第五章 时变电磁场

1、 静态场：静态场：场大小不随时间发生改变（静电场，恒定场大小不随时间发生改变（静电场，恒定磁场）磁场） 特性：电场和磁场相互独立，互不影响。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。 时变场：时变场：场的大小随时间发生改变。场的大小随时间发生改变。 特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整体，称为时变电磁场。统一的整体，称为时变电磁场。本章主要内容：本章主要内容：法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 电磁场的能量电磁场的能量电磁能量电磁能量位移电流和全电流连续性原理位移电流和全电流连续性原理正弦电磁场正弦电磁场麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组波动方

2、程波动方程时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件时变场中的位函数时变场中的位函数 一、电磁感应现象：一、电磁感应现象：当穿过导电回路的磁通量发生变当穿过导电回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电流。化时，回路中会出现感应电流。 二、法拉第定律：二、法拉第定律：感应电动势感应电动势的大小与磁通对时间的大小与磁通对时间的变化率成正比。的变化率成正比。 三、楞次定律：三、楞次定律：在闭合回路中引起的感应电流的方在闭合回路中引起的感应电流的方向是使它产生的磁场阻止回路中磁通的变化。向是使它产生的磁场阻止回路中磁通的变化。 四、法拉第电磁感应定律：四、法拉第电磁感应定律：法拉第定律与楞次定律的法拉

3、第定律与楞次定律的结合。其数学表达式为：结合。其数学表达式为：SddB dSdtdt 的正方向与的正方向与的正方向成右手螺旋关系的正方向成右手螺旋关系负号表示负号表示产生的产生的作用总要阻止回路作用总要阻止回路中中变化变化为阻止磁通变化的方向为阻止磁通变化的方向向上为阻止磁向上为阻止磁通变化的方向通变化的方向引起回路磁通量变化的原因：引起回路磁通量变化的原因： 导电回路固定不动，由外磁场的变化引起穿过该回导电回路固定不动，由外磁场的变化引起穿过该回路所限定面积的磁通量的变化；路所限定面积的磁通量的变化； 外磁场为恒定磁场，而导体回路做机械运动，外磁场为恒定磁场，而导体回路做机械运动，“切切割割

4、”磁力线，引起与回路所交链的磁通的变化；磁力线，引起与回路所交链的磁通的变化； 以上两种情况兼而有之所引起的磁通量的变化以上两种情况兼而有之所引起的磁通量的变化若有若有N匝线圈，则匝线圈，则1Niidddtdt 电源：电源：一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热的等）转化为电能的装置的等）转化为电能的装置 非静电力：非静电力：非静止电荷产生的力，如电池内，非静电非静止电荷产生的力，如电池内，非静电力指由化学反应产生的使正、负电荷分离的化学力。力指由化学反应产生的使正、负电荷分离的化学力。 非库仑场：非库仑场：只存在电源内部，非静电力对电荷的影响只存在电

5、源内部，非静电力对电荷的影响等效为一个非保守电场等效为一个非保守电场 库仑场：库仑场：同时存在电源内部和外部，同时存在电源内部和外部， 恒定分布的电荷产生的保守场恒定分布的电荷产生的保守场 电动势：电动势：电源内部搬运单位正电荷电源内部搬运单位正电荷 从负极到正极时非静电力所作的功从负极到正极时非静电力所作的功回顾电动势概念回顾电动势概念ABEdl ()lEEdl 电动势用总电场的回路积分表示：电动势用总电场的回路积分表示：E E E - 五、用场量表示的法拉第电磁感应定律的积分形式五、用场量表示的法拉第电磁感应定律的积分形式与电源内非库仑场相似，感应电动势产生感应电场与电源内非库仑场相似，感

6、应电动势产生感应电场也是非保守场，记为也是非保守场，记为indEindldEdldt CindEEElSddE dlB dSdtdt l可看成任意闭合路径，而不一定是导回路。可看成任意闭合路径，而不一定是导回路。感应电动势定义：感应电动势定义：非保守场沿闭合路径的积分非保守场沿闭合路径的积分若空间同时存在由静电荷产生的保守场若空间同时存在由静电荷产生的保守场 CE则总电场为则总电场为用场量表示的法用场量表示的法拉第电磁感应定拉第电磁感应定律的积分形式律的积分形式 六、法拉第电磁感应定律的微分形式六、法拉第电磁感应定律的微分形式考察静止回路的感应电动势考察静止回路的感应电动势考察运动回路的感应电

7、动势考察运动回路的感应电动势 亦有：亦有： 利用斯托克斯定理，得利用斯托克斯定理，得lSdE dlB dSdt lSBE dldSt SSBEdSdSt BEt BEt 电场的源有三种：电场的源有三种：1、静止电荷、静止电荷2、运动电荷（电流）、运动电荷（电流）3、时变磁场、时变磁场法拉第电磁感应定法拉第电磁感应定律的微分形式律的微分形式物理意义：物理意义：随时间变化的磁场将产生电场随时间变化的磁场将产生电场 对法拉第电磁感应定律的讨论对法拉第电磁感应定律的讨论 式中等式右边为式中等式右边为B对对t的偏导数，该式的偏导数，该式用于分析时用于分析时变场变场 式中的式中的E是磁场随时间变化而激发的

