电力系统分析课程设计——牛顿拉夫逊潮流计算

1、电力系统编程潮流计算1设计任务及初步分析1.1设计任务条件：节点数：3 支路数：3计算精度:0.00010支路1:0.0300+j0.09001 |2支路2:0.0200+j0.09002 |3支路3:0.0300+j0.09003 |1节点1 :PQ 节点，S (1) 节点2:PQ 节点，S (2) 节点3:平衡节点，U (3) =1.0000 / 0.0000要求：编写程序计算潮流1.2初步分析潮流计算在数学上可归结为求解非线性方程组，其数学模型简写如下:f。，X2，Xn)0f2(X1,X2，Xn)0仁（人，X2，Xn)02牛顿-拉夫逊法简介2.1概述牛顿-拉夫逊法是目前求解非线性方程最好

2、的一种方法。 这种方法的特点就 是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程， 通常称为 逐次线性化过程，就是牛顿-拉夫逊法的核心。牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数一一雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步， 在新的点上 再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准， 即得到 了非线性方程组的解。因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所 以牛顿法具有二阶收敛特性。而所谓 某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范 围，否则可能走向非线性函数的其它极值点， 一般来说潮流由平电压即各母线电 压（相角为0,幅值

3、为1）启动即在此邻域内。2. 2 一般概念对于非线性代数方程组f x 0fi x-|, x2, xn 0i1,2,n(2- 1)f X0在待求量x的某一个初始计算值X0附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶 及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组(2 - 2)上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量X01f X0(2 - 3)将X0和X0相加，得到变量的第一次改进值X1。接着再从X1出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值X0出发，应用牛顿法求解的迭代格式为(2 - 4)(2 - 5)k 1kkXXX上两式中：f X是函数f X对于变量X的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵 J ；

4、k为迭代次数。由式（2-4）和式子（2-5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正 方程式。牛顿法当初始估计值X0和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快, 具有平方收敛特性。2.3潮流计算的修正方程运用牛顿-拉夫逊法计算潮流分布时， 首先要找出描述电力系统的非线性方 程。这里仍从节点电压方程入手，设电力系统导纳矩阵已知，则系统中某节点（i 节点）电压方程为n ?YUSiUi从而得?nSiUi YjUjj i? n进而有R jQi UiYjU j 0j i6）式（2 6）中，左边第一项为给定的节点注入功率，第二项为由节点电压求 得的节点注入功率。他们二者之差就是节点功率的不平衡量。现在有待解决

5、的问 题就是各节点功率的不平衡量都趋近于零时，各节点电压应具有的价值。由此可见，如将式（2-6）作为牛顿一拉夫逊中的非线性函数 F X 0，其中节点电压就相当于变量 X。建立了这种对应关系，就可列出修正方程式，并 迭代求解。但由于节点电压可有两种表示方式 一一以直角做表或者极坐标表示， 因而列出的迭代方程相应地也有两种，下面分别讨论。2.4直角坐标表示的修正方程? ?节点电压以直角坐标表示时，令Ui e jfi、Uj ej jfj，且将导纳矩阵中兀素表示为YijGijjBij，则式(2- 7)改变为R jQienjfiGjj 1jBij ej jfj 07)再将实部和虚部分开，可得nPej 1

6、Gj ejBj fjfiGjfjBijej0nQifiGjejBijfjeGj fjBij ej0j i8)这就是直角坐标下的功率方程。可见，一个节点列出了有功和无功两个方程。对于PQ节点(i 1,2, ,m 1)，给定量为节点注入功率，记为 R、Qi ,则 由式（2-8）可得功率的不平衡量，作为非线性方程nR R e Ge B f f G f Beii1 ij jij ji ij jij jj 1nQi Qifi Gijej Bij fj e Gij fjBij ejj 19)式中R、Qi分别表示第i节点的有功功率的不平衡量和无功功率的不平衡对于RV节点(i m 1,m 2, ,n )，给定

