第三册(选修Ⅱ)第三章《导数》单元设计稿

1、第三册(选修)第三章导数单元设计稿华川中学校高中数学组 李建军一、教材分析1. 在教材中的地位与作用 导数概念的建立是在学生学习了前一章极限的基础上进行的，是极限思想的一种具体的体现。同时导数又是在高一所研究函数的性质，尤其是单调性的进一步深化，有了导数这种求法后，在求函数的单调性、单调区间和最大值、最小值、极值等一些问题时，学生就显得有解题思路了，不再显得茫然，不从下手了。“导数的概念”是全章核心。不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，可以获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使学生扩展知识面，感悟变量，极

2、限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用。微积分是从生产技术和自然科学的需要中产生的，是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分。一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用。另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的，因此学好导数，理解导数思想是完全必要的。2、教材内容的

3、编排与呈现方式按照教学内容交叉编排、螺旋上升的方式，本章主要讲述导数的初步知识、导数的应用及微积分建立的时代背景和历史意义三部分。第一部分：导数的初步知识包括导数的概念、求导数的方法。这部分教材内容编排的顺序是：曲线的切线瞬时速度导数的概念几种常见函数的导数函数的和、差、积、商的导数复合函数的导数对数函数与指数函数的导数。对于导数概念的建立，这部分教材首先用比较多的篇幅介绍了导数产生的几何背景光滑曲线的切线的斜率，以及物理背景瞬时速度，由此引出函数在一点的导数的定义最后讲述导数的几何意义。这样处理，符合学生的认识规律，有利于学生正确理解和掌握导数的意义，体现了知识的循序渐进的过程。对于初等函数

4、的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”。在导数公式中，函数xn的导数公式只给了n是正整数情况下的证明，函数sinx、cosx的导数公式则没有给出证明；（对数函数与指数函数的导数公式没有给出证明，是因为超出了目前的学习范围），在两个函数四则运算的求导法则中，没有给出商的求导法则的证明，没有给出复合函数求导法则的证明，这些都表明皆在降低理论要求。第二部分：导数的应用主要介绍函数的单调性、可导函数的极值与函数的最大值与最小值。这部

5、分教材内容编排的顺序是：函数的单调性函数的极值函数的最大值与最小值函数的最大值和最小值的实际应用。导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法函数的单调性、可导函数的极值与函数的最大值与最小值是导数应用的具体内容，为了使学生能够正确地运用相应的方法，教科书首先从几何直观上让学生了解这些概念，进而引出它们与导数的关系，从而获得解决问题的方法，这样处理，符合知识的发生和发展过程及学生的认识规律，有利于学生正确理解和运

6、用相应的方法第三部分：微积分建立的时代背景和历史意义数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。通过介绍微积分建立的时代背景和过程，可以让学生了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想，并从中受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。而整章从介绍光滑曲线的斜率，以及物理背景瞬时速度（知识的发生），到导数的概念和基本函数的导数及有关求导法则（知识的发展）直到最后导数的应用，更是遵循了微积分建立的历史过程3、教材知识与例习题的功能与作用（1）在教材P118例，P119练习1、2，P123例3、例4，P124练习3、4，P125习题3.1

7、中第6、7、8、9题，P127习题3.2中第3、4、5、6题，P132习题3.3中第5、6题，P135习题3.4中第3题，P154参考例题1，P157复习参考题A组第3、4、5、6题均为求在某一点处切线方程的问题。从教材所配的练习和习题的配置来看，体现了在高考中的一个考点求曲线的切线。这些例题、习题的通解都是先求出在该点处切线的斜率和再利用直线的点斜式方程求出切线方程，当然在求在某点处的切线斜率既可以用导数的几何意义来求出斜率，又可以用求导公式求出，前者适合于刚开始学习导数时使用（教材P118例，P119练习1、2，P123例3、例4，P124练习3、4，P125习题3.1中第6、7、8、9题

8、就是使用和要求使用这一方法的），后者却是以后的常用工具了（P127习题3.2中第3、4、5、6题，P132习题3.3中第5、6题，P135习题3.4中第3题，P154参考例题1，P157复习参考题A组第3、4、5、6题这些题就不必再繁琐地运用定义来求了），这就要求学生必须熟练地掌握这一求法。这些例题是高考中的原始模型，如：（2007全国理8）8已知曲线y的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A3 B2C1D（2）微积分是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分。在教材P121练习1、2，P124习题

9、3.1第1、2题，P127习题3.2第1、2题，P132习题3.3第3、4题， P157复习参考题A组第7、8题均为求在某一时刻运动物体的瞬时速度的问题。从这些例题、习题可以看出数学作为一个工具在其他领域中（在这章中主要是物理学）的作用。这些例题、习题的解法同求曲线的切线的方程是一样的，可以用导数的定义或用求导公式求出导数后再求出在这一时刻导数的值来求出。注：由于运动质点在运动过程中，外力对质点是要做功的，在教学这些例题和学生完成这些练习、习题时，学生求瞬时速度后，追问：如果知道质点的质量，外力对质点做了多少功？如果将这些功转化成热能，又能使多少200C的水沸腾呢？当然这样的引伸就需要对物理学