8、，称为是磁场随时间变化而激发的，称为感应感应电场电场 感应电场是有旋场感应电场是有旋场，磁场随时间变化处会激发旋，磁场随时间变化处会激发旋涡状的电场涡状的电场 对任意回路（不一定有导体存在）成立对任意回路（不一定有导体存在）成立 磁场不随时间变化时，有磁场不随时间变化时，有与静电场的形式相同，可见与静电场的形式相同，可见静电场是时变电场的静电场是时变电场的特殊情况特殊情况0E 一、安培环路定律的局限性一、安培环路定律的局限性以闭合路径以闭合路径L为边界的曲面有无数多个，为边界的曲面有无数多个，取如图所示的两个曲面取如图所示的两个曲面S1，S2 对对S1曲面：曲面：对对S2曲面：曲面：结论：结论

9、：恒定磁场中推导得到的安培环路定律不再适用恒定磁场中推导得到的安培环路定律不再适用于时变场问题于时变场问题lSH dlJ dSI 1lSH dlJ dSI20lSH dlJ dS传导电流传导电流矛盾矛盾 二、位移电流假说二、位移电流假说 在电容器极板间，不存在自由电流，但存在随时间在电容器极板间，不存在自由电流，但存在随时间变化的电场变化的电场 为了克服安培环路定律的局限性，麦克斯韦提出了为了克服安培环路定律的局限性，麦克斯韦提出了位移电流假说。他认为：位移电流假说。他认为：在电容器之间，存在着因变化在电容器之间，存在着因变化的电场而形成的电流，其性质与传导电流完全不同，量的电场而形成的电流，

10、其性质与传导电流完全不同，量值与回路中自由电流相等。值与回路中自由电流相等。由电流连续性方程由电流连续性方程cSdqJdSdt SD dSq SDdqdStdt cSSDJdSdSt 又又()0cSDJdSt ()0cSDJdSt 传导电流：自由电荷运动形成的电流传导电流：自由电荷运动形成的电流位移电流定义：位移电流定义：dDJt 0DEP 0dEPJtt 全电流密度：全电流密度： cvdJJJJ 由于由于运流电流：真空或气体中，带运流电流：真空或气体中，带电粒子的定向运动形成的电流电粒子的定向运动形成的电流说明：说明：传导电流和运流电流分别存在于不同媒质中，对传导电流和运流电流分别存在于不同

11、媒质中，对于固体导电媒质，只有传导电流，没有运流电流于固体导电媒质，只有传导电流，没有运流电流 三、安培环路定律广义形式（全电流定律）三、安培环路定律广义形式（全电流定律）全电流密度：全电流密度： cvdJJJJ cvlSDH dlJJdSt cvSSDH dSJJdSt cvDHJJt 对上式取散度知对上式取散度知 0cvdJJJ 0cvdcvdSVJJJdSJJJdV 0cvdIII 全电流定律全电流定律微分形式微分形式全电流定律全电流定律积分形式积分形式全电流连续性原理：全电流连续性原理：穿过任意封闭曲面的穿过任意封闭曲面的各类电流之和恒为零，应用于只有传导电各类电流之和恒为零，应用于只

12、有传导电流的回路中，则为基尔霍夫电流定律流的回路中，则为基尔霍夫电流定律全电流定律物理意义：全电流定律物理意义：随时间变化的电场会激发磁场随时间变化的电场会激发磁场对安培环路定律和位移电流的讨论对安培环路定律和位移电流的讨论 时变场情况下，磁场仍是有旋场，但时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导旋涡源除传导电流外，还有位移电流电流外，还有位移电流 位移电流代表电场随时间的变化率位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变，当电场发生变化时，会形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激化时，会形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激发起磁场发起磁场 推广的安培环路定律物理意义：推广的安培环路定律物理

13、意义：随时间变化的电场随时间变化的电场会激发磁场会激发磁场 位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法引入，在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波引入，在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在，的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电流理论的正确性从而反过来证明了位移电流理论的正确性例例5-1 计算铜中位移电流密度和传导电流密度的比值。计算铜中位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中电场设铜中电场 ，铜电导率，铜电导率0sinEt 705.8 10/,S m 0sincJEEt 解：

14、解：铜中传导电流密度大小为铜中传导电流密度大小为铜中位移电流密度大小为铜中位移电流密度大小为0cosdDEJEttt因此，位移电流密度与传导电流密度的振幅比值为因此，位移电流密度与传导电流密度的振幅比值为91971210369.6 105.8 10dcfJfJ 例例5-2 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。总量为零。解：解：根据全电流定律根据全电流定律DHJt 可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为 cSSDJdSHdSt 上式右边应用散度定理可以写为上式右边应用散度定理可以写为 0S

15、VHdSH dV 0ccdSDJdSIIIt 左边为左边为证毕证毕例例5-3 坐标原点附近区域内传导电流为坐标原点附近区域内传导电流为试求：试求：1、通过半径、通过半径 r = 1mm的球面的电流值；的球面的电流值； 2、在、在 r = 1mm的球面上电荷密度的增加率；的球面上电荷密度的增加率； 3、在、在 r = 1mm的球内总电荷的增加率。的球内总电荷的增加率。1.5210(/)rJerA m 解：解：1、2、因为、因为3、总电荷的增加率、总电荷的增加率21.520010sinSIJ dSrrd d 0.51403.9738rmmrA 21.52.521105dJrrrr dr 82111

