第八章 非线性控制系统分析

1、第八章第八章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响常见非线性特性及其对系统运动的影响8.3 相平面法相平面法8.4 描述函数法描述函数法非线性现象的普遍性非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述线性系统只是在特定条件下的近似描述典型非线性特性典型非线性特性 一、研究非线性控制理论的意义一、研究非线性控制理论的意义8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述继电特性继电特性饱和饱

2、和死区死区( (不灵敏区不灵敏区) )间隙间隙非线性系统与线性系统的根本区别：非线性系统与线性系统的根本区别：非线性非线性系统不满足叠加原理系统不满足叠加原理线性系统的运动特征与输入幅值、系统的初线性系统的运动特征与输入幅值、系统的初始状态无关，通常是在典型输入函数和零值始状态无关，通常是在典型输入函数和零值初始条件下进行研究，但非线性系统不能这初始条件下进行研究，但非线性系统不能这样进行研究。样进行研究。二、二、 非线性系统运动的特殊性非线性系统运动的特殊性线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用和初始条件无关。而与外部作用和初始条件无

3、关。非线性系统的稳定性：与非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构系统的参数与结构、运运动的初始状态动的初始状态、输入信号输入信号有直接关系。有直接关系。非线性系统的某些平衡状态非线性系统的某些平衡状态(如果不止有一个平如果不止有一个平衡状态的话衡状态的话)可能是稳定的，而另外一些平衡状可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。态却可能是不稳定的。(1)xx x如：000( )1ttx ex txx e时间响应曲线时间响应曲线平衡状态：平衡状态：x=0 x=1平衡状态：变量对时间的平衡状态：变量对时间的导数全为零的状态导数全为零的状态 。非线性系统在没有外界周期信号的激励下，能以固非线性

4、系统在没有外界周期信号的激励下，能以固有的振幅和固有的频率产生稳定的振荡，即所谓的有的振幅和固有的频率产生稳定的振荡，即所谓的自振荡（自持振荡）自振荡（自持振荡）。在控制系统中，自激振荡会造成机械磨损、能量消在控制系统中，自激振荡会造成机械磨损、能量消耗、并带来控制误差等，自激振荡是要设法耗、并带来控制误差等，自激振荡是要设法抑制抑制的。的。自振荡自振荡是非线性系统分析中的重要的内容之一。是非线性系统分析中的重要的内容之一。非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量弦信号分量(基波分量基波分量)外，还含有关于外，还含有关于的高次谐的高次谐

5、波分量。使输出波形发生非线性畸变。波分量。使输出波形发生非线性畸变。三、非线性系统的分析与设计方法三、非线性系统的分析与设计方法1.1.相平面法相平面法-基于时域分析的图解法基于时域分析的图解法 通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。同初始条件下解的运动形式。相平面法相平面法仅适用于仅适用于一阶一阶和和二阶二阶系统。系统。2.2.描述函数法描述函数法基于频域的等效线性化方法基于频域的等效线性化方法 通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然

6、后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。3.3.逆系统法逆系统法 运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的发展方向。系统控制研究的发展方向。 4 4、小范围线性近似法、小范围线性近似法 在平衡点近似线性化方法，通过在平衡点附近进行泰在平衡点近似线性化方法，

7、通过在平衡点附近进行泰勒展开，可将非线性微分方程化为线性微分方程，然后按勒展开，可将非线性微分方程化为线性微分方程，然后按线性系统的理论进行处理。该方法局限于小区域研究。线性系统的理论进行处理。该方法局限于小区域研究。5 5、逐段线性近似法、逐段线性近似法 将非线性系统近似为几个线性区域，在每个区域用相将非线性系统近似为几个线性区域，在每个区域用相应的线性微分方程描述，将各段的解合在一起即可得到系应的线性微分方程描述，将各段的解合在一起即可得到系统的全解。统的全解。8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响常见非线性特性及其对系统运动的影响一、非线性系统等效增益一、非线性系统等效增益)(xfy

8、 系统输入输出关系（稳态）：系统输入输出关系（稳态）：xxfxyk)(等效增益：等效增益：线性系统：线性系统：k为常数。为常数。非线性系统：非线性系统：k变化变化一）、饱和特性一）、饱和特性axkaaxkxaxkayxya-a斜率斜率k0对系统的影响：对系统的影响：使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利；使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利；使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。二、常见非线性二、常见非线性二）、死区特性二）、死区特性-0斜率斜率kxy0( )xyk xsign xx 对系统的影响：对系统的影响：使系统产生稳态误差；使系统产生稳态误差；当

