1）随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分。 badttXEYE)(niiittXmilE10)(. .niiittXEmil10)(. .badttXE)(baXdttm)(证明：2022-2-261（2）随机过程积分的均方值和方差

37、 随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；其方差为随机过程协方差的二重积分。 )()(22112babadttXdttXEYE babadtdttXtXE)()(2121 babadtdttXtXE2121)()( babadtdttXtXE2121)()( babaXdtdtttR2121),(2022-2-262222YEYEY babababaXdttXEdttXEdtdtttR22112121)()(),( babaXXXdtdttmtmttR212121)()(),( babaXdtdtttK2121),(2022-2-263(3) 随机过程积分的相关函数：等于对随机过

38、程的相关函数作两次变上限积分（先对t1,后对t2积分） 101)()(tdXtY202)()(tdXtY120021)()(),(ttYdXdXEttR 1200)()(ttddXXE 1200),(ttXddR2022-2-2641.3 平稳随机过程及其遍历性平稳随机过程及其遍历性 一一 平稳随机过程平稳随机过程1 严平稳随机过程严平稳随机过程(1) 定义定义 如果对于任意的如果对于任意的n和和 ，随机过程，随机过程 X(t)的的 N 维概率密度满足：维概率密度满足：)t ,t ,t ;x,x,(xfn21n21X)t ,t ,t ;x,x,(xfn21n21X则称则称X(t) 为严平稳（或

39、狭义）随机过程为严平稳（或狭义）随机过程 。2022-2-265(2) 一、二维概率密度及数学特征一、二维概率密度及数学特征 严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关111( )()XXE X tx fx dxm222111( )( )XXE Xtx fx dx 22111( )()()XXXD X txmfx dx1令11( ;0)( )tXXfxfx );();(1111txftxfXX2022-2-266严平稳随机过程的二维概率密度只与严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的的时间间隔有关，而与时间起点无关时间间隔有关，而与时间起点无关 121

40、21212( ,; , )( ,;,)XXfx x t tfx x tt12212令11(;0,)( ,; )tXXfx xttfx x t 12121212( ,),(,; )( )XXXRt tx x fx x t dt dxR t 212( , )( )( )XXxXKt tK tR tm21211( ,)( )( )( )XXXXXRt tmt mtR tm2022-2-267(3)严平稳的判断严平稳的判断 按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其需要知道其n维概率密度，可是求维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难维概

41、率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：严平稳的，具体方法有两个： (1) 若若X(t)为严平稳，为严平稳，k为任意正整数，则为任意正整数，则 与时与时间间t无关。无关。 )(tXEk (2) 若若X(t)为严平稳，则对于任一时刻为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相具有相同的统计特性。同的统计特性。2022-2-2682 宽平稳随机过程宽平稳随机过程XXmtm)()()(22tXEtX若随机过程若随机过程 X(t)满足满足)(),(),(2121XttXRXXEttR则称则称X(t

42、)为宽平稳或广义平稳随机过程。为宽平稳或广义平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系：严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。稳与宽平稳等价。2022-2-269二二 平稳随机过程的性质平稳随机过程的性质 性质性质1 0)()0(22XXtXER平均功率平均功率 性质性质2 )()(XXRR)()(XXKK偶对称性偶对称性 性质性质3 )()0(XXRR)()0(2XXXKK极值性极值性证：证：任何正函数的数字期望恒为非负值，即任何正函数的数字期望恒为非负

43、值，即0)()(2tXtXE0)()()(2)(22tXtXtXtXE对于平稳过程对于平稳过程X(t)，有，有)0()()(22XRtXEtXE代入前式，可得代入前式，可得0)(2)0(2XXRR于是于是)()0(XXRR同理同理)()0(2XXXKK2022-2-270对周期性平稳过程对周期性平稳过程X(t)=X(t+T)，T为周期，为周期，有有 。 性质性质4 )()(TRR证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到)()()()()()(XXRtXtXETtXtXETR性质性质5 若平稳过程含有一个周期分量，则若平稳过程含有一个周期分量，则

44、含含有同一个周期分量。有同一个周期分量。 )(XR2022-2-271若平稳随机过程若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量，不含有任何周期分量，则则性质性质6 2)()(limXXXmRR0)()(limXXKK对于此类非周期的平稳过程，当增大对于此类非周期的平稳过程，当增大 时，随机时，随机变量变量X(t)与与X(t+)之间的相关性会减弱；在之间的相关性会减弱；在 的极限情况下，两者相互独立，故有的极限情况下，两者相互独立，故有证：证：)()(lim)(limtXtXERX2)()(limXmtXEtXE亦即亦即2)()(limXXXmRR同理，可求得同理，可求得0)()(limXXKK2

