有限的元学习心得

1、有限元学习心得吴清鸽车辆工程50110802411短短八周的有限元课已经结束。关于有限元，我一直停留在一个很模糊的 概念。我知道这是一个各个领域都必须涉及的点，只要有关于 CAE分析的，几 乎都要涉及有限元。总体来说，这是一门非常重要又有点难度的课程。有限 元方法(finite element method) 或有限 元分析(finite elementanalysis)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科 技的一种重要基础性原理。将它用于在科学研究中，可成为探究物质客观规律的 先进手段。将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。本课程 教学基本内容有固体

2、力学和结构力学简介；有限元法基础；桁架、梁、刚架、二 维固体、板和壳、三维固体的有限元法；建模技术；热传导问题的有限元分析； PATRAN软件的使用.通过有限元分析课程学习使我了解和掌握了一些有限元知识：1. 简要了解二维和三维固体以及桁架、梁和板结构的三组基本力学方程，即表 示位移-应变关系的几何方程，表示应力-应变关系的本构方程和表示内力-外力 关系的平衡方程。2 了解利用能量法形成有限元离散系统方程的基本原理，即哈密尔顿原理。掌握有限元分析的基本方法及步骤，包括域的离散、位移插值、构造形函数、单元有限元方程 的建立、坐标变换、整体有限元方程的组装、整体有限元方程的求解技术。3 具体深入的

3、了解并掌握桁架结构、梁结构、刚架结构、二维固体、板和壳结 构、三维固体的有限元法分析技术，包括他们具体的形函数构造，应变矩阵，局 部坐标系和整体坐标系中的单元矩阵。各种结构的实例研究。4 了解并掌握建立高质量建模所涉及的各种关键技术。包括单元类型的选择， 单元畸形的限制，不同阶数单元混用时网格的协调性问题， 对称性的应用（平面 对称、轴对称、旋转对称、重复对称），由多点约束方程形成刚域及应用（模拟 偏移、不同自由度单元的连接、网格协调性的施加）等，以及多点约束方程的求 解。以PATRAN有限元通用软件为例了解一般商业有限元软件的组成及结构。掌握PATRAN软件的基本使用。利用PATRAN软件上

4、机实践完成两个上机练习： 刚架结构有限元分析和三维固体有限元分析。课程的具体学习内容：内容：1. 三节点三角形单元：单元分析、总刚度矩阵组装、引入约束条件修正总刚度矩阵、载荷移置、方程求解；2. 四边形单元分析、四节点四面体单元分析、八节点六面体单元分析；3. 其他常用单元形函数、自由度。1、三节点三角形单元1.1.单元分析分析步骤单元分析的任务是建立单元平衡方程，形成单元刚度矩阵。不失一般性，从图1-1三角形离散结构中任取一个单元，设单元编号为e，单元节点按右手法则顺序编号为i, j, m,在定义的坐标系xOy中，节点坐标分别为（xi+yi） ，（xj+yj），(xm+ym)，节点位移和节点

5、力表示如图1-1所示ui Vi Uj Vj Um VmUiViUjVjVm取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力:其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单 元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：位移模式和形函数对于平面问题，单元任意一点的位移可用位移分量 u, v描述，他们是坐标 x, y的函数。假定三节点单元的位移函数为 x, y的线性函数，六个节点位移只能 确定六个多项式的系数，所以平面问题的 3结点三角形单元的位移函数如下：ua1a2xa3yva4a§xa6y所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。位移函数写成矩

6、阵形式为：aiu 1 x y 0 00 a3f3v 0 001 x y a4a5将水平位移分量和结点坐写成矩阵：a6代入位移函数第一式：A为三角形单元T 2AXj YmXm Yj*YjYmTxmx jT的伴随矩阵为TXmYiXiYmYmYixixmXiYjXjYiYi YjXjXaibTCiaiajam*TajbjCjbbbmambmCmCiCm则有a11aiajamUia2bbjbmUj2AasGCjCmUmuia1a2Xia3YiUi1XiYi4Uj印a?Xja3YjUj1XjYja2Uma1a2Xma3YmUm1XmYma3令则有1人Yia1Ui1 XjyjTa2T1Uj1XmYma3U