16、.58 10 (/)rmmrmmJA mt 3.97SdQJ dSIAdt 例例5-4 在无源的自由空间中，已知磁场强度在无源的自由空间中，已知磁场强度求：位移电流密度。求：位移电流密度。592.63 10cos(3 1010 )(/)yHetzA m 解：解：无源自由空间中无源自由空间中所以所以0J DHJt 由由DHt 00 xyzdyeeeDJHtxyzH 4922.63 10sin(3 1010 )(/)yxxHeetzA mz 0DHJtBEtBD 全电流定律全电流定律 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理磁通连续性原理 高斯定理高斯定理 一、麦克斯韦方程组的微分形式

17、一、麦克斯韦方程组的微分形式注意：时变电磁场的源：注意：时变电磁场的源：1、真实源真实源（变化的（变化的电流电流和和电荷电荷）2、变化的电场变化的电场和和变化的磁场变化的磁场全电流定律全电流定律 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理磁通连续性原理 高斯定理高斯定理 二、麦克斯韦方程组的积分形式二、麦克斯韦方程组的积分形式0lSlSSSVDH dlJdStBE dldStB dSD dSdV 麦克斯韦方程组揭示的物理涵义麦克斯韦方程组揭示的物理涵义 麦氏方程组是时变电磁场基本性质的基本方程组麦氏方程组是时变电磁场基本性质的基本方程组 时变电磁场中，电场和磁场互为激发源，相互激励。

18、时变电磁场中，电场和磁场互为激发源，相互激励。时变电场的激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时时变电场的激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除传导电流外，还有变化的电场变磁场的激发源除传导电流外，还有变化的电场 电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体整体电磁场，电场和磁场为电磁场两个物理量电磁场，电场和磁场为电磁场两个物理量 麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，且已被事实所麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，且已被事实所证明证明说明：说明：静态场只是时变场的一种特殊情况静态场只是时变场的一种特殊情况0DHJtBEtBD 00HJ

19、EBD 0,0DBtt三、独立的麦克斯韦方程组三、独立的麦克斯韦方程组DHJtBEtJt 求求16个未知标量，通过个未知标量，通过7个个独立的标量方程无法求解独立的标量方程无法求解必须另外再提供必须另外再提供9个独立的个独立的标量方程才可求解标量方程才可求解四、麦克斯韦方程组的辅助方程四、麦克斯韦方程组的辅助方程本构关系本构关系一般媒质本构关系一般媒质本构关系00()DEPBHMJE DEBHJE 各向同性线性媒质本构关系各向同性线性媒质本构关系五、限定式麦克斯韦方程组（各向同性线性媒质中）五、限定式麦克斯韦方程组（各向同性线性媒质中）求求7个未知标量，通过个未知标量，通过7个独个独立的标量方

20、程正好可以求解立的标量方程正好可以求解积分形式积分形式0EHEtHEtHE 0lSlSSSEH dlEdStHE dldStH dSE dSq 微分形式微分形式积分形式积分形式 真空中：真空中：= 0 、= 0 、= 0 理想介质：理想介质： = 0 理想导体：理想导体： 线性媒质：线性媒质：媒质参数与场强大小无关媒质参数与场强大小无关 各向同性媒质：各向同性媒质：媒质参数与场强方向无关媒质参数与场强方向无关 均匀媒质：均匀媒质：媒质参数与位置无关媒质参数与位置无关 非色散媒质：非色散媒质：媒质参数与场强频率无关媒质参数与场强频率无关 色散媒质：色散媒质：媒质参数与场强频率有关媒质参数与场强频

21、率有关 简单媒质：简单媒质：线性、均匀、各向同性媒质线性、均匀、各向同性媒质、描述宏观电磁特性的一组参数描述宏观电磁特性的一组参数六、媒质的相关概念六、媒质的相关概念七、洛仑兹力七、洛仑兹力空间同时存在电场和磁场时，以恒速空间同时存在电场和磁场时，以恒速v运动的点电运动的点电荷荷q所受的力为所受的力为()Fq EvB 若电荷为连续分布电荷，则电磁场力密度若电荷为连续分布电荷，则电磁场力密度 ()fEvBEJB 说明：说明：近代物理实验证实了洛仑兹力公式近代物理实验证实了洛仑兹力公式对任意运动速度的对任意运动速度的带电粒子都是适应的带电粒子都是适应的麦克斯韦方程和洛仑兹力公式，正确反映了电磁场的

22、麦克斯韦方程和洛仑兹力公式，正确反映了电磁场的运动规律以及场与带电物质的相互作用规律，构顾了运动规律以及场与带电物质的相互作用规律，构顾了经经典电磁理论的基础典电磁理论的基础洛仑兹力公式洛仑兹力公式例例5-6 在无源的自由空间中，在无源的自由空间中，其中其中E0，为常数，为常数，求磁场强度求磁场强度0cos()xEe Etz 解：解：所谓无源所谓无源由上式可以写出由上式可以写出0,0J 代入麦氏方程（代入麦氏方程（5-28b）得）得000 xyzxeeeHExyztE 00 xzHH 00sin()()yxxyyzze Etze He He Ht 00sin()yHEtzt 00cos()yE