7、量为节点注入有功功率及电压数 值，记为R、Ui，因此，可以利用有功功率的不平衡量和电压的不平衡量表示 出非线性方程，即有nR Re Gijej Bij f jfi Gij fjBijejj 1( 2 - 10)2 2 2 2Ui Ui efi式中 5为电压的不平衡量。对于平衡节点(i m )，因为电压数值及相位角给定，所以Us es jfs也确 定，不需要参加迭代求节点电压。因此，对于n个节点的系统只能列出2n 1个方程，其中有功功率方程n 1个，无功功率方程 m 1个，电压方程n m个。将式(2-9)、式(210)非 线性方程联立，称为n个节点系统的非线性方程组，且按泰勒级数在 fj、e0(

8、i 1,2, ,n,i m )展开，并略去高次项，得到以矩阵形式表示的修正方程如下。PH11N11H12N12.H1pN1pHmNmf1Q1J11L11J 12L12J1 pL1 pJ 1nL1ne1P2H21N21H 22N22H2p N2pH2nN2nf2q2J 21L21J 22L22'J 2 pL2pJ 2nL2ne2PpHp1Np1Hp2Np2H ppN ppHpnNpnfpU2Rp1Sp1Rp2Sp2RppSppRpnSpnepPnHn1Nn1Hn2Nn2:HnpNnpHnnNnnfnu；Rn1Sn1Rn2Sn2Rnp&pRnnSnn(2 11)上式中雅可比矩阵的各

9、个元素则分别为HijNijejJijQiLijQiejRijUi2Sijej将（2 11）写成缩写形式PQU2(2 12)对雅可比矩阵各元素可做如下讨论:当j i时，对于特定的j只有该特定点的fi和e是变量,于是雅可比矩阵中各非对角元素表示为HijGjfiNijJPejGij e BijfiJijQiBjfiGijeiLijQiejGij fiBij eiRijUi2Sijej当j i时，雅可比矩阵中各对角元素的表示式为ijifjG“ f ij jj ijjGii fiBiieN. ijP ejnGj ejj iBijfjGiieBii f,ji. ijQi fjnGijejj 1BijfjG

10、iQBifli. ijQinGjfjBij ejGiifiBiienj 1IIejUj2f|2eSijUZej由上述表达式可知，直角坐标的雅可比矩阵有以下特点：1）雅可比矩阵是2n 1阶方阵，由于Hij Hji、Nij Nji等等，所以它是一个不对称的方阵。2）雅可比矩阵中诸元素是节点电压的函数，在迭代过程中随电压的变化而 不断地改变。3）雅可比矩阵的非对角元素与节点导纳矩阵 Yb中对应的非对角元素有关,当Yb中的Yj为零时，雅可比矩阵中相应的Hj、Nj、Jj、Lj也都为零，因此, 雅可比矩阵也是一个稀疏矩阵。3程序设计3.1 程序流程图图3-1程序流程图3.2源程序n=3 n1=3 isb=

11、3 pr=0.0001B1=1 2 0.03+0.09i 0 1 0;1 3 0.03+0.09i 0 1 0;2 3 0.02+0.09i 0 1 0B2=0 -0.5-0.2i 1 0 0 2;0 -0.6-0.25i 1 0 0 2;0 0 1 1 0 1X=1 0;2 0;3 0%X=input('节点号和对地参数：X=');Y=zeros( n);Times=1; %置迭代次数为初始值%创建节点导纳矩阵for i=1: n1if B1(i,6)=0 %不含变压器的支路P=B1(i,1);q=B1(i,2);丫(p,q)=Y(p,q)-1/B1(i,3);丫(q,p)=

12、Y(p,q);Y(p,p)=Y(p,p)+1/B1(i,3)+0.5*B1(i,4);Y(q,q)=Y(q,q)+1/B1(i,3)+0.5*B1(i,4);else %含有变压器的支路p=B1(i,1);q=B1(i,2);丫(p,q)=Y(p,q)-1/(B1(i,3)*B1(i,5);Y(q,p)=Y(p,q);Y(p,p)=Y(p,p)+1/B1(i,3);Y(q,q)=Y(q,q)+1/(B1(i,5)A2*B1(i,3);endendYOrgS=zeros(2* n-2,1);DetaS=zeros(2*n-2,1); %将 OrgS、DetaS 初始化%创建OrgS，用于存储初始

