2019级上第21次课第七节平面曲线的曲率ppt课件

1、第七节第七节 平面曲线的曲率平面曲线的曲率一、弧微分一、弧微分二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径四、小结四、小结上一页下一页返回一、弧微分一、弧微分NRTA0 xMxxx .),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数baxfxyo),(:00yxA基点基点,),(为任意一点为任意一点yxM规定：规定：; )1(增大的方向一致增大的方向一致曲线的正向与曲线的正向与 x,)2(sAM .,取取负负号号相相反反时时取取正正号号一一致致时时的的方方向向与与曲曲线线正正向向当当ssAM上一页下一页返回).(xss 单调增函数单调增函数),

2、(yyxxN 设设如图，如图，NTMTMNMN ,0时时当当 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT , 0,)(为为单单调调增增函函数数xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo.222dydxds 上一页下一页返回二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量。曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲

3、程度越大1.曲率的定义曲率的定义1 )上一页下一页返回) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的的平平均均曲曲率率为为弧弧段段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M, sMM （. 切线转角为切线转角为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存存在在的的条条件件下下在在dsdss .dsdK 上一页下一页返回2.曲率的计算公式曲率的计算公式注意注意: (1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.,)(二二阶阶可可导导设设xfy

4、,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds 上一页下一页返回,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 上一页下一页返回例例1 1?2上上哪哪一一点点的的曲曲率率最最大大抛抛物物线线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最大最大k,)44,2(2为为抛抛物物线线的的顶顶点点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率上一页下一页返回点击图

5、片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入一段弯道之间接入一段稳，往往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例2 2上一页下一页返回.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似为的曲率近似为时，在终端时，在终端很小很小并且当并且当为零为零的曲率的曲率在始端在始端的长度，验证缓冲段的长度，验证缓冲段为为，其中，其中

6、缓冲段缓冲段作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl上一页下一页返回xyoR),(00yxA)0 ,(0 xC证证如图如图的负半轴表示直道，的负半轴表示直道，x.,是是圆圆弧弧轨轨道道是是缓缓冲冲段段 ABOA（在缓冲段上在缓冲段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx处处在在. 00 k故缓冲始点的曲率故缓冲始点的曲率实际要求实际要求,0 xl l上一页下一页返回20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的的曲曲率率为为故故在在终终端端A0232)1(xxAyyk 2322)

7、41(1RlR , 1 Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次项略去二次项xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl上一页下一页返回三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo上一页下一页返回1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点

8、处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).上一页下一页返回例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002压力压力飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千克飞行员体重飞行员体

9、重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vOxy解解如图如图,受力分析受力分析,PQF 视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,.2 mvF O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径上一页下一页返回002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为得曲率为.200010 xxk曲率半径为曲率半径为.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千千克克牛牛 ),(4 .571)(70千千克克力力千千克克力力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.上一页下一页返回四、小结四、小结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率