小波变换在图像压缩中的应用

1、小波变换在图像压缩中的应用    小波变换在图像压缩中的应用摘要：小波变换克服了傅利叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，从而使得小波理论在图像处理等领域得到广泛的应用。本文探讨了小波变换在图像压缩中的应用和小波基的选取，具体程序可在matlab上运行并进行分析，得出结果。关键词：小波分析图像压缩1引言一幅数字化图像包含有大量的数据，由于存储空间和网格带宽的限制。对图像进行存储和传输之前首先要对图像进行压缩。在保证质量要求的前提下，减少或消除图像中的冗余，达到节省存储和传输的带宽。在需要时，再对压缩图像

2、进行解码和重构。传统的变换方法如FFT、DCT等有很多局限性。它们只能提供整个信号在全部时间或空间下的整体频域特性，而不能提供任何时间或空间段上的频域信息，而图像中的许多重要特征如边缘、纹理等，都是高度局部性的，因此它们在压缩含有瞬态和局部性信号分量的图像时性能不佳。另外在信号或图像分析中，有时需要将信号在时域和频域的特性或图像在空域和频域的特性结合起来分析，例如：当我们要了解图像的哪一个部分含有较多的高频分量，或者信号某一段频率分布情况等，这都是传统变换方法无法解决的。而小波变换则具有时频局部性，它在频率和位置上都是可变的，非常适合分析瞬态信号。当分析低频信号时，可以降低时间分辨率来提高频率

3、分辨率；而在高频部分时，可以在较高的时间分辨率下关注信号的瞬态特征，而降低频率分辨率。这正好与自然界中低频信号持续时间较长，而高频信号持续时间较短相吻合，非常适合于图像处理。所以小波分析被称为“数学显微镜”。2小波分析2.1一维连续小波变换定义：设，其傅立叶变换为，当满足允许条件(完全重构条件或恒等分辨条件)<(1.1)时，我们称为一个基本小波或母小波。将母函数经伸缩和平移后得(1.2)称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数的连续小波变换为(1.3)其重构公式(逆变换)为(1.4)由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一

4、般函数的约束条件(1.5)故是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，在原点必须等于0，即(1.6)为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：(1.7)式中0AB从稳定性条件(1.7)可以引出一个重要的概念。定义(对偶小波)若小波满足稳定性条件(1.7)式，则定义一个对偶小波，其傅立叶变换由下式给出：(1.8)注意，稳定性条件(1.7)式实际上是对(1.8)式分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性。值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，

5、寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。连续小波变换具有以下重要性质：(1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。(2)平移不变性：若f(t)的小波变换为，则的小波变换为。(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为，则f(ct)的小波变换为。(4)自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。(5)冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：(1)由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号f(t)的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，

6、而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。(2)小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择(例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。小波变换在不同的(a，b)之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。2.2高维连续小波变换对，公式(1.9)存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波使其为球对称，其傅立叶变换也同样球对称，(2.0)并且其相容性条件变为(2.1)对所有的。(2.2)这里，=，其中且，公式(1.5)也可以写为(2.3)如果选择的小波不是球对称的，但可以用旋转进行同样的扩展与

7、平移。例如，在二维时，可定义(2.4)这里，相容条件变为(2.5)该等式对应的重构公式为(2.6)对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。3小波变换用于图象压缩小波变换用于图像压缩的基本思想是：把图像进行多分辨率分解，分解成不同空间、不同频率的子图像，然后再对子图像系数进行编码。系数编码是小波变换用于图像压缩的核心，压缩的实质是对系数的量化压缩。图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据总量相等，即小波变换本身并不具有压缩功能。之所以将它用于图像压缩，是因为生成的小波图像具有与原图像不同的特性，表现在图像的能量主要集中在低频部分，而水平、垂直和对角线部分的能量则较少；水平、垂直和