10、中的力学和热学牢固掌握并能灵活运用才行的。（3）在教材P123例3、例4，P124练习1、2，P125习题3.1中第3、4、5题，P126练习1、2，P130练习1、2、3，P131练习1、2、3，P132习题3.3中第1、2题，P133练习，P134练习1、2，P135习题3.4中第1、2题，P136练习，P137练习，P137习题3.4中第1、2、3题， P157复习参考题A组第1、2，B组第1题均为求导数或求在某一点处导数的问题。从这些例题、习题的配置来看，体现了导数作为一个工具在具体问题中的体现。注：在教学这些例题和学生完成这些练习、习题时和学生求出切线方程后，再补上求切线与坐标轴所围

11、三角形的面积。 这些例题是高考中的原始模型，如：（2006安徽理7）（7）、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ） ABCD（2006福建理（文）14）已知直线与抛物线相切，则（2007海南理、文10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）（2007天津理20）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值（2007浙江文15）(15)曲线在点(1，一3)处的切线方程是_ （4）在教材P139例1、例2，P140练习1、2，P141例1，P142例2、P144例1P140习题3.6中第1、2题，P142练习， P143习题3.7中第1、2题，P1

12、44练习， P147习题3.8中第1题， P157复习参考题A组第9、10、11，B组第2、3、4、5题均为求函数的单调性、单调区间、极大值、极小值和最值的问题。从这些例题、习题的配置来看，体现了导数在解决这类数学问题中的中心地位的方法。这些例题是高考中的原始模型，如：（2006福建文21）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。（2006辽宁理（文）21）已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a0,d0.设1-上，在，将点A

13、， B， C (I)求(II)若ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值（2006陕西文22）已知函数f(x)=kx33x2+1(k0)()求函数f(x)的单调区间;()若函数f(x)的极小值大于0， 求k的取值范围（2007海南、宁夏理21）设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于（2007湖南理13）函数在区间上的最小值是 （2007四川文20）设函数f（x）=ax3+bx+c（a0）为奇函数，其图象在点（1,f（1）处的切线与直线x6y7=0垂直，导函数f（x）的最小值为12.（）求a，b，c的值；（）求函数f

14、（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在1,3上的最大值和最小值.（5）在教材P144例2，P145例3 ，P146练习，P146例4，P147练习，P147习题3.8中第2、3、4题，P155参考例题2， P158复习参考题A组第12、13、14，B组第6题均为导数的应用问题。从这些例题、习题的配置来看，体现了导数可以作为解决实际问题中的工具。这些例题是高考中的原始模型，如：（2006江苏18）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？（2006重庆理20）已知函数，其中为

15、常数。 （I）若，讨论函数的单调性； （II）若，且，试证：（2006四川理22）已知函数f(x)的导函数是f/(x)。对任意两个不相等的正数，证明：（）当时，；（）当时，。（2007浙江理22）设，对任意实数，记（I）求函数的单调区间；（II）求证：（）当时，对任意正实数成立；（）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立（2007全国理22）已知函数f（x）x3x，（1）求曲线yf（x）在点M（t，f（t）处的切线方程；（2）设a0 .如果过点（a，b）可作曲线yf（x）的三条切线，证明abf（a）。（2007山东理22）设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b0.()当b时，判断函

16、数f(x)在定义域上的单调性；（）求函数f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数n,不等式ln()都成立.注：从2006江苏18题可以看出此题的原始模型就是教材中P114例2和P115例3，因此在教学例2时，可以分别将例2的结论和条件进行交换，具体地讲将例2中改成“要做一个容积为16000cm3的长方体铁皮容器,问它的长、宽、高分别为多少时，长方体的表面积最小（即用料最省）？”还可以改为“已知铁皮5元/ cm3，要做一个容积为16000cm3的长方体铁皮容器,问它的长、宽、高分别为多少时，费用最低？”二、.近几年高考对本单元内容考察的分析有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考

17、试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性或者圆锥曲线的切线斜率等有机地结合在一起。考察中，一般在选择题或填空题中出现一题，解答题中有一题，难度属于中挡题，有时属于高档题。附：2006年、2007年各知识点的考查的不完全统计内 容20062007导数的概念、法则、求导公式

18、全国理16、北京理（文）16、全国理20、文20、天津文10、全国文22、北京文9、湖北文13、江苏9、辽宁理12、全国理20、全国文20、全国理8、文8、上海理19、导数的几何意义（求切线方程、求切线与坐标轴围成的面积）安徽理7、福建理（文）14、湖北理13、海南理（文）10、宁夏理10、全国文11、天津理20、文20、浙江文15、利用导数研究函数的单调性、极值，函数的最大值、最小值安微文20、福建文21、湖北文19、江西理（文）6、理（文）17、辽宁理（文）21、全国理21、山东理18、文17、陕西文22、重庆文19北京理19、福建文20、海南理21、海南19、湖南理13、宁夏理21、山东