45、022-2-272性质性质7 若平稳过程含有平均分量若平稳过程含有平均分量(均值均值) ，则相，则相关函数也含有平均分量，且等于关函数也含有平均分量，且等于 , 即即2Xm2Xm则则 。2)()(XXXmKR)()0(2XXXRR若若X(t)是非周期的，是非周期的，由协方差函数的定义，可得由协方差函数的定义，可得2)()()()()(XXXXXmRmtXmtXEK由此由此2)()(XXXmKR若若X(t)是非周期，则有是非周期，则有2)(XXmR证：证：)()0()0(2XXXXRRK且在且在t=0时时,可得可得2022-2-273平稳随机过程必须满足平稳随机过程必须满足对所有对所有 均成立。

46、均成立。 性质性质8 0)(deRjX自相关函数的付氏变换非负，这要求相关函数连续自相关函数的付氏变换非负，这要求相关函数连续（平顶，垂直边均是非连续）。（平顶，垂直边均是非连续）。注：注：相关函数（协方差）的典型曲线相关函数（协方差）的典型曲线2022-2-274平稳过程的相关系数和相关时间平稳过程的相关系数和相关时间此值在此值在1，1之间。之间。 表示不相关，表示不相关， 表表示完全相关。示完全相关。 表示正相关，表明两个不同时刻起表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。 相关系数相关系数22)()0()

47、()(XXXXXXmRKKr0)(Xr1)(Xr0)(Xr2022-2-275相关时间相关时间 当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。 通常把相关系数的绝对值小于通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔的时间间隔 ，记做，记做相关时间相关时间, 即即: 时的时间间隔时的时间间隔 为相关时间。为相关时间。05. 0)(0Xr0 有时我们用钜形（高为有时我们用钜形（高为 ,底为底为 的矩形）面积的矩形）面积等于阴影面积等于阴影面积( 积分的一半）

48、来定义相关时间，即积分的一半）来定义相关时间，即1)0(Xr0)(Xr00)( drX物理意义物理意义相关时间相关时间 越小，就意味着相关系数越小，就意味着相关系数 随随 增加而降落增加而降落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之，的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越越大，则表时随机过程随时间变化越慢。大，则表时随机过程随时间变化越慢。 0)(Xr02022-2-276例：已知平稳随机过程例：已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为的自相关函数为 RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100 求求X(t)的均值、均方值和方差。的均值、均方值和方差。 RX(t

49、)=（100cos10t）+（100e-10|t|+100） = RX1(t)+ RX2(t)式中，式中，RX1(t)=100cos10t是是X(t)中周期分量的自相关中周期分量的自相关函数，此分量的均值函数，此分量的均值mx1=0; RX2(t)=100e-10|t|+100是是X(t)的非周期分量的自相关，的非周期分量的自相关，由性质由性质6，可得，可得22( )10XXmR 1222210( )( )300( )300 100200 xxxXXXmmmE XtRoRX oM 所以有所以有解：解：2022-2-277三三 遍历性或各态历经性遍历性或各态历经性 1 遍历性过程的定义遍历性过程

50、的定义 如果一个随机过程如果一个随机过程 X(t),它的各种时间平均（时间足它的各种时间平均（时间足够长）依概率够长）依概率1收敛于相应的集合平均收敛于相应的集合平均,则称则称X(t)具有严具有严格遍历性格遍历性,并称它为严遍历过程。并称它为严遍历过程。 严遍历性的定义严遍历性的定义 宽遍历性的定义宽遍历性的定义 设设X(t)是一个平稳随机过程是一个平稳随机过程,如果其均值和相关函数如果其均值和相关函数都具有遍历性都具有遍历性,则称则称X(t)为宽为宽(或广义或广义)遍历过程遍历过程,或简称或简称遍历过程。遍历过程。2022-2-278定义定义果它依概率果它依概率1收敛于集合均值，即收敛于集合

51、均值，即则称则称X(t)均值具有遍历性。定义时间自相关函数为均值具有遍历性。定义时间自相关函数为 则称则称X(t)自相关函数具有遍历性自相关函数具有遍历性 。如果它依概率如果它依概率1收敛于集合自相关函数，即收敛于集合自相关函数，即TTTdttXTtXtXA)(21lim)()(TTTXdttXtXTtXtXtt)()(21lim)()(),(XmtXEtXtXA)()()()()()()()(),(XXRtXtXEtXtXtt为时间均值，如为时间均值，如2022-2-2792 遍历过程的实际应用遍历过程的实际应用 一般随机过程的时间平均是随机变量，但遍历过程一般随机过程的时间平均是随机变量，

52、但遍历过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可不可能无限长，只要足够长即可。能无限长，只要足够长即可。 3 遍历过程和平稳过程的关系遍历过程和平稳过程的关系 遍历过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是遍历遍历过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是遍历的。（遍历必定平稳由遍历定义即可知）的。（遍历必定平稳由遍历定义即可知）2022-2-2804 遍历过程的两个判别定理遍历过程的两个判别定理 均值遍历判别定理均值遍历判别定理 平稳过程平稳过程X(t)