13、功率参数h=0;j=0;for i=1:n %对PQ节点的处理if i=isb&B2(i,6)=2h=h+1;for j=1: nOrgS(2*h-1,1)=OrgS(2*h-1,1)+real(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*real(B2(j,3)-imag(Y(i,j)*i mag(B2(j,3)+imag(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*imag(B2(j,3)+imag(Y(i,j)*real(B2(j,3);OrgS(2*h,1)=OrgS(2*h,1)+imag(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*real(B2(j,3)-imag(Y(i,j)

14、*im ag(B2(j,3)-real(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*imag(B2(j,3)+imag(Y(i,j)*real(B2(j,3); endendendfor i=1:n %对PV节点的处理，注意这时不可再将h初始化为0if i=isb&B2(i,6)=3h=h+1;for j=1: nOrgS(2*h-1,1)=OrgS(2*h-1,1)+real(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*real(B2(j,3)-imag(Y(i,j)*i mag(B2(j,3)+imag(B2(i,3)*(real(丫(i,j)*imag(B2(j,3)+imag(丫(

15、i,j)*real(B2(j,3);OrgS(2*h,1)=OrgS(2*h,1)+imag(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*real(B2(j,3)-imag(Y(i,j)*im ag(B2(j,3)-real(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*imag(B2(j,3)+imag(Y(i,j)*real(B2(j,3);endendendOrgS%创建PVU用于存储PV节点的初始电压PVU=zeros( n-h-1,1);t=0;for i=1: nif B2(i,6)=3t=t+1;PVU(t,1)=B2(i,3);endendPVU%创建DetaS，用于存储有功功率、无

16、功功率和电压幅值的不平衡量h=0;for i=1:n %对PQ节点的处理if i=isb&B2(i,6)=2h=h+1;DetaS(2*h-1,1)=real(B2(i,2)-OrgS(2*h-1,1);DetaS(2*h,1)=imag(B2(i,2)-OrgS(2*h,1);endendt=0;for i=1:n %对PV节点的处理，注意这时不可再将h初始化为0if i=isb&B2(i,6)=3h=h+1;t=t+1;DetaS(2*h-1,1)=real(B2(i,2)-OrgS(2*h-1,1);DetaS(2*h,1)=real(PVU(t,1)A2+imag(PV

17、U(t,1)A2-real(B2(i,3)A2-imag(B2(i,3)A2; endendDetaS%创建I，用于存储节点电流参数i=zeros( n-1,1);h=0;for i=1: nif i=isbh=h+1;l(h,1)=(OrgS(2*h-1,1)-OrgS(2*h,1)*sqrt(-1)/conj(B2(i,3);endendI%创建Jacbi(雅可比矩阵)Jacbi=zeros(2* n-2);h=0;k=0;for i=1:n %对PQ节点的处理if B2(i,6)=2h=h+1;for j=1: nif j=isbk=k+1;if i=j %对角元素的处理Jacbi(2*

18、h-1,2*k-1)=-imag(Y(i,j)*real(B2(i,3)+real(Y(i,j)*imag(B2(i,3)+imag(l(h,1);Jacbi(2*h-1,2*k)=real(Y(i,j)*real(B2(i,3)+imag(Y(i,j)*imag(B2(i,3)+real(l(h,1);Jacbi(2*h,2*k-1)=-Jacbi(2*h-1,2*k)+2*real(l(h,1);Jacbi(2*h,2*k)=Jacbi(2*h-1,2*k-1)-2*imag(l(h,1);else %非对角元素的处理Jacbi(2*h-1,2*k-1)=-imag(Y(i,j)*real

19、(B2(i,3)+real(Y(i,j)*imag(B2(i,3);Jacbi(2*h-1,2*k)=real(Y(i,j)*real(B2(i,3)+imag(Y(i,j)*imag(B2(i,3);Jacbi(2*h,2*k-1)=-Jacbi(2*h-1,2*k);Jacbi(2*h,2*k)=Jacbi(2*h-1,2*k-1);endif k=(n-1) %将用于内循环的指针置于初始值，以确保雅可比矩阵换行k=0;endendendendendk=0;for i=1:n %对PV节点的处理if B2(i,6)=3h=h+1;for j=1: nif j=isbk=k+1;if i=j