23、Hetz 麦克斯韦方程组可应用于任何连续的介质内部麦克斯韦方程组可应用于任何连续的介质内部 在两种在两种介质分界面上介质分界面上，介质性质有突变，介质性质有突变，电磁场将电磁场将发生突变发生突变 电磁场的边界条件：电磁场的边界条件：分界面两边电磁场突变所遵循分界面两边电磁场突变所遵循的规律，称为电磁场的边界条件的规律，称为电磁场的边界条件 推导边界条件的依据推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组积分形式是麦克斯韦方程组积分形式切向分量的推导切向分量的推导lSlSDH dlJdStBE dldSt 法向分量的推导法向分量的推导0SSVB dSD dSdVQ 法向边界条件法向边界条件 磁感应强度的法向

24、分量磁感应强度的法向分量0SB dS 11220BdSBdS 12nnBB 120BnBn 结论：结论：磁感应强度在分界面两侧法向分量连续磁感应强度在分界面两侧法向分量连续 电位移矢量的法向分量电位移矢量的法向分量结论：结论：电位移矢量在分界面两侧电位移矢量在分界面两侧法向分量不连续法向分量不连续SD dSq 12nnSDD 12()SDDn 切向边界条件切向边界条件构造如右图狭长回路，由构造如右图狭长回路，由()lSDH dlJdSt labcdbcdaH dlH dlH dlH dlH dl labcdE dlE dlE dl 2010SlH dlHllHllJb l 结论：结论：磁场强度

25、的切向分量在分界面两侧不连续磁场强度的切向分量在分界面两侧不连续 由于由于h0 又又l很小，所以很小，所以l上磁场强度上磁场强度可看成常数可看成常数或或 21()SbnHHJb()()ABCBCA 21()SnHHbJb SJHHn )(12SttJHH 12由由 磁场强度的切向分量磁场强度的切向分量0nbl 0由由 电场强度的切向分量电场强度的切向分量lSBE dldSt 12ttEE 12()0nEE 结论：结论：电场强度的切向分量在分界面两侧连续电场强度的切向分量在分界面两侧连续 小结：一般情况下时变电磁场边界条件小结：一般情况下时变电磁场边界条件标量形式标量形式矢量形式矢量形式分界面上

26、电流连续性方程分界面上电流连续性方程在上式中表示对与分界面平行的坐标量求二维散度在上式中表示对与分界面平行的坐标量求二维散度边边界界条条件件非非独独立立12121212ttsttnnnnSHHJEEBBDD 1212121200sSnHHJnEEnBBnDD 12()StSnnJJJt t 两种理想介质的边界两种理想介质的边界 理想介质是指导电率为零的媒质理想介质是指导电率为零的媒质 理想介质内部和表面上，无自由电荷和传导电流理想介质内部和表面上，无自由电荷和传导电流 1212121200sSnHHJnEEnBBnDD 0,0SSJ 121212120000nHHnEEnBBnDD 12121

27、212ttttnnnnHHEEBBDD 结论：结论：在理想介质分界面上，在理想介质分界面上，E，H矢量切向连续矢量切向连续 在理想介质分界面上，在理想介质分界面上，B，D矢量法向连续矢量法向连续0 或或 理想导体的边界理想导体的边界 理想导体是指导电率为无穷大的导体理想导体是指导电率为无穷大的导体 理想导体内部不存在电场和磁场理想导体内部不存在电场和磁场 表面上，一般存在自由电荷和传导电流表面上，一般存在自由电荷和传导电流结论：结论：电力线垂直于理想导体表面，磁力线平行于理想电力线垂直于理想导体表面，磁力线平行于理想导体表面导体表面 设区域设区域2为理想导体，区域为理想导体，区域1为介质，有为

28、介质，有D2n=E2t=B2n=H2t=0，则，则 1212121200sSnHHJnEEnBBnDD 111100SSnHJnEn Bn D 00tStnnSHJEBD 00SSnHJnEn Bn D 或或注意：注意：理想介质和理想导体只是理论上存在，在实际应理想介质和理想导体只是理论上存在，在实际应用中，某些媒质导电率极小或极大，则可视作理想介质用中，某些媒质导电率极小或极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理或理想导体进行处理例例5-7 设设z=0平面为空气与理想导体的分界面，平面为空气与理想导体的分界面，z0为理为理想导体，分界面处想导体，分界面处0( , ,0, )sincos()x

29、H x yte Haxtay 解：解：根据边界条件，求得理想导体表面上电流分布为根据边界条件，求得理想导体表面上电流分布为由分界面上电流连续性方程（由分界面上电流连续性方程（5-40）有）有0sincos()SyJnHe Haxtay 求：理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面求：理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度处的电场强度00sincos()sinsin()SHaxtayaHaxtayty 0sincos()( , )SaHaxtayc x y 由边界条件由边界条件得：得： 00( , ,0, )sincos()coszaHE x yteaxtayay Sn D

30、 0sincos() cosaHaxtayay 假设假设t=0,S=0 能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这作为特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。一规律。 电磁场是一种物质，并且具有能量。电磁场是一种物质，并且具有能量。 电场和磁场的能量密度随电场强度和磁场强度变化，电场和磁场的能量密度随电场强度和磁场强度变化，空间各点能量密度的变化引起能量流动。空间各点能量密度的变化引起能量流动。 坡印廷定理表征了时变场中的电磁能量守恒关系的定坡印廷定理表征了时变场中的电磁能量守恒关系的定理