53、的均值具有遍历性的充要条件的均值具有遍历性的充要条件平稳过程平稳过程X(t)的自相关函数具有遍历性充要条件的自相关函数具有遍历性充要条件 自相关函数遍历判别定理自相关函数遍历判别定理 式中：式中：0)()21 (1lim202dmRTTTXTX0)()()21 (1lim120211dRBTTTTX)()()()()(111tXtXtXtXEB2022-2-281证：证：. .012Tl i mTXXTm dtmT原命题等价于：原命题等价于： . . .11( )( )( )22TTl i ml i mTTTTEX tEX t dtE X t dtTT2. .201( )0(1)( )02XT

54、l i mTXtDX tR tmdtTT. .1( ) ( )2Tl i mTTDX tDX t dtT . .1( )2Tl i mTTDX t dtT. .21( ) 2XTl i mTTEX tm dtT. .221( ) 4XTl i mTTEX tm dtT. .21( ) 2XTl i mTTEX t dtmT2022-2-2821212. .21( )( )4XXTTl i mTTTE X tmX tmdt dtT2112. .21()4XTTl i mTTTK tt dt dtT2121212121),(),(21uttJ12tt 12ttu设设22ut21ut则则t1t2-T

55、T2T2Tu-2T Tu2Tu2 Tu2Tu22022-2-2832. .01( )0(1)02Tl i mTtDX tdtTT)(2141lim )(22222duKdTtXDXTTTTT于是于是dKTTXTTT)()2(41lim222dmRTTXXTTT)()(21 (21lim222dmRTTXXTT)()(21 (1lim220)()( RR从而命题得证。从而命题得证。2022-2-284对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函数关函数 连续，则可以证明此过程具有遍连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为历性的一个充分条件为)(XRdR

56、X0)(注意：注意：判断一个平稳过程是否遍历的，我们总是先假设判断一个平稳过程是否遍历的，我们总是先假设其是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以其是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概率概率1 1等于统计平均），一般不用两个判别定理。等于统计平均），一般不用两个判别定理。 5.2022-2-285例：设例：设 ,式中式中a， 为常数，为常数， 是是在上均匀分布的随机变量。试问：在上均匀分布的随机变量。试问：X(t)是否平稳？是否平稳？是否遍历？是否遍历？0( )cos()X tat0020( )( )( ).( )cos().2XmtE X tx tfdatd 0Xm( ,)

57、( )()XR t ttE X t X tt0002coscos(22)2aEttt 02cos( )2XatR t故故X(t)是宽平稳随机过程。是宽平稳随机过程。解：2),()(22attRtXEX2022-2-2860. .1( )( )cos()2l i mTAX tX tatdtT00. .cossin0l i mTaTT0002. . .11cos(22 )(cos.)222TTl i ml i mTTTTattdtt dtTT 0022. .20cos.cos222l i mTaaTttT故故X(t)也是宽遍历随机过程。也是宽遍历随机过程。)()(),(tXtXttX2022-2-

58、2871.4 随机平稳随机过程随机平稳随机过程一一 两个随机过程的联合概率分布两个随机过程的联合概率分布 设有两个随机过程设有两个随机过程 和和 ,它们的概率密度它们的概率密度)(tX)(tY分别为分别为2211( ,; , )Xnnf x xx t tt2211(,; ,)Ymmf y yyt tt定义这两个过程的定义这两个过程的(n+m)维联合分布函数为：维联合分布函数为： 1111( ,;,; , ; ,)XYnmnmFxxyytt tt1111( ),.( ); ( ),. ()nnmmp X txX tx Y tyY ty2022-2-288定义这两个过程的定义这两个过程的(n+m)

59、维联合概率密度为：维联合概率密度为：1111( ,;,; , ; ,)XYnmnmfxxyytt tt1）若两个过程的）若两个过程的n+m维联合概率分布给定，则它们的维联合概率分布给定，则它们的全部统计特性也确定了。全部统计特性也确定了。注注2）可以由高维联合分布求出它们的低维联合概率分布。）可以由高维联合分布求出它们的低维联合概率分布。3）若两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而）若两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关，则称此二过程为联合变化，即与时间的起点无关，则称此二过程为联合严平稳或严平稳相依。严平稳或严平稳相依。mnmnmnXYmnyyxxttttyyx

60、xF111111), ,;,;,;,(2022-2-289 设两个随机过程设两个随机过程 和和 ，它们在任意两个，它们在任意两个时刻时刻t1，t2的取值为随机变量的取值为随机变量 、 ,则定义它们则定义它们的互相关函数为：的互相关函数为：二二 两个随机过程的互相关函数两个随机过程的互相关函数 )(tX)(tY)(1tX)(2tY121212( , )( ) ( )( , ; , )XYXYRt tE X t Y txyfx y t t dxdy 式中，式中， 1212( , )( , ; , )XYft tx y t t是随机过程是随机过程 和和的二维联合概率密度。的二维联合概率密度。)(tX