第三讲三角函数的图像和性质

1、第三讲 三角函数的图像和性质 课前预习1下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是( )3x（A） (B) )xsin(y32)xsin(y62(C) (D) )xsin(y62)xsin(y62解：B.2已知点在第一象限，则在内，的取值范围是( ) )tan,cos(sinP20,（A） （B） 45432,4524,（C） （D） 2345432,4324解：B.3函数的定义域为 （ ） )xcoslg(y12（A） （B）33xx66xx（C） （D） Zk ,kxkx3232Zk ,kxkx6262解：C.4若是周期为的奇函数，则可以是（ ） xsin)x(f)x(f（A） （B

2、） （C） （D） xsinxcosxsin2xcos2解：B.5. (天津)要得到函数的图象，只需将函数的图象xcosy2)xsin(y422上所有的点的( )(A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度218(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动个单位长度214(C)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动个单位长度4(D)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动个单位长度8解：C.课堂典例精讲 例 1：已知函数. )Rx(xcos)xsinxcos(xsin)xcosx(sin)x( f3 ()求函数的周期；)

3、x( f ()函数的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到？)x( fxsiny22分析：分析：三角函数周期性的题目是命题者送给考生的见面礼物！就像考虑三角函数的其它性质一样，把三角函数式化作只含一个三角符号的一次式是求解此类题的决定性步骤，然后套用正弦(或余弦、正切、余切)型函数的最小正周期公式即可。另外三角函数的图像变换是k)xsin(Ay|T2重点也是难点，要求学生切实掌握平移和伸缩变换的规律。解：.)xsin(xcosxsinxcosxsinxcosxsin)x(f432222222322()函数的最小正周期为.)x(f()函数的图象向左平移个单位得到函数xsiny2283的图象；将函数

4、的图象向上平移 2 个单位得)xsin(y4322)xsin(y4322到函数的图象.即将函数的图象按向量)xsin(y4222xsiny22平移得到函数的图象.),(a283)x(f反思：反思：三角函数的图象和性质在本章中占有非常重要的地位，因此，必须认真掌握三角函数的图象特征，图象变换(平移、伸缩)理论；以及三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质，并能以三角变换为手段，以其中的数学思想和方法为依托解决三角函数与向量、函数的综合问题.例 2：(重庆)若函数的最大值为 2，试)xcos(xsina)xsin(xcos)x( f222421确定常数 a 的值.分析：分析：三

5、角函数的最值问题是一个常考知识点，要求学生切实掌握三角函数的值域。并且能熟练的对所给三角式子进行变形，转化为正、余弦函数，从而利用正、余弦函数的有界性求出所给函数的最值。解：，其中，22422xcosxsinaxcosxcos)x(fxsinaxcos221)xsin(a4412，由已知，解得211asin44412a15a反思：反思：三角函数最值类型常有两种解法：一是化为只含一个三角符号的一次式后利用正弦或余弦函数的有界性，要特别注意自变量的范围限制；二是通过换元转化为有范围限制的一元二次函数的最值问题.例 3：(2005 年江苏模拟题)设函数，给出以)|,( )xsin()x( f20下四

6、个论断：它的最小正周期为；它的图象关于直线成轴对称图形；12x它的图象关于点成中心对称图形；),(03在区间上是增函数.)0,6以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 (用序号表示即可).分析：分析：本题是一个开放性题目，综合考查了正弦型函数的单调性，周期性以及对称性。解：若、成立，则；令，且，222122kZk2|300-3001180-1900oIt故，. 此时，当时，0k3)xsin()x( f323x，的图象关于成中心对称；又在032sin)xsin()x( f),(03)x( f上是增函数，在上也是增函数，因此12,125)0,6，用类似的分析可得. 因

7、此填或.反思反思：三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有性质，要切实掌握，并注意结合三角函数的图像，从而达到解决问题的目的.例 4：已知电流与时间 的关系式为Itsin()IAt（）右图是（0，）sin()IAt|2在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()IAt的解析式；（）如果 在任意一段秒的时间内，电流都能取得最t1150sin()IAt大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？分析：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力解解:（）由图可知300A设1，2， t1900t1180则周期T2（21）2（）tt11801900175150 2T又当 时，

8、0，即 sin（150）0，t1180I1180而， |26故所求的解析式为 300sin(150)6It（）依题意，周期，即， （）T1150211500300942，又，故最小正整数943 N反思反思:本题解答的关键点是将图形语言转化为符号语言，其中读图、识图、用图是形数结合的有效途径例 5：方程在上有两个不同根、，求 m 的范围mxcosxsin3),(20及的值. 分析：分析：本题如果直接去考虑方程的根的情况，比较困难。遇到这种情况的时候，我们不妨换个角度来看问题。正所谓是“退一步海阔天空” ， “横看成岭侧成峰” 。当我们把方程的左右两边分开来看时，思路就有了。其实我们可以用“数形结

9、合”的方法解决。解：原方程即,设，23m)xsin()xsin(y3122my 两函数的图象如右图.由图知：且时，121m232m原方程在总有两个不同根；另一方面，),(20当时，,关于对称，1223m6x故，所以；当时，,关于对称，故6232321m67x，所以.所以 m 的范围是或；6723732m23 m或.337反思：反思：“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法。在数学问题中，如果能充分的结合图形，往往能受到意想不到的效果。三角函数是函数的一种，所以有关函数中的数形结合，都可移植到三角中来：诸如方程根的个数的探讨、解不等式、单调性与值域等，只要看作函数时，图象易于作出即可.课后练习A

10、 基础练习1. 函数在下列哪个区间上是减函数( )xy2cos(A) (B) (C) (D)4,443,42, 0,2解：C.2 、函数 y=cos(2x+)的图象的一个对称轴方程为 （ ）2(A) (B) (C) (D) 2x4x8xx解：B.3(全国卷)函数的最小正周期是( )|xcosxsin|)x( f(A) (B) (C) (D)422解：C 4右图是周期为的三角函数的图象，2)x(fy 那么可以写成 （ ）)x(f(A) (B) )xsin( 1)xsin(1(C) (D) )xsin(1)xsin( 1解：D.5设函数 f（x）=A+Bsinx，若 B0 时，f（x）的最大值是，

11、最小值是，2321yx111x232o2m67326y则 A=_，B=_.解：填： 1.根据题意，由可得结论.212123BABA，B 能力提升1(山东)已知函数，则下列判断正确的是( )xcos()xsin(y1212(A)此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是2),(012(B)此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是),(012(C)此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是2),(06(D)此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是),(06解：B.2(全国卷)已知函数在内是减函数，则( )xtany),(22(A) (B) (C) (D)100111解：B.3定义运算，

12、例如，则函数的值域为ba, bba, aba121xcosxsin)x( f 解： 当，即时，22, 1xcosxsin)Zk(kxk24243xsin)x(f此时；当，即时，xsin)x(f22, 1xsinxcos)Zk(kxk24524，此时，综上，的值域为xcos)x(fxcos)x(f22, 1xcosxsin)x( f.22, 14已知 P（1，cosx） ，Q（cosx，1） ，x，.44（1）求向量和的夹角的余弦用 x 表示的函数 f（x） ；OPOQ（2）求的最值.cos解：（1）=2cosx，|=1+cos2x，f（x）OPOQOPOQ=；cosxx2cos1cos2（2）x， ，cosx，1=，4422cosxx2cos1cos2xxcos1cos22cosx+，cos1.即的最大值为 1，最小值为xcos1223322cos.3225是否存在实数，使得函数在闭区间上的最a23852axcosaxsiny2, 0大值是 1?若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由.a