31、。理。 坡印廷矢量：坡印廷矢量：单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位表面的能量为能流矢量，其意义是电磁场中某点单位表面的能量为能流矢量，其意义是电磁场中某点的功率密度，方向为该点能量流动的方向。的功率密度，方向为该点能量流动的方向。 1、一般媒质的坡印廷定理、一般媒质的坡印廷定理根据焦耳定律，传导电流引起的功率损耗为根据焦耳定律，传导电流引起的功率损耗为 由麦克斯韦方程由麦克斯韦方程 又利用矢量恒等式及麦克斯韦方程又利用矢量恒等式及麦克斯韦方程VPJ EdV DHJt DJHt ()VVDJ EdVEHEdVt EHHEE HBEt BEHHEHt VVBD

32、J EdVHEEHdVtt SVBDEHdSHEJ E dVtt 2、各向同性线性媒质的坡印廷定理、各向同性线性媒质的坡印廷定理利用矢量函数的求导公式利用矢量函数的求导公式同理：同理： ABA BBAttt 2AA AAtt 对于各向同性媒质，即对于各向同性媒质，即 DE BH JE 122BHHHH HB Htttt 12DED Ett 1122SVEHdSB HD EJ E dVtt 1122SVVEHdSB HD E dVJ EdVt 1122SVVEHdSB HD E dVJ EdVt 电磁场的能量密度：电磁场的能量密度：电磁场能量的空间分布用能量密电磁场能量的空间分布用能量密度度来描

33、述，它表示来描述，它表示单位体积中电磁场的能量单位体积中电磁场的能量，为电，为电场能量和磁场能量之和场能量和磁场能量之和电场能量密度：电场能量密度：磁场能量密度：磁场能量密度：电磁场（波）能量密度：电磁场（波）能量密度：21122eD EE 21122mB HH 221()2emEH SVVEHdSdVJ EdVt SVVEHdSdVJ EdVt 左边第一项：单位时间内穿过体积左边第一项：单位时间内穿过体积V的表面的表面S流入体流入体积积V的电磁功率。即的电磁功率。即流入量（流入为负，流出为正）流入量（流入为负，流出为正） 右边第一项：体积右边第一项：体积V中中电磁能量随时间的增加率电磁能量随

34、时间的增加率。 右边第二项：体积右边第二项：体积V中的中的热损耗功率热损耗功率坡印廷定理物理意义：坡印廷定理物理意义：流入体积流入体积V内的电磁功率等于体内的电磁功率等于体积积V内电磁能量的增加率与体积内电磁能量的增加率与体积V内损耗的电磁功率之内损耗的电磁功率之和和二、坡印廷矢量（电磁功率流密度，能流密度）二、坡印廷矢量（电磁功率流密度，能流密度）表示单位时间内流出闭合面表示单位时间内流出闭合面S的总电磁能的总电磁能量，即流出闭合面量，即流出闭合面S的电磁功率。的电磁功率。坡印廷矢量（坡印廷矢量（W/m2）：与电磁功率流密度即能流密度）：与电磁功率流密度即能流密度有关的矢量，定义式为：有关的

35、矢量，定义式为：关于坡印廷矢量的说明：关于坡印廷矢量的说明： 时变电磁场中坡印廷矢量为时间时变电磁场中坡印廷矢量为时间t的函数，为的函数，为瞬时功率流密度瞬时功率流密度。 公式中公式中E，H表达式应为表达式应为场量的实数表达式场量的实数表达式。 在静电场和静磁场中，没有电磁能量流动，所以，静电场和静在静电场和静磁场中，没有电磁能量流动，所以，静电场和静磁场中，坡印廷矢量并不代表电磁功率流密度。磁场中，坡印廷矢量并不代表电磁功率流密度。 而在恒定电流产生的电场和磁场中，坡印廷矢量可以代表电磁而在恒定电流产生的电场和磁场中，坡印廷矢量可以代表电磁功率流密度。功率流密度。 SEHdS SEH大小：大

36、小：表示通过与能量流动方向垂直的单位面积的功率表示通过与能量流动方向垂直的单位面积的功率方向：方向：功率流的方向，即电磁能量传播的方向。功率流的方向，即电磁能量传播的方向。lzI例例5-10 试求一段半径为试求一段半径为b，电导率为，电导率为，载有直流电流，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。解：解：如图，取长度为如图，取长度为l的长直导线，其轴线的长直导线，其轴线z轴重合，有轴重合，有22,zzIJIJeEebb 在导线表面在导线表面2IHeb 将其沿导线段表面积分，有将其沿导线段表面积分，有SEH 因此，导线表面的坡印廷

37、矢量因此，导线表面的坡印廷矢量22222222rSSIlS dSS e dSblII Rbb 表明表明，从导线表面流入的电磁能流等于导线内部欧姆热，从导线表面流入的电磁能流等于导线内部欧姆热损耗功率，验证了坡印廷定理损耗功率，验证了坡印廷定理S E H 2222rIeb 例例5-11 一同轴线内导体半径为一同轴线内导体半径为a，外导体内半径为，外导体内半径为b，内、外，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、，内、外导体间的电压为外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。上式