7、m同样，将垂直位移分量与结点坐标代入位移插值公式:a4aiaamV1 ,bmasbi2AbV最终确定六个待定系数：6CCCmVma11aiaamUi精彩文档a22AbbbmUjasqCjCmUma4asae12AajbjCjamCmViVjVmu (ai bx Ciy)ui (aj bjX Cj y)uj (am bmX Cmy)um 2Av “(a bx 2AqyN (aju fNi 0 NjV0Ni01令 Ni佝 bx Gy)2 A(下标i，bjX cy)Vj (am "x Cmy)VmUiv0 Nm 0 UjN j 0 Nm Vjj, m轮换)UiVieiUjjVjmUmVmN

8、称为形态矩阵，Ni称为位移的形态函数位移函数的收敛性选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密 时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。 因此，选用的位移模式应当满 足下列两方面的条件:(1) 必须能反映单元的a体位移和常量应变。6个参数 到反映了三个刚体位移和三个常量应变。(2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。(线性函数的特性)应变矩阵和应力矩阵利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单元的应变和单元的应力用结点位移表示单元的应变的表达式为:V1b0b0bm0u2A0Ci0q0CmVCbiqbjCmbmuv1b0Bi0ci2ACibiuxv-y u

9、vy x B euiB Bi BjBmB矩阵称为几何矩阵eS SiSjSm由物理方程，可以得到单元的应力表达式:为应力矩阵D BiE2""2A(12)1.1.5单元刚度矩阵bb1c2CiCi12讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结点位移表示结点* T力的表达式。由应力推算结点力* T需要利用平衡方程gz用虚功方程表示出平衡方VmV令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为TUi U Vi V Uj UVj V Um Um Vm VmUi Vi UjVjUmVmeT微小矩形的内力虚功为dU ( bxtdy)( £x*dx) ( bytdx)( 

10、3;y*dy)( Txytdx) ( Yxy*dy)* * *(*x x£y y丫 xy Txy )tdxdy* * *&x£yYxy J tdxdyTxy根据虚功原理，得* eTe* TFtdxdy这就是弹性平面问题的虚功方程,实质是外力与应力之间的平衡方程。虚应变可以由结点虚位移求出：t* eT t)T S Bt代入虚功方程eTF1bTtdxdyFeBt接上式，将应力用结点位移表示出(T(T tdxdyD B SFeB TDBtdxd y SB TDBtdxd y则Fe Ke S eKe建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其

11、元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结 点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。1.2总刚度矩阵组装Kk e整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。1、刚度集成法的物理概念：冈寸度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。2、刚度矩阵的集成规则：k ekij先对每个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵 K的子 块，从而得出结构刚度矩阵K。关键是如何找出中的子块在K中的对应位置。这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。结

12、构中的结点编码称为结点的总码，各个单元的三个结点又按逆时针方向编 为i,j,m,称为结点的局部码。单元刚度矩阵中的子块是按结点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是按结点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把结点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排列a1Kjj(2)Kjm (：)KJ(2)Kmj(：)Kmm '2)Kmi(2)Kij(2)Kim(：)Kii(2)局部码-j2m2i2j2m 2i 2总码123456123456以单元为例，局部码i，Km对应于总码5,2,4 ,因此中的子块按照总码重新K、K、K排列后，得出扩大矩阵为上图所示：用同样的方法可得出其他单元的扩

13、大矩阵将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵K:K KK（2）K K K（e）集成规则包含搬家和迭加两个环节:1、将单元刚度矩阵中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵2、将各单元的扩大刚度矩阵迭加,得出结构刚度矩阵K。Ke局部码卜总码 ,jimi, j2,i 3 ii, m3,j4123i2,j3, m45i46jlmj2i 3ii mj4i 2j3mi4Kjm （1）Kji（1）Kmm'"K 汀2）kb（3）Kmi（1>Kim （3）Kjm （2）KF3®Kii（l）Kmm（3）心Kmi（3）Kim（4）Kji（4）Kmm （2）Kmi（2）KH（2） K

