数学是数学教育的核心

1、数学是数学教育的核心柴俊 数学教育学由教育学和数学组成作为一门研究数学教育的学科，无论数学还是教育学都应该得到重视，这是毫无疑义的但两者之间还是有不同的功能，教育学关心怎么教，而数学则是关心教的内容在这当中，数学应该，也必须是数学教育的核心，而恰恰是这点被许多人忽视了。一、数学教育的去数学化现象 在数学教师培训和数学课堂教学评价中，近年来越来越倾向于关心教师是否创设了现实情境，是否使用了多媒体技术，课堂气氛是否活跃等等，而核心的数学内容反倒是可有可无起来了数学被边缘化了，张奠宙教授将之称为“去数学化”，一点也不为过。这种去数学化现象在近年来一些数学教育研究文章也常有出现。 数学教育应该以数学内

2、容为核心，而评价数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好数学为依据教育手段必须为数学内容服务，这是一个常识性的问题，但现在常识似乎也有些不灵了。 数学教育是数学与教育学形成的交叉学科，虽然数学教育不能离开一般教育规律的指导，但是仅有一般教育规律是不够的，数学教育必须研究自己的特殊规律数学教育倘若不能对一般教育提供特定的规律性认识，数学教育学科就没有独立存在的价侮实际上，数学教学的核心是如何体现“数学的本质”、“精中求简”、“返朴归真”，呈现数学特有的“教育形态”，使得学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力一句话，数学教育应该更多地关注“数学”本身没有数学的数学教育，看似热闹，实际上

3、是对数学教育的伤害我们要遏制“去数学化”倾向的蔓延，不然将危及数学教育的生命。二、教什么比怎么教更重要 数学教育之所以称为数学教育是因为有了数学前几年在数学教育界有一句经典的名言：“教什么永远比怎么教更重要”我对这句话的理解是，如果教什么(数学)都没有搞清楚，怎么教(教育理论、教育方法等)还有什么意义呢?或者说，如果对自己所教的内容不甚了了，还谈什么教育方法、教育理念? 随着教育的普及，对数学的整体要求在逐步降低，这是大势所趋但是一个国家对精英人才的培养绝对是不能放弃的在现代化社会中很多情况下决定胜负的往往是少数精英人才，如微软、英特尔，它们的成功使美国在电子信息领域能够傲视全球近20年来，科

4、学技术的迅速发展，特别是基于信息技术的高技术产业的发展，究其原因是这些技术的背后都有数学技术在起作用。因此当今的世界强国，都是数学强国。吴文俊院士认为“21世纪是对制数权的争夺，哪个国家的数学高人一等，哪个国家便可争霸天下”。数学作为精英人才培养基础中的基础，其重要性不言而喻，仅靠作秀式的数学教育是不行的。 所以对于数学教师，始终要把教什么放在怎么教的前面，只有确定了教的内容，才有研究怎么教的意义数学基础是实施数学教育理论和方法的基础，数学教师的数学素质是数学教育成败的关键(特别是在高年级)。三、数学要有“大视野” 数学是数学教育的基础，但不同的视野，对数学就有不同的看法。通常人们对数学的看法

5、是：严谨而美丽的形式，清晰的逻辑框架，训练思维的体操，竞赛拿名次，考试拿高分，提高升学率的法宝等等。这是视野受到局限时对数学的看法。如果我们扩大视野，除了以上这些，还应有：蕴藏在形式背后火热的数学思想，能创造社会价值的数学技术，培养数学应用能力的过程，揭开自然奥秘的钥匙等等。也就是说要揭示数学的本质。数学不应该只是用于考试、选拔人才的过滤器。进行数学教育的最终目的是提高民族的数学素质。那么，什么是大视野的数学? 1要揭示数学的本质 作为一名数学教师，首先要问自己：数学除了解题之外，还应该有什么?各种各类的解题指导，实际上都是“掐头去尾烧中段”，只见形式不见思想，只是研究了数学学习的一部分。数学

6、需要运用逻辑，但是数学不是逻辑。数学教育那就更不能只讲逻辑和形式，不讲数学思想，不去揭示数学本质。如果把数学比作美丽的科学女王，那么数学中的逻辑成分就是x光片中的那付骨架。所以，我们的数学教育，要充分重视对数学本质的揭示，促进学生数学思想的形成。 学过微积分都知道重要极限lim(1+1/n)n=e。这个e在中学数学中也已经接触过，但是除了知道e=2718281828外，绝大部分学生对e的意义并不清楚，至于为什么称以e为底的对数为自然对数更是茫然。即便我们的学生能将这个极限倒背如流，意义又有多大呢? 导数的本质是一种变化率，仅靠背定义、能求初等函数的导数是不能解决问题的1998年上海市高考有道数

7、学题很能说明这个问题。出乎意料的是相当多的学生竟不知道变化率是何物我们的中学教师肯定让学生做了很多导数的题目，但这种机械的训练无助于学生对数2要有火热的思想 荷兰数学家、数学教育学家H弗赖登塔尔对数学著作的评价是“将火热的数学思考变成了冰冷的美丽”。数学的形式化表述确实有一种逻辑的美，不少人对此津津乐道，但是这个逻辑美是冰冷的，在这个冰冷美丽的外表下，数学创造的原始思想和创新动力都被淹没在逻辑的海洋中了。数学教育要做的最重要的事就是还数学的本来面目，恢复数学发现时的火热的思考。 火热的数学思考，就是要将数学回归到本原状态，回到数学原始的朴素的思想状态：“返璞归真”。数学教育仅限于从“已知”到“