38、说明电磁能量沿上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。轴方向流动，由电源向负载传输。通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为：通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为：,()2lnrUIEeHearbbrra 内、外导体间任意横截面上的能流密度矢量：内、外导体间任意横截面上的能流密度矢量：22lnzUISEHebra 222lnbSaUIPS dSrdrUIbra 解：解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可得分别根据高斯定理和安培环路定律，可得 无源空间中，时变电磁场相互激励，电磁场以波动无源空间中，时变电磁场相互激励，电磁场以波动的形式存在，并且在空间中传播，形成的形式存在，并且在

39、空间中传播，形成电磁波电磁波。 正弦电磁场（时谐电磁场）：正弦电磁场（时谐电磁场）：指任意点的场矢量的指任意点的场矢量的每一坐标分量随时间以与激励源相同的频率作正弦每一坐标分量随时间以与激励源相同的频率作正弦或余弦变化。或余弦变化。正弦电磁场在工程中应用广泛，有如下特点：正弦电磁场在工程中应用广泛，有如下特点：易于激励易于激励当场源是单频正弦时间函数，时变电磁场可得到显当场源是单频正弦时间函数，时变电磁场可得到显著简化。著简化。根据傅立叶变换理论：在线性媒质中，正弦电磁波根据傅立叶变换理论：在线性媒质中，正弦电磁波可以合成其他形式的电磁波，因此研究正弦电磁场可以合成其他形式的电磁波，因此研究正

40、弦电磁场是研究一切时变电磁场的基础。是研究一切时变电磁场的基础。相量法：相量法：分析正弦电磁场的一种重要方法，其中的正弦分析正弦电磁场的一种重要方法，其中的正弦电磁场用相量来表示。从而使计算过程得到简化。电磁场用相量来表示。从而使计算过程得到简化。I cos()miit I ,mi 称为正弦量三要素称为正弦量三要素2、正弦量三要素：、正弦量三要素：正弦量之间进行比较和区分的依据正弦量之间进行比较和区分的依据1、正弦量的定义：、正弦量的定义：按正弦规律变化的量，如电压、电按正弦规律变化的量，如电压、电流等，以正弦电流为例，其数学表达式为：流等，以正弦电流为例，其数学表达式为：()it Im co

41、s()1it Imi 振幅。是正弦电流在整个变化过程中所能达到的振幅。是正弦电流在整个变化过程中所能达到的最大值。当最大值。当 时，有时，有称称相角或相位相角或相位，是正弦量随时间变化的，是正弦量随时间变化的核心部分，反映正弦量的变化进程。核心部分，反映正弦量的变化进程。 角频率，是相角随时间变化的速度，是反映正弦角频率，是相角随时间变化的速度，是反映正弦量变化快慢的要素。即量变化快慢的要素。即 ()(/ )idtrad sdt2 ,2/2TTf i 称为初相角（初相），是正弦量称为初相角（初相），是正弦量 t = 0时刻的相角。时刻的相角。0()iitt 3、有效值：、有效值：周期量的有效值

42、周期量的有效值201TIi dtT cos()miiIt若若 20.707mmIII说明：说明：工程上说的正弦电压、电流的大小都是指工程上说的正弦电压、电流的大小都是指有效有效值值。如交流测量仪表所指示的读数，电气设备的额定。如交流测量仪表所指示的读数，电气设备的额定值等，但各种器件和电气设备的绝缘水平，如耐压值值等，但各种器件和电气设备的绝缘水平，如耐压值等，则按等，则按最大值最大值来考虑。来考虑。4、相位差：、相位差：相位之差。相位之差。1212()()tt 表明：表明：对于同频率的两个正弦量，相位差在任何时刻都对于同频率的两个正弦量，相位差在任何时刻都是一个常数，等于它们的初相之差。是一

43、个常数，等于它们的初相之差。5、复数表示形式、复数表示形式 代数形式：代数形式：12Aaja 三角形式：三角形式：(cossin )AAj 2212Aaa 21tanaa 指数形式：指数形式：jAA e 欧拉公式：欧拉公式：cossinjej 极坐标形式：极坐标形式：AA 6、复数的运算、复数的运算加减运算：加减运算：必须用代数形式进行必须用代数形式进行12Aaja 12Bbjb 1122ABabj ab 乘法运算：乘法运算：代数形式：代数形式：指数形式：指数形式：极坐标形式：极坐标形式： 12121 122122 1ABajabjba ba bj a ba b ()|ababjjjABA e

44、B eAB e |ababABABAB除法运算：除法运算：代数形式：代数形式：指数形式：指数形式：极坐标形式：极坐标形式： 1212121 122211222221212121212ajabjbajaa ba ba ba bAjBbjbbjbbjbbbbb ()|aabbjjjAA eAeBBB e |aabbAAABBB 总结：总结：加减法用代数形式运算，乘法和除法运算可用加减法用代数形式运算，乘法和除法运算可用三种形式进行，但用指数形式和极坐标形式比较简单，三种形式进行，但用指数形式和极坐标形式比较简单，且在复平面上复数的四则运算都具有一定的几何意义。且在复平面上复数的四则运算都具有一定的

