第六节简单的三角恒等变换

1、知识能否忆起知识能否忆起半角公式半角公式(不要求记忆不要求记忆)答案：答案：B小题能否全取小题能否全取答案：答案：B答案：答案：A答案：答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明三是三角恒等式的证明(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解(2)三角函数求值分为给值求值三角函数求值分为给值求值(条件求值条

2、件求值)与给角求值，对与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解条件求值问题要充分利用条件进行转化求解(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可可三角函数式的化简三角函数式的化简三角函数式的化简要遵循三角函数式的化简要遵循“三看三看”原则原则(1)一看一看“角角”，这是最重要的一环，通过看角之间，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用

3、公式；公式；(2)二看二看“函数名称函数名称”，看函数名称之间的差异，从，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有而确定使用的公式，常见的有“切化弦切化弦”；(3)三看三看“结构特征结构特征”，分析结构特征，可以帮助我，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如们找到变形的方向，如“遇到分式要通分遇到分式要通分”等等三角函数式的求值三角函数式的求值答案答案(1)C(2)三角函数求值有三类三角函数求值有三类(1)“给角求值给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特

4、殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角变角”，使其，使其角相同或具有某种关系角相同或具有某种关系(3)“给值求角给值求角”：实质是转化为：实质是转化为“给值求值给值求值”，先求角，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角的某一函数值，再求角的范围，确定角三角恒等变换的综合应用

5、三角恒等变换的综合应用(1)求求f(x)的最小正周期和最小值；的最小正周期和最小值；在本例条件不变情况下，求函数在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合的零点的集合 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为数的性质相结合，通过变换把函数化为yAsin(x)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题特征，注意利用整体思想解决相关问题(1)求求f(x)的最小正周期；的最小正周期；(2)当当0，时，若时，若f()1，求，求的值的值

6、解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性( (如有如有界性等界性等) )，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数转化为求一些我们所熟知的函数( (二次函数等二次函数等) )最值问题最值问题.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.1配方转化策略配方转化策略对能够化为形如对能够化为形如yasin2xbsin xc或或yacos2xbcos xc的三角函数最值

7、问题，可看作是的三角函数最值问题，可看作是sin x或或cos x的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决解决典例典例1求函数求函数y5sin xcos 2x的最值的最值题后悟道题后悟道这类问题在求解中，要注意三个方这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为面的问题：其一要将三角函数准确变形为sin x或或cos x的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三角函数角函数sin x或或cos x的范围，以防止出错，若没有特别的范围，以防止出错，若没有特别限制其范围是限制其范围

8、是1,12有界转化策略有界转化策略对于所给的三角函数能够通过变形化为形如对于所给的三角函数能够通过变形化为形如yAsin(x)等形式的，常常可以利用三角函数的有界等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值这是解决三角函数最值问题常用的性来求解其最值这是解决三角函数最值问题常用的策略之一策略之一题后悟道题后悟道求解这类问题的关键是先将所给的三求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值的有界性求其最值3单调性转化策略单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转借助函数单调性是

9、求解函数最值问题常用的一种转化策略对于三角函数来说，常常是先化为化策略对于三角函数来说，常常是先化为yAsin(x)k的形式，再利用三角函数的单调性求解的形式，再利用三角函数的单调性求解题后悟道题后悟道这类三角函数求最值的问题，主要的求这类三角函数求最值的问题，主要的求解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式，然解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式，然后再借助于函数的单调性，确定所求三角函数的最值后再借助于函数的单调性，确定所求三角函数的最值4数形结合转化策略数形结合转化策略 题后悟道题后悟道这类三角函数的最值问题，求解策略这类三角函数的最值问题，求解策略就是先将函数化为直线斜率的形式，再找出定点与动就是先将函数化为直线斜率的形式，再找出定点与动点满足