9、系统输入端存在小扰动信号时，在系统动态过程的稳当系统输入端存在小扰动信号时，在系统动态过程的稳态值附近，死区的作用可减小扰动信号的影响。态值附近，死区的作用可减小扰动信号的影响。三）、间隙特性三）、间隙特性()0()0 ( ) 0k xhyyk xhyc sign xy对系统的影响：对系统的影响： 增大系统的稳态误差，降低系统的稳态精度，使过增大系统的稳态误差，降低系统的稳态精度，使过渡过程振荡加剧，甚至造成系统的不稳定。渡过程振荡加剧，甚至造成系统的不稳定。 一般来说，间隙特性对系统总是有害的，应该消除一般来说，间隙特性对系统总是有害的，应该消除或消弱它的影响。或消弱它的影响。0yxh-h斜

10、率斜率kc-c四）、继电特性四）、继电特性0-MMyx00 xMxMy对系统的影响：对系统的影响：可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；如选得合适可能提高系统的响应速度。如选得合适可能提高系统的响应速度。理想继电气特性理想继电气特性其他继电特性其他继电特性0yx-MM-hh滞环滞环 + + 继电继电0yx-MM-死区死区 + + 继电继电0yx-MM-死区死区 + + 间隙间隙 + + 继电继电三、非线性对系统运动影响三、非线性对系统运动影响 当当e很小很小等效增益等效增益k=M/e很大很大kK根迹增益很大根迹增益很大特征根特征根s1、

11、2=-1j则出现高频小幅值震荡则出现高频小幅值震荡8.3 相平面法相平面法 相平面法由庞加莱相平面法由庞加莱18851885年首先提出，是一种求解年首先提出，是一种求解一、一、二阶常微分方程的图解法二阶常微分方程的图解法。其实质是将系统的运动过程。其实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个点形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个点的移动轨迹，就可获得系统运动规律的全部信息。的移动轨迹，就可获得系统运动规律的全部信息。 相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度及初始条件的稳定

12、性、平衡位置、时间响应、稳态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。和参数对系统运动的影响。 相平面法绘制步骤简单、计算量小，相平面法绘制步骤简单、计算量小，特别适用于分特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统。线性系统。一、相平面基本概念一、相平面基本概念下图为二阶线性系统的结构图下图为二阶线性系统的结构图1( )( )1/( (1)E sR sKs Ts描述系统误差的微分方程为描述系统误差的微分方程为( )E sK( )R s( )C s1/s1/(Ts+1)误差信号的拉氏变换为误差信号的拉氏变换为2(1)( )s

13、TsR sTssK TeeKeTrr)()(22sRsTssEKsTs若输入信号为单位阶跃函数，则当若输入信号为单位阶跃函数，则当t00时，有时，有0(0 )1, (0 )0TeeKeee 解这个微分方程可以确定解这个微分方程可以确定 和和( )e t( )e t若以若以 为坐标轴，作二维状态平面，这个平为坐标轴，作二维状态平面，这个平面成为面成为相平面相平面。这两个变量称为。这两个变量称为相变量相变量。( ), ( )e t e t, ( ), ( )t e t e t那么那么 对应于相平面上的对应于相平面上的一个点一个点。系统的每一状态系统的每一状态(即即“相相”)均对应于相平面上的一点，

14、将均对应于相平面上的一点，将每一时刻的每一时刻的 的值构成的点都绘在相平面上，并的值构成的点都绘在相平面上，并按时间的先后连接起来，就得到这个系统的变化轨迹线，按时间的先后连接起来，就得到这个系统的变化轨迹线，称为称为相轨迹相轨迹。用箭头表示时间增大的方向用箭头表示时间增大的方向。( ), ( )e t e tTeeKeTrr 2t1ttx 3t1t2t1t3txx 2t3txt相平面和相轨迹簇相平面和相轨迹簇组成了相平面图组成了相平面图可以直观地表明一阶或二可以直观地表明一阶或二阶系统在各种初始条件下阶系统在各种初始条件下的运动过程的运动过程一般的二阶系统均可表示为一般的二阶系统均可表示为(