45、几何意义。复数复数A加减复数加减复数B：满足平行四边行法则。满足平行四边行法则。b 复数复数A除以复数除以复数B：等于把复数等于把复数A的模的模|A|除以除以B的模的模|B|，然后再把复数，然后再把复数A顺时针旋转一个角度顺时针旋转一个角度b 复数复数A乘以复数乘以复数B：等于把复数等于把复数A的模的模|A|乘以乘以B的模的模|B|，然后再把复数然后再把复数A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度cossinjej 2jej 2jej 1je 说明：说明：根据欧拉公式根据欧拉公式所以所以j和和1 1都可以看成旋转因子，如复数乘以都可以看成旋转因子，如复数乘以j j就等就等于该复数在复平面逆时针旋

46、转于该复数在复平面逆时针旋转9090根据欧拉公式根据欧拉公式I cos()miit cossinjej ()Re IRe IRe Iiijtjjtjtmmieeee 7、正弦量的相量、正弦量的相量复振幅或相量（与时间无关）复振幅或相量（与时间无关）表明：表明：可以通过数学的方法，把一个实数范围的正弦时可以通过数学的方法，把一个实数范围的正弦时间函数与一个复数范围的复指数函数一间函数与一个复数范围的复指数函数一 一对应起来，而一对应起来，而且这种对应关系非常简单，一般可直接写出。且这种对应关系非常简单，一般可直接写出。相量（复振幅）：相量（复振幅）：复指数函数的常数部分，即把正弦量复指数函数的常

47、数部分，即把正弦量的振幅与初相结合成一个复数表示出来。这个复数称为的振幅与初相结合成一个复数表示出来。这个复数称为复振幅或相量。复振幅或相量。iijjmmiII eI eI 用小圆点与普通复数相区别。用小圆点与普通复数相区别。8、正弦量所对应的相量运算、正弦量所对应的相量运算同频正弦量的代数和仍为一个同频正弦量同频正弦量的代数和仍为一个同频正弦量 121212ReReRej tj tj tiiiI eI eIIe 121122IIIII 111I cos()it222I cos()it 设：设：正弦量的微分正弦量的微分设：设：Icos()iit Icos()Re IReIj tj tididd

48、tejedtdtdt II2ij didt的相量形式为：的相量形式为： 正弦量的积分正弦量的积分 IIcos()Re IRej tj tiidttdtedtej I1I2ij Icos()iit 设：设：idt 的相量形式为：的相量形式为： 将正弦时间函数转换为相量形式的意义：将正弦时间函数转换为相量形式的意义：一切运算变一切运算变得简单，因为信号变换后仍为同频信号，所以相量运得简单，因为信号变换后仍为同频信号，所以相量运算可以不考虑时间算可以不考虑时间t的影响，只作与时间无关的相量运的影响，只作与时间无关的相量运算，所以在交流电路中我们常采用相量法算，所以在交流电路中我们常采用相量法将微积分

49、方将微积分方程简化为线性代数方程程简化为线性代数方程进行计算。进行计算。例：例：RRLLCCuRidiuLdtduiCdt 1RRLLCCURIUj LIUjIC 1diuRiLidtdtC 1URj LjIC LRCu 对于正弦电磁场，场量都是以一定的角频率随时间对于正弦电磁场，场量都是以一定的角频率随时间 t 按正弦规律变化。按正弦规律变化。在直角坐标系下，电场可表示为：在直角坐标系下，电场可表示为： xxyyzzEe Ee Ee E ( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )

50、xxmxyymyzzmzEx y z tEx y ztx y zEx y z tEx y ztx y zEx y z tEx y ztx y z 分别为各坐标分量的振幅值分别为各坐标分量的振幅值 xmEymEzmEx y z 利用复数描述正弦电磁场场量，可使数学运算简化利用复数描述正弦电磁场场量，可使数学运算简化对时间变量对时间变量t进行降阶（微积分方程变为代数方程）进行降阶（微积分方程变为代数方程）各坐标分量的初相角各坐标分量的初相角 角频率角频率 j te 减元（消去各项的共同时间因子减元（消去各项的共同时间因子 ）用复数描述正弦电磁场场量（与电路理论中处理相似）用复数描述正弦电磁场场量（

51、与电路理论中处理相似）瞬时值形式瞬时值形式 复数形式复数形式ReReReReReRexyzjj tj txxmxmjj tj tyymymjj tj tzzmzmEEeeEeEEeeEeEE eeE e xyzjxmxmjymymjzmzmEEeEEeEE e ( , , , )ReReReReRexxyyzzj tj tj txxmyymzzmj tj txxmyymzzmE x y z te Ee Ee EeE eeE eeE ee Ee Ee EeEe ( , , )xxmyymzzmE x y ze Ee Ee E 正弦场中正弦场中 瞬时场分量，标量，与瞬时场分量，标量，与t有关有关复

52、振幅，标量，复振幅，标量，与与 t 无关无关瞬时场矢量，瞬时场矢量，与与t有关有关复振幅矢量，复振幅矢量，与与t无关无关表明：表明：瞬时值形式与复数形式之间可以相互转换瞬时值形式与复数形式之间可以相互转换Rej txxmEEe 复数形式复数形式瞬时值：瞬时值：将复数形式乘以一个时间因子将复数形式乘以一个时间因子ejt ，再取实部即可。如，再取实部即可。如瞬时值瞬时值复数形式：复数形式：将瞬时值形式化为指数形式取将瞬时值形式化为指数形式取实部，再将该指数形式的时间因子实部，再将该指数形式的时间因子ejt去掉即可。如去掉即可。如xjxmxmEEe Rej txxmEEe 说明：说明： 复数形式复数