20、 %对角元素的处理Jacbi(2*h-1,2*k-1)=-imag(Y(i,j)*real(B2(i,3)+real(Y(i,j)*imag(B2(i,3)+imag(l(h,1)；Jacbi(2*h-1,2*k)=real(Y(i,j)*real(B2(i,3)+imag(Y(i,j)*imag(B2(i,3)+real(l(h,1);Jacbi(2*h,2*k-1)=2*imag(B2(i,3);Jacbi(2*h,2*k)=2*real(B2(i,3);else %非对角元素的处理Jacbi(2*h-1,2*k-1)=-imag(Y(i,j)*real(B2(i,3)+real(Y(i,

21、j)*imag(B2(i,3);Jacbi(2*h-1,2*k)=real(Y(i,j)*real(B2(i,3)+imag(Y(i,j)*imag(B2(i,3);Jacbi(2*h,2*k-1)=0;Jacbi(2*h,2*k)=0;endif k=(n-1) %将用于内循环的指针置于初始值，以确保雅可比矩阵换行k=0;endendendendendJacbi%求解修正方程，获取节点电压的不平衡量DetaU=zeros(2* n-2,1);DetaU=i nv(Jacbi)*DetaS;DetaU%修正节点电压j=0;for i=1:n %对PQ节点处理if B2(i,6)=2j=j+1;

22、B2(i,3)=B2(i,3)+DetaU(2*j,1)+DetaU(2*j-1,1)*sqrt(-1);endendfor i=1:n %对PV节点的处理if B2(i,6)=3j=j+1;B2(i,3)=B2(i,3)+DetaU(2*j,1)+DetaU(2*j-1,1)*sqrt(-1);endendB2while abs(max(DetaS)>prOrgS=zeros(2* n-2,1); %!初始功率参数在迭代过程中是不累加的，所以在这里必须将其初始化为零矩阵h=0;j=0；for i=1: nif i=isb&B2(i,6)=2h=h+1;for j=1: nOrg

23、S(2*h-1,1)=OrgS(2*h-1,1)+real(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*real(B2(j,3)-imag(Y(i,j)*i mag(B2(j,3)+imag(B2(i,3)*(real(丫(i,j)*imag(B2(j,3)+imag(丫(i,j)*real(B2(j,3);OrgS(2*h,1)=OrgS(2*h,1)+imag(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*real(B2(j,3)-imag(Y(i,j)*im ag(B2(j,3)-real(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*imag(B2(j,3)+imag(Y(i,j)*real(B

24、2(j,3); endendendfor i=1: nif i=isb&B2(i,6)=3h=h+1;for j=1: nOrgS(2*h-1,1)=OrgS(2*h-1,1)+real(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*real(B2(j,3)-imag(Y(i,j)*i mag(B2(j,3)+imag(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*imag(B2(j,3)+imag(Y(i,j)*real(B2(j,3);OrgS(2*h,1)=OrgS(2*h,1)+imag(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*real(B2(j,3)-imag(Y(i,j)*im

25、ag(B2(j,3)-real(B2(i,3)*(real(Y(i,j)*imag(B2(j,3)+imag(Y(i,j)*real(B2(j,3); endendendOrgS%创建DetaSh=0;for i=1: nif i=isb&B2(i,6)=2h=h+1;DetaS(2*h-1,1)=real(B2(i,2)-OrgS(2*h-1,1);DetaS(2*h,1)=imag(B2(i,2)-OrgS(2*h,1);endendt=0;for i=1: nif i=isb&B2(i,6)=3h=h+1;t=t+1;DetaS(2*h-1,1)=real(B2(i,2)