15、 , )0 xf x x/( , )/dxdx dtxf x xdxdx dtxx 改写成改写成/dx dx若取若取 为横坐标，为横坐标， 为纵坐标，则为纵坐标，则 是相轨迹的是相轨迹的斜率，相轨迹上任何一点都满足这个方程。斜率，相轨迹上任何一点都满足这个方程。( )x t( )x t( , )dxxf x xdxxx 若令若令dxkdx( , )f x xxk (常数常数)则有则有:称其为等倾线方程称其为等倾线方程根据根据等倾线：等倾线：相平面上的一条曲线，当相轨迹与该线任意相平面上的一条曲线，当相轨迹与该线任意一点相交，则切线斜率相同。一点相交，则切线斜率相同。二二 相平面图的绘制方法相平

16、面图的绘制方法例例8 81 1 试绘制单位质量自由落体运动的相平面图试绘制单位质量自由落体运动的相平面图解析法适用于由较简单的微分方程描述的系统解析法适用于由较简单的微分方程描述的系统解解 以地面为参考零点，向上为正，以地面为参考零点，向上为正，x x为位移，则有为位移，则有xg /dxdx dtxdxdx dtx又又xdxgdx gx所以所以等式两端积分，有等式两端积分，有00 xxxxxdxgdx 整理后得整理后得22002(2)xgxxgx2gxC 通过相平面图可以分通过相平面图可以分析物体的运动情况析物体的运动情况整理后得整理后得22002(2)xgxxgx2gxC xx 例例82 二

17、阶系统的微分方程为二阶系统的微分方程为解解 根据根据20 xx/dxdx dtxdxdx dtx题设可写成题设可写成2xdxxdx 等式两端积分，有等式两端积分，有002xxxxxdxxdx 整理后得整理后得2222200()xxxx试绘制系统的相平面图试绘制系统的相平面图22Adxxxdx.这时有这时有222xxAxx 自振荡自振荡结论：结论：1 1、在上半平面，系统状态沿相、在上半平面，系统状态沿相轨迹曲线运动的方向是轨迹曲线运动的方向是x增大的增大的方向，即向右移动；在下半平方向，即向右移动；在下半平面向左移动面向左移动0 x 2 2、同时满足、同时满足 和和 的点的点称为称为奇点奇点

18、( , )0f x x 3 3、自持振荡的相轨迹是封闭曲线、自持振荡的相轨迹是封闭曲线4 4、相轨迹通常与、相轨迹通常与x轴垂直相交轴垂直相交任何一条曲线都可以用有限段足够短的直线来逼近，那么任何一条曲线都可以用有限段足够短的直线来逼近，那么通过等倾线法就可以绘制出系统的相平面图。等倾线是指通过等倾线法就可以绘制出系统的相平面图。等倾线是指相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。( , )kxf x x即即则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为的切线斜率均为k，该曲线称为，该曲线称为等倾线。等倾线。( , ) dxf

19、x xkdxx设斜率为设斜率为k，则有，则有等倾线等倾线x x斜率斜率注注1 1：线性系统的等倾线为直线；线性系统的等倾线为直线；注注2 2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。非线性系统的等倾线为曲线或折线。题设可改写成为题设可改写成为例例82 绘制下面系统的相轨迹绘制下面系统的相轨迹220 xxx解解 根据根据/dxdx dtxkdxdx dtx22 xxk22xkxx整理后得到相轨迹的等倾线方程为整理后得到相轨迹的等倾线方程为若令若令=0.5=0.5，=1=1，则有，则有11 xxkK-1-1.2-1.4-4-52.50.330tg-1K13513012510490tg-1907968180

20、 xx 01,1xxxkk是相轨迹切线的斜率是相轨迹切线的斜率-1/(1+k)是等倾线的斜率是等倾线的斜率1.41.2 k24等倾线为直线等倾线为直线1k 11 k令令即即题设可改写成为题设可改写成为例例8 83 3 绘制下面系统的相轨迹绘制下面系统的相轨迹20.2(1)0 xxxx解解 根据根据/dxdx dtxkdxdx dtx20.2(1)xxxk20.2(1)0dxxxxxdx整理后得到相轨迹的等倾线方程为整理后得到相轨迹的等倾线方程为20.2(1)0 xkxxx0k0k0k1k1k20.2(1)xxxk等倾线为曲线等倾线为曲线解：解：xdxxdxdxdx令xx 例例8-4: : 用等