8、求证”的逻辑链的构建是不够的(数学考试往往仅限于此)，要用合情合理的数学问题引起学生的数学思考，激发起学生学习数学的热情。 仍然用例子来说明这个问题。 导数和微分是微分学中两个最基本的概念，又是相互联系的从计算的角度出发，人们通常将两者看成是一个量的两个方面，这对于学过如何求导的学生来说，在学习计算微分时是十分方便的但这只是告诉学生一种计算的方法、一条捷径，却无助于对导数和微分原始思想的理解导数来自于对函数两个变量变化关系(变化率)研究，它是两个变量增量的比的极限；而微分则来源于对函数增量线性部分的研究，是函数在局部的线性化(这个思想贯穿整个微积分，比变化率更深刻)，最后却殊途同归，走到了一起

9、，导数也就被称为了“微商”，微积分也因此被人们归类为“线性数学”中的一员。如果把这些搞清清楚了，也就掌握了微积分的基本思想。 还有函数的定义，从初中就开始有了，还有“对应说”、“映射说”等不同定义方法，相信绝大多数学生都知道但是为什么要给函数这样的定义，能回答这个问题的学生应该不会很多用最朴素的思想讲，函数的产生来自于人们对不同变量相互“依赖”关系的研究不同的依赖关系，导致了不同的数学确定性依赖关系，产生了确定性数学分析学；不确定依赖关系是概率论的基础。“依赖关系”是函数的本质，一个量的变化依赖于另一个量的变化，是一元函数；一个量依赖于多个量的变化就是多元函数。这个想法虽然朴素却揭示了函数的本

10、质问题用这个思想去研究函数，不论是“对应说”，还是“映射说”；也不论单值函数还是多值函数，实在是没有什么太大的区别将这个思想精确化，就是函数的定义：有变量x和y，变量x在数集D中变化，对于任意xD，按照某个对应法则f，有唯一的y与x对应，称f是数集D上的函数。这个对应法则就是确定性的依赖关系。 清华大学萧树铁先生关于非数学专业的高等数学改革研究说过这样一句话，数学教学“要讲推理，更要讲道理”。这个道理就是数学应有的火热的思想，应该贯串于数学教育的整个过程。在数学教师培养中这一点更重要。四、数学教育的本质是向学生呈现数学的教育形态数学是实施数学教育的基础，但教材上的数学知识，包括原理、定理、证明

11、和思想方法都是演绎地呈现的，论述虽然严密，接受却不太容易因为当学生面对严格的定义却不知道定义背后的数学思想和本质时，是很难引起兴趣的，也不会感到数学是一门有用的学科，只会给人以“难学”的印象这是数学的学术形态数学教育的本质问题是要将数学的学术形态转变为数学的教育形态，即用学生容易接受的方式呈现出来上面谈到的“揭示数学的本质”、“火热的数学思想”就是具体的方法。 比如，前面所举的有关e的例子以e为底的对数称为自然对数，可是为什么是“自然”的?只有当学生了解了自然界一切连续增长(或衰退)现象的数学模型都可以归结为以e为底的指数函数时，如了解生物的增长模型、放射性元素的衰退模型、连续复利公式等，都可

12、以用y=yoekt来表示(注1)，其中A称为连续增长率(当k>0)，或连续衰减率(当k<0)，才会对“自然”有真实感受，会对自然对数有更深刻的理解，也会对相关的生物学和物理学知识有兴趣，就会感到数学是有用的，不是仅仅作为高考和升学的工具(当然自然对数的广泛使用还与它在微积分中的特殊地位有关)。 还是谈指数函数，教师怎样向学生呈现指数函数的“教育形态”?多数教师在教指数函数时会给出一个指数函数的图形来说明指数函数的特性，这很好但由于工具的局限(如黑板、纸张不够大)，这个图形往往是在一个很小的局部范围内描述指数函数的特性，很少会去注意指数函数的这种增长(当底数大于1时)究竟会给我们带来

13、什么如果我们结合用数值方法来考察指数函数，就会让学生感受到指数函数的令人惊奇的增长性。例如y=101x，底数仅比1大001取x=10，10110= 1104622。没有看出这个指数函数有什么令人吃惊的增长性，与线性函数y=1+00lx当x=10时的取值110相差很小。但是当取x=2000，x=5000时，则有什么结果呢?容易算得1012000 439286205，已经很了不起了，而10l500040445X1021就是天文数字了，已经不是线性函数所能比拟的了。通过这种方法学生对指数函数的认识会比画一个简单的图形深刻的多。 再如，“分数”对于小学生是一个比较不容易接受的概念，一些教材在处理分数时

14、往往只是用黑体字标识出“分数的定义”，“分数的大小定义”，“分数的加减运算、乘除运算定义”等等至于为什么要研究分数，基本不提但教师在讲授这些内容时却不能这样教对于分数学生可能会问：“既然已经有了小数，分数不过是两数相除得到的小数，为什么还要引进分数呢?”即便学生不问，教师也要启发学生问解决了这个问题，才能获得数学的真谛分数在形式上看上去与小数类似，只不过换了一个形式，但它们的数学本质是完全不一样的分数来自人类的社会实践，是“某一个总体等分后的各种不同的份数”的表达如12，在不同大小总体下代表的真实数量是不一样的(总体是10，12就是5，总体是20，12就是10)，但是它们的“份数”，即分数是一样的。分数难就难在这里如果在教学中全然无视这些“为什么”，不能将分数的学术形态转变为教育形态，只要求学生照规矩演算，学生如何能掌握分数的实质，怎会对分数学习产生兴趣呢? 要将数学的学术形态转变为数学