26、-OrgS(2*h-1,1);DetaS(2*h,1)=real(PVU(t,1)A2+imag(PVU(t,1)A2-real(B2(i,3)A2-imag(B2(i,3)A2; endendDetaS%创建Ii=zeros( n-1,1);h=0;for i=1: nif i=isbh=h+1;l(h,1)=(OrgS(2*h-1,1)-OrgS(2*h,1)*sqrt(-1)/conj(B2(i,3);endendI%创建JacbiJacbi=zeros(2* n-2);h=0;k=0;for i=1: nif B2(i,6)=2h=h+1;for j=1: nif j=isbk=k+1

27、;if i=jJacbi(2*h-1,2*k-1)=-imag(Y(i,j)*real(B2(i,3)+real(Y(i,j)*imag(B2(i,3)+imag(l(h,1);Jacbi(2*h-1,2*k)=real(Y(i,j)*real(B2(i,3)+imag(Y(i,j)*imag(B2(i,3)+real(l(h,1);Jacbi(2*h,2*k-1)=-Jacbi(2*h-1,2*k)+2*real(l(h,1);Jacbi(2*h,2*k)=Jacbi(2*h-1,2*k-1)-2*imag(l(h,1);elseJacbi(2*h-1,2*k-1)=-imag(Y(i,j)

28、*real(B2(i,3)+real(Y(i,j)*imag(B2(i,3);Jacbi(2*h-1,2*k)=real(Y(i,j)*real(B2(i,3)+imag(Y(i,j)*imag(B2(i,3);Jacbi(2*h,2*k-1)=-Jacbi(2*h-1,2*k);Jacbi(2*h,2*k)=Jacbi(2*h-1,2*k-1);endif k=( n-1)k=0;endendendendendk=0;for i=1: nif B2(i,6)=3h=h+1;for j=1: nif j=isbk=k+1;if i=jJacbi(2*h-1,2*k-1)=-imag(Y(i,j

29、)*real(B2(i,3)+real(Y(i,j)*imag(B2(i,3)+imag(l(h,1)；Jacbi(2*h-1,2*k)=real(Y(i,j)*real(B2(i,3)+imag(Y(i,j)*imag(B2(i,3)+real(l(h,1);Jacbi(2*h,2*k-1)=2*imag(B2(i,3);Jacbi(2*h,2*k)=2*real(B2(i,3);elseJacbi(2*h-1,2*k-1)=-imag(Y(i,j)*real(B2(i,3)+real(Y(i,j)*imag(B2(i,3);Jacbi(2*h-1,2*k)=real(Y(i,j)*real

30、(B2(i,3)+imag(Y(i,j)*imag(B2(i,3);Jacbi(2*h,2*k-1)=0;Jacbi(2*h,2*k)=0;endif k=( n-1)k=0;endendendendendJacbiDetaU=zeros(2* n-2,1);DetaU=i nv(Jacbi)*DetaS;DetaU%修正节点电压j=0;for i=1: nif B2(i,6)=2j=j+1;B2(i,3)=B2(i,3)+DetaU(2*j,1)+DetaU(2*j-1,1)*sqrt(-1);endendfor i=1: nif B2(i,6)=3j=j+1;B2(i,3)=B2(i,3)

31、+DetaU(2*j,1)+DetaU(2*j-1,1)*sqrt(-1);endendB2Times=Times+1; % 迭代次数加 1enddisp('迭代次数为');disp(Times)for no=1: nVn(no )=B2( no,3);strl = sprintf('节点 %d 的电压是 d',no); disp(str);disp( Vn(no);end3.3结果及分析节点导纳矩阵为迭代运行了 3次，每次功率的不平衡量表3-1所示表3-1迭代过程中各节点的功率不平衡量k012:30.0000+j0.00000.0000+j0.0000表3-2迭代过程中各节点电压k跻*旳10.9664 - j0.04230.9658 - j0.045720.9632 - j0.04230.9623 - j0.045730.9632 - j0.04230.9623 - j0.0457平衡节点功率为下面计算网络中的功率分布，根据 Sij Pjj jQij Vi I ij ViVi yi0 (Vi Vj) yij 所有线路功率计算如下：512=(0,9632-j0k0423(0.9632+i0.0423)x0+(0l96324-j010423；i <0.9623+j0-0457)x(3.334-il0)=0.0355 -S13 = (