21、倾线法绘制用等倾线法绘制 的相轨迹。的相轨迹。0 xx 当以当以(x0,0)为初始条件时，是一个圆。为初始条件时，是一个圆。 =- - ，-2， -1，-0.5，0，0.5 时画等倾线时画等倾线注意事项注意事项(4)等倾线分布越密，相轨迹越准确。等倾线分布越密，相轨迹越准确。(3)（非平衡点）相轨迹与（非平衡点）相轨迹与x轴垂直相交；轴垂直相交；(2)上半平面上半平面 ，故故x的走向应沿的走向应沿x的增加的方向由左的增加的方向由左向右，下半平面反之；向右，下半平面反之；0 x (1)坐标轴坐标轴x和和 比例尺相同；比例尺相同；x 作业：作业：8-1（1）、）、2内容概要内容概要1、非线性系统的

22、特征。非线性系统的特征。 1）不能应用叠加原理不能应用叠加原理 2）稳定性分析复杂）稳定性分析复杂 3）可能存在自震荡可能存在自震荡 4）频率特性发生畸变频率特性发生畸变2、等效增益及常见非线性等效增益及常见非线性 1）等效增益变化等效增益变化 2）饱和、继电、间隙、死区等饱和、继电、间隙、死区等3、相平面分析方法相平面分析方法 1）若以若以 x和和x的导数为坐标轴，作二维状态平面，的导数为坐标轴，作二维状态平面，这个平面称为相平面。这两个变量称为相变量。这个平面称为相平面。这两个变量称为相变量。2）解析法解析法3）等倾线法等倾线法( , )0 xf x x( , )dxf x xkdxx(

23、, )kxf x x线性：等倾线为直线线性：等倾线为直线非线性：曲线非线性：曲线 K为相轨迹的斜率。为相轨迹的斜率。4、相平面相轨迹注意事项：相平面相轨迹注意事项：注意事项注意事项(4)等倾线分布越密，相轨迹越准确。等倾线分布越密，相轨迹越准确。(3)（非平衡点）相轨迹与非平衡点）相轨迹与x轴垂直相交；轴垂直相交；(2)上半平面上半平面 ，故，故x的走向应沿的走向应沿x的增加的方向由左的增加的方向由左向右，下半平面反之；向右，下半平面反之；0 x (1)坐标轴坐标轴x和和 比例尺相同；比例尺相同；x 三、线性系统的相轨迹三、线性系统的相轨迹 1.线性一阶系统的相轨迹线性一阶系统的相轨迹微分方程

24、：微分方程：001(0)cccT 0 ccT相轨迹方程：相轨迹方程：cTc1设系统初始条件为设系统初始条件为c(0)=c00bccac 2422, 1baasdcacbcdcc2.线性二阶系统的相轨迹线性二阶系统的相轨迹微分方程：微分方程：特征根：特征根：相轨迹微分方程：相轨迹微分方程：等倾线方程：等倾线方程：)()()(tkcatbctc2122402402aabsaabs 讨论二阶线性系统的相轨迹讨论二阶线性系统的相轨迹1.b0时时2ab220nnccc0bccac (1)0 1 s1s2 -一对纯虚根一对纯虚根(5)- -1 0s1s2-具有正实部的具有正实部的共轭复根共轭复根cccc(

25、6) - -1 s1s2 -两个正实根两个正实根四、奇点和奇线四、奇点和奇线 1.奇点奇点-同时满足同时满足 和和 的点。的点。0 x ( , )0f x x 奇点一定位于相平面的横轴上；奇点一定位于相平面的横轴上；相轨迹在奇点处切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意相轨迹在奇点处切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此相轨迹族曲线在奇点处发生相交；方向趋近或离开奇点，因此相轨迹族曲线在奇点处发生相交；00dxdx经过奇点的相轨迹有多条，而经过普通点的相轨迹只有一条；经过奇点的相轨迹有多条，而经过普通点的相轨迹只有一条；不同时满足不同时满足 和和 的点，称普通点。的点

26、，称普通点。0 x ( , )0f x x 在奇点处，系统运动的速度和加速度同时为零，对二在奇点处，系统运动的速度和加速度同时为零，对二阶系统而言，系统不再发生运动，处于平衡状态，因此阶系统而言，系统不再发生运动，处于平衡状态，因此相平面上的奇点也称为相平面上的奇点也称为平衡点平衡点。奇点奇点(0,0)的类型的类型焦点焦点 系统特征根是具有系统特征根是具有负实部的共轭复根负实部的共轭复根时，奇点为时，奇点为稳定稳定焦点焦点；系统特征根是具有；系统特征根是具有正实部的共轭复根正实部的共轭复根时，奇点为时，奇点为不不稳定焦点稳定焦点。节点节点 系统特征根是具有系统特征根是具有负实根负实根时，奇点为