14、»（3） K mm（4）Kmi（4）KS （4）1234561.3引入约束条件修正总刚度矩阵整体刚度矩阵K求出后，结构的结点力F可表示为:在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在有支杆的结点处,则求结点力时，还应把未知的支杆反力考虑在内。如果用P表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则结点的平衡方程为K 3 P根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点n有水平支杆的情况。与结点n水平方向对应的平衡方程是第2n-1个方程，K 2n 1,1u1 K 2n 1,2v 1 K 2n 1,2n 1un K 2n 1,2n v n AnUn 0根据支承情况，上式应换成，即在K中，第2n-1行

15、的对角线元素应改为1，该行全部部非对角线元素应改为0。在P中，第2n-1个元素应改为0。此外，为了保持矩阵K的对称性，则第2n-1列全部非对角线元素也改为0同理，如果结点n有竖向支杆，则平衡方程的第2n个方程应改为 为此，在矩0车K中，第2n行的对角线元素改0为1，该行全部非对角线元素改为0V1Py10。在P 中，第 2n个元素改为0000 0 0 0 0 Un01 0 0 0 0 vn0000000，同时，第2n列全部非对角线元素也改为000 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0001.4载荷移置将载荷移置到结点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与 结点载荷在任意虚位

16、移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯 的，且总能符合静力等效原则。单元的虚位移可以用结点的虚位移* ee表示为f N令结点载荷为Re NcTP sNTPtdsNTptdxdyRe Xj 丫XmYmXiY集中力的移置p如图所示，在单元内任意一点作用集中力由虚功相等可得 *eTRe* e T t e NtP由于虚位移是任意的，则Re NtPPxPy体力的移置xp令单元所受的均匀分布体力为ye Te*TteTR Nptdxdy RN ptdxdy由虚功相等可得：2、四边形、四节点四面体、八节点六面体单元分析2.1四边形单元分析四边单元可取矩形作为研究对象，矩形单元也是一种常用的单元，它

17、采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。矩形单元1234如图所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、yV3 (V3)轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。采用三角形单元中的方法：3同样可以完成对这种单元的力学特性分析。然而，如果我U4 (U4)们引入局部局部上标Ui (UJ1 2 2avi (Vi)U3 (U3) 系U2 (U2)，那么就可以推出比较简洁V2 (V2)x的结果在局部坐标系中，节点i的坐标是(i , i )，其值分别为土 1。取位移模式:用与三角形单元相似的方法建立形函数，

18、则位移模式可写成：u 1234rufN i iV 5678V10Ui式中： N i Ni I , Ii(i1,2,3,4)01vi由几何方程可以求得单元的应变xygxyxVyu Vy xua2 vb1 u 1 Vb aaba可推出:式中B1B2B3B4NiBi1ab0Nia -14ab由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即S1S2S3S4SiD Bi式中：对于平面应力问题4ab 1Sb i1有:若将单元刚度矩阵写成分块形式:knk12k13k14k21k22k23k24kk31k32k33k34k41k42k43k44则其中的子矩阵可按下式进行计算:kijB 丁 D Bj tdxd

19、y四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为：其中载荷列阵Re与上节中的（c）式相同，仍可按上式计算等效节点力。但et是，需要注意勺是,1矩形单元有四个节点 严1U42V43，4），所以Re具有2.2四节点四面体单元分析单元划分及位移模式如图1所示的四面体单元，单元结点的编码为i, j, m, n。每个结点的位移具有三个分量u, v, w。这样单元结点的位移列阵可表示成：Tuiviwi uviwiu vi w ui vi wi单元的位移模式采用线性多项式:ui2X3y4Zv56X7y8Zw910 x 11 y 12z式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。将四个结点的坐标(Xi,yi