19、文21、四川文20、重庆理20、导数的综合运用（结合不等式、列、解析几何、实际应用题）安徽理20、福建理19、广东18、湖北理17、湖南理19、20、湖南文19、江苏18、陕西理22、四川理22、文22、天津理20、浙江理（文）20、重庆理20、北京文20、福建理19、22、广东理21、湖北文18、辽宁理22、文22、全国理22、文22、山东理22、山东文19、四川理21、22、浙江理22、重庆文21三、课时的划分与教学目标的确定（1）从教学角度考虑本章的重点之一是：根据导数定义求简单函数导数的方法。一方面，按导数的定义求导数可以帮助学生进一步理解导数的概念；另一方面，像两个函数四则运算的求导

20、法则，复合函数的求导法则等，都是由导数的定义导出的，要掌握这些法则，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数。从学生掌握知识的角度考虑本章的重点之二是：掌握利用导数判别可导函数极值的方法。教材关于导数的应用，主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大（小）值的判定，其中最关键的是可导函数极值的判定。通过判定可导函数的极值，可以使学生加深对可导函数单调性与其导数的关系的了解；并且，掌握了可导函数极值的判别法之后，再学习可导函数的最大值与最小值的判定方法，就不成问题了。（2）本章教学目标1、了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处

21、的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记基本导数公式: ，(c为常数)，,3、掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。4、了解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。5、会求指数函数和对数函数的导数（熟记ex，ax，lnx，logax的导数公式）。6、会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般是指单峰函数）的最大值与最小值。7、通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值，文化价值和基本思想。（3）本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考）31导数的概念 约3课时32几

22、种常见函数的导数 约1课时33函数的和、差、积、商的导数 约2课时34复合函数的导数 约2课时35对数函数与指数函数的导数 约2课时36函数的单调性 约1课时37函数的极值 约2课时38函数的最大值与最小值 约2课时39微积分建立的时代背景和历史意义 约1课时小结与复习 约2课时按照教学内容交叉编排、螺旋上升的方式，后一知识是前一知识的运用与深化的特点，本章各课时之间的关系大致可以这样来进行分析它们之间的联系：“导数的概念”是全章核心。第一课时（曲线的切线）、第二课时（瞬时速度）是为第三课时（导数的概念）作为背景材料，为引出函数在一点的导数做好铺垫。第四课时（几种常见函数的导数）、第五、六课时

23、（函数的和、差、积、商的导数）、第七、八课时（复合函数的导数）、第九、十课时（对数函数与指数函数的导数）都是在导数的定义的基础上得出的，其中第五、六课时（函数的和、差、积、商的导数）、第七、八课时（复合函数的导数）、第九、十课时（对数函数与指数函数的导数）又是建立在学生已掌握了导数的概念和几种常见函数的导数的基础上进一步研究，导数的概念和几种常见函数的导数的运用与深化；第十一课时（函数的单调性）、第十二、十三课时（函数的极值）、第十四、十五课时（函数的最大值与最小值）是导数的定义、几种常见函数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数的具体运用，而第十四、十五课时（

24、函数的最大值与最小值）是通过求函数的极值来进行的；通过第十六课时（微积分建立的时代背景和历史意义）的教学可以增加学生的知识面，让学生了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想，并从中受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识；第十七、十八课时（小结与复习）是对全章知识进行整理和梳理，使学生了解本章的学习要求、学习中需要注意的几个问题，使知识成为一个链，从而牢固掌握本章的学习要求和灵活运用本章知识进行答题的要求。四、学情分析1、在学习本章之前学生已经了解了一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的性质，但研究的是这几个具体函数的图象和性质

25、，而这些函数是研究导数的具体函数，简单的初等函数也由它们复合而成，它们是学习导数的基础虽然函数的单调性、单调区间和最大值、最小值问题在高一时已有涉及，学生基本上能解决这几类典型的问题，但使用的是初等方法，有些问题的计算量大，更有些题技巧性强，对学生要求有点高，再加上学习间隔太长有些知识有些遗忘，因此初等方法来求函数的单调性、单调区间和最大值、最小值问题就显得有点生疏了，而求导的方法更具有一般意义。2、由于学生刚开始接触导数的知识，一方面，导数的概念建立在极限的思想上，因此它比较抽象；另一方面，导数概念的定义方法学生不太熟悉。因此在教学中，我们应结合光滑曲线的斜率，非匀速直线运动的瞬时速度等实际背景，从物理和几何两方面入手引导学生逐步理解导数的概念，将侧重点放在瞬时速度的讲授上，而将光滑曲线的切线的斜率作为辅导材料。这是因为所汲及的物理背景比较贴近学生的生活经验，学生容易理解。可关于曲线的切线，在对极限的思想还不熟悉的时候，要学生体会