8、对角线部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特性。低频部分可以称为亮度图像，水平、垂直和对角线部分可以称为细节图像。对所得的4个子图像，根据人类的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。人眼对亮度图像部分的信息特别敏感，对这一部分的压缩应尽可能减少失真或者无失真。下面是一个图像信号(即一个二维信号，文件名为wbarb.mat)，利用二维小波分析对图像进行压缩。一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率(即高频)子图像上大部分点的数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最

9、主要的部分是低频部分，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。具体MATLAB程序如下：%装入图像loadwbarb;%显示图像subplot(221);image(X);colormap(map)title("原始图像");axissquaredisp("压缩前图像X的大小：");whos("X")%对图像用bior3.7小波进行2层小波分解c,s=wavedec2(X,2,"bior3.7");%提取小波分解结构中第一层低频系数和高频系数ca1=appcoef2(c,s,&q

10、uot;bior3.7",1);ch1=detcoef2("h",c,s,1);cv1=detcoef2("v",c,s,1);cd1=detcoef2("d",c,s,1);%分别对各频率成分进行重构a1=wrcoef2("a",c,s,"bior3.7",1);h1=wrcoef2("h",c,s,"bior3.7",1);v1=wrcoef2("v",c,s,"bior3.7",1);d1=wrcoe

11、f2("d",c,s,"bior3.7",1);c1=a1,h1;v1,d1;%显示分解后各频率成分的信息subplot(222);image(c1);axissquaretitle("分解后低频和高频信息");%下面进行图像压缩处理%保留小波分解第一层低频信息，进行图像的压缩%第一层的低频信息即为ca1，显示第一层的低频信息%首先对第一层信息进行量化编码ca1=appcoef2(c,s,"bior3.7",1);ca1=wcodemat(ca1,440,"mat",0);%改变图像的高度ca1

12、=0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(map);axissquaretitle("第一次压缩");disp("第一次压缩图像的大小为：");whos("ca1")%保留小波分解第二层低频信息，进行图像的压缩，此时压缩比更大%第二层的低频信息即为ca2，显示第二层的低频信息ca2=appcoef2(c,s,"bior3.7",2);%首先对第二层信息进行量化编码ca2=wcodemat(ca2,440,"mat",0);%改变图像的高度ca2=0.25

13、*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axissquaretitle("第二次压缩");disp("第二次压缩图像的大小为：");whos("ca2")输出结果如下所示：压缩前图像X的大小：NameSizeBytesClassX256x256524288doublearrayGrandtotalis65536elementsusing524288bytes第一次压缩图像的大小为：NameSizeBytesClassca1135x135145800doublearrayGrandtotal

14、is18225elementsusing145800bytes第二次压缩图像的大小为：NameSizeBytesClassca275x7545000doublearrayGrandtotalis5625elementsusing45000bytes4实验结果与分析MATLAB程序运行结果下下图所示：图像可以看出，第一次压缩提取的是原始图像中小波分解第一层的低频信息，此时压缩效果较好，压缩比较小(约为1/3)；第二次压缩是提取第一层分解低频部分的低频部分(即小波分解第二层的低频部分)，其压缩比较大(约为1/12)，压缩效果在视觉上也基本过的去。这是一种最简单的压缩方法，只保留原始图像中低频信息，

15、不经过其他处理即可获得较好的压缩效果。在上面的例子中，我们还可以只提取小波分解第3、4、层的低频信息。从理论上说，可以获得任意压缩比的压缩图像。5结束语随着互联网、多媒体以及视频技术等的迅速发展，图像压缩的前景十分广阔。而基于小波变换的图像压缩方法，恰好与图像压缩本身的特点相适。相信随着小波理论在图像压缩中的多方面应用的研究，图像压缩会取得长足的进步。参考文献1 胡昌华，张军波，夏军，张伟基于MATLAB的系统分析与设计小波分析西安：西安电子科技大学出版社，20002 董长虹，高志，余啸海Matlab小波分析工具箱原理与应用北京:国防工业出版社，20043 张兆礼，张春晖，梅晓丹现代图像处理技术及Matlab实现北京:人民邮电出版社20014 刘贵忠，邸双亮小波分析及其应用西安:西安电子科技大