53、形式只是数学表示方式，只是数学表示方式，不代表真实场不代表真实场，无明确，无明确物理意义，复数形式可使大多数正弦电磁场问题简化物理意义，复数形式可使大多数正弦电磁场问题简化 场量的场量的实数形式代表真实场实数形式代表真实场，具有明确的物理意义，具有明确的物理意义 在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的量的平方关系的物理量（称为二次式），只能用场量平方关系的物理量（称为二次式），只能用场量的瞬时形式来表示的瞬时形式来表示例例5-12 将场矢量的瞬时值与复数形式相互表示将场矢量的瞬时值与复数形式相互表示（1）0 xEe E 解：解：0( ,

54、 , , )Rexjj txE x y z te E ee 0cos()xxe Et（2）0jkzxEe jE e 解：解：(2)0( , , , )Rejkzj txE x y z te E ee 0cos()2xe Etkz （3）00cos()2sin()xyEe EtkzeEtkz 解：解：()(2)00( , , , )Re2jt kzjt kzxyE x y z te E eeE e 0( , , )2jkzxyE x y zeej E e 例例5-13 将场矢量的复数形式写为瞬时值形式将场矢量的复数形式写为瞬时值形式（1）0sin()sin()zjk zzxyEe Ek xk y

55、 e 解：解：0Resin()sin()zjk zj tzxyEe Ek xk y ee 0sin()sin()cos()zxyze Ek xk ytk z （2）sin02sincos(cos )zjkxxEe j Eke 解：解：sin20Re2sin cos(cos )zjkjj txxEeEkeee 02sincos(cos )cos(2sin )xxzeEktk 02sincos(cos )sin(sin )xxzeEktk 由由 ReReReReReRej tj tj tj tj tj tEEeDDeHHeeBBeJJe 很明显，对于时谐场很明显，对于时谐场 Rej tEj Eet

56、 Rej tBj Bet 以瞬时形式以瞬时形式 为例，推导其复数形式为例，推导其复数形式 DHJt ReReRej tj tj tHeJeDet ReReRej tj tj tHeJej De Re0j tj tj tHeJejDe Re0j tHJjD e 故当故当t为任意时为任意时HJj D 0DHJtBEtBD 0HJj DEj BBD 0HJj DEj BBD 由电流连续性方程，可得由电流连续性方程，可得Jt Jj Jj 麦氏方程组微分形式麦氏方程组微分形式麦氏方程组复数形式麦氏方程组复数形式去掉表示复量去掉表示复量的符号圆点的符号圆点麦氏方程组复数形式的说明：麦氏方程组复数形式的说明

57、： 方程中虽然没有与时间相关的因子，时间因子为缺省方程中虽然没有与时间相关的因子，时间因子为缺省因子，并不是说麦氏方程组与时间无关因子，并不是说麦氏方程组与时间无关 复数形式只能用于时谐场复数形式只能用于时谐场坡印廷矢量：坡印廷矢量：表示瞬时电磁功率流密度，未指定电场强度和磁场强表示瞬时电磁功率流密度，未指定电场强度和磁场强度随时间的变化规律，适用于任何时间的变化规律。度随时间的变化规律，适用于任何时间的变化规律。( )( )( )S tE tH t正弦电磁场：正弦电磁场：电场强度和磁场强度的每一坐标分量电场强度和磁场强度的每一坐标分量都随时间作周期性的简谐变化，此时，每一点处的都随时间作周期

58、性的简谐变化，此时，每一点处的瞬时电磁功率流密度的时间平均值更具有实际意义瞬时电磁功率流密度的时间平均值更具有实际意义对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时：对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时： *1( )Re2j tj tj tE tEeEeE e *1( )Re2j tj tj tH tHeHeH e *11( )( )( )22j tj tj tj tS tE tH tEeE eHeH e *211( )ReRe22jtS tEHEHe 2*21 11 11 11 12 22 22 22 2jtjtE HeE HEHEH e *2*21 11 12 22 2jtjtEHEHEHeEH e *

59、211ReRe22jtEHEHe *211( )ReRe22jtS tEHEHe 坡印廷矢量即瞬时电磁功率流密度坡印廷矢量即瞬时电磁功率流密度，未指，未指定电场强度和磁场强度随时间的变化规律定电场强度和磁场强度随时间的变化规律在一个周期内求其平均值在一个周期内求其平均值*011( )ReRe2TavSS t dtEHST *12SEH平均坡印廷矢量即平均能流密平均坡印廷矢量即平均能流密度矢量适用于正弦电磁场度矢量适用于正弦电磁场注意：注意：式中的电磁场强度是复振幅值而不是有效值式中的电磁场强度是复振幅值而不是有效值复坡印廷矢量定义：复坡印廷矢量定义：复功率流密度矢量。复功率流密度矢量。其实部为平其实部为平均功率流密度（有功功率密度）虚部为无功功率均功率流密度（有功功率密度）虚部为无功功率复坡印廷矢量复坡印廷矢量*2*2*2111( )( )( )ReRe244111( )( )( )ReRe24411( )( )( )ReRe22jtejtmjttD tE tE DE DetB tH tB HB Hep tJ tE tJ EJ Ee *,*,*1Re41Re41Re2av