20、, Zi)、( Xj, yj, Zj)、( Xm, ym, Zm)、( Xn, yn, Zn)和结点位移(Ui, Vi, Wj)、( Uj, Vj, Wj )、 (Um, Vm , Wm )、( Un, Vn, Wn、代入(2)式可得12个联立方程，解方程组便可 求出。将这十二个系数回代到式，则得到由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式:UNiUiN jujN mUmNnUnVNiViNjVjNmvmNnVnWNiwiN jWjNmWmNnW式中nNibiXdiZaiCiyNjNmNn丄6V1 a j6V J167 am1 an6V nCjydjZbm xCmyd mZbnXCn y

21、dnZNi，N j，Nm，Nn为四面体单元的形函数位移模式可以用矩阵形式表示:uNi00NfV0Ni00w00Ni0NiInjiNmINnINe00Nm00Nn00Nj00Nm00Nn0 J0NJ00Nm00Nnmne式中，I为三阶单位阵,N为形函数矩阵。上式即为单元结点位移和单元任意点位移之间的关系单元应变和应力知道单元内任意一点位移后，可利用几何方程确定单元内该点的应变。位移矩阵式代入空间问题几何方程得:BiBjBmBne433其中n oua上式表明几何矩阵B中的元素都是常量，因此单元中的应变也是常量 就是说，采用线性位移模式的四面体单元是常应变单元。将上式代入物理方程，就得到单元的应力列

22、阵:eeD BSSiS j SmSn式中：S为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为:SiAi其中biA1biA1 ciCiAdiA1 di6A3AQAcdiVA2&A2 bi00A2 d iA2CiAzdi0Azbi1 2E2(1)A336 1A21D Bi1 2223单元刚度矩阵对于四面体单元,利用虚功原理，采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚矩阵。B T D B dxdydz其中：Ke为单元刚度矩阵eTKB DB dxdydzTBD B V写成分块形式为：kiikijkimkinkK ekkmikjjk jmk jnkmjkmmkmnkniknjknmknn式中子矩阵Krs由下式

23、计算:krsTBr D Bs VA3Vbr bs A2 (Cr Csdr ds)Al Cr bs A?brCsAl d r bs A2br d sAl br Cs A2 Cr bsCr CsAz(drdsbrbs)Al d r Cs A2 Cr d sAl br bsA2dr dsAl Cr d sA2 d r Csdr d sA2 ( br bsCr Cs )可以看出，单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的，是一个常数矩阵。2.3八节点六面体单元分析形函数与坐标变换形函数Ni丄11 ss坐标变换位移插值函数与几何矩阵xNii 18r,s,tXiu X, y,xN100N2

24、00yNir,s,tyivx,y,x0N100N20i 18wx,y,x00N100N2zNir,s,tZi8N8000N8000N8e1e2e3e24简记为233单元刚度矩阵与等效节点载荷向量x000y000-汕 00 N200N800BNz0 N100N200 N80-yx00 0N100 N200 N80zyz0x单兀刚度矩阵可以表示为：KeBTDBTdvB DB dxdydz将上式中的x, y, z替换为r, s有t1 1 1KeB T D B J drdsdt1 1 1写成高斯积分形式为：n n ntPeN(ri,Sj,tQ Fb(ri,Sj,tQ J(rj,Sj,tQ hhki 1

25、 j 1 k 13、其他常用单元形函数、自由度3.1轴对称单元轴对称结构体可以看成由任意一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而形成。此旋 转轴即为对称轴，纵向剖面称为子午面，如图表示一圆柱体的子午面abed被分割为若干个三角形单元，再经过绕对称轴旋转，圆柱体被离散成若干个三棱圆环 单元，各单元之间用圆环形的铰链相连接。 对于轴对称问题，采用圆柱坐标较为方便。以弹性体的对称轴为z轴，其约束及外载荷也都对称于z轴，因此弹性体 内各点的各项应力分量、应变分量和位移分量都与环向坐标B无关，只是径向坐标r和轴向坐标z的函数。也就是说，在任何一个过z轴的子午面上的位移、应 变和应力的分布规律都相同。因此轴对称问题可把三维问题简化为以（z，r）为自变量的二维问题。r由于轴对称性，弹性体内各点只可能存在径向位移 u和轴向位移w。此时,位移u、w只是r、z的函数，而环向位移v=0。即：u u(r,z) w w(r, z)轴对称问题的物理方程