27、时，奇点为稳定节点稳定节点；系统；系统特征根是具有特征根是具有正实根正实根时，奇点为时，奇点为不稳定节点不稳定节点。鞍点鞍点 系统特征根是具有系统特征根是具有一正一负实根一正一负实根时，奇点为时，奇点为鞍点鞍点。中心点中心点 系统具有两个系统具有两个共轭纯虚数根共轭纯虚数根，奇点称为，奇点称为中心点中心点。 j0 j0j0稳定焦点稳定焦点中心点中心点不稳定节点不稳定节点不稳定焦点不稳定焦点鞍点鞍点 j021 j012二阶系统奇点二阶系统奇点(0,0)的类型的类型1j0 2节点节点非线性系统的奇点类型非线性系统的奇点类型0000( , )( , )x xx xx xx xf x xf x xxx

28、xxx 奇点附近关于奇点附近关于x的线性二阶微分方程：的线性二阶微分方程： 将将 在奇点在奇点 处展开成泰勒级数，略处展开成泰勒级数，略去高次项。去高次项。( , )f x x 00(,)xx 求解上式特征根，从而判断奇点类型。求解上式特征根，从而判断奇点类型。 线性系统只有一个平衡状态，因此，只有一个奇线性系统只有一个平衡状态，因此，只有一个奇点。对零输入的线性二阶系统而言，奇点位于相平面点。对零输入的线性二阶系统而言，奇点位于相平面的坐标原点。只要知道奇点的位置和类型，奇点附近的坐标原点。只要知道奇点的位置和类型，奇点附近的相轨迹的形状就确定了，运动规律也就知道了。的相轨迹的形状就确定了，

29、运动规律也就知道了。 非线性二阶系统可能具有非线性二阶系统可能具有多个平衡状态多个平衡状态，也就有，也就有多多个奇点。个奇点。2.奇线奇线 -将相平面划分为具有不同运动特点的多个区将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域的特殊相轨迹。域的特殊相轨迹。 非线性系统有一个与线性系统的完全不同的运动状非线性系统有一个与线性系统的完全不同的运动状态，即自持振荡，那么，在相平面上则表现为一个稳定的态，即自持振荡，那么，在相平面上则表现为一个稳定的极限环极限环 极限环分为稳定极限环、不稳定极限环和半稳定极限极限环分为稳定极限环、不稳定极限环和半稳定极限环三种类型。环三种类型。 极限环是一条封闭的相轨迹，它

30、附近的相轨迹都渐进极限环是一条封闭的相轨迹，它附近的相轨迹都渐进地趋向它或从它离开。地趋向它或从它离开。 极限环是非线性系统的特有的现象，极限环是非线性系统的特有的现象，只发生在非守恒只发生在非守恒系统中，这种运动是由非线性特性，导致系统的能量交替系统中，这种运动是由非线性特性，导致系统的能量交替变化。它与无阻尼线性二阶系统的等幅振荡是不同的。变化。它与无阻尼线性二阶系统的等幅振荡是不同的。稳定极限环稳定极限环 如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹都如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹都渐进地趋向于这个极限环，任何较小的扰动使系统离开极渐进地趋向于这个极限环，任何较小的扰动使系

31、统离开极限环后，最终相轨迹仍回到这个环上，这样的极限环称为限环后，最终相轨迹仍回到这个环上，这样的极限环称为稳定的极限环。稳定的极限环。系统沿极限环的运动表现为自持振荡。系统沿极限环的运动表现为自持振荡。不稳定极限环不稳定极限环 如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹都如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹都从极限环发散出去，任何较小的扰动使系统离开极限环后，从极限环发散出去，任何较小的扰动使系统离开极限环后，系统的状态将远离极限环或趋向平衡点，这样的极限环称系统的状态将远离极限环或趋向平衡点，这样的极限环称为不稳定的极限环。为不稳定的极限环。 如果由极限环内部起始的相轨迹从极限环

32、发散出去，如果由极限环内部起始的相轨迹从极限环发散出去，由外部起始的相轨迹渐进地趋向极限环；或者由由外部起始的相轨迹渐进地趋向极限环；或者由内部起始内部起始的相轨迹渐进趋向极限环，由外部起始的相轨迹从极限环的相轨迹渐进趋向极限环，由外部起始的相轨迹从极限环发散出去，发散出去，这样的极限环称为半稳定的极限环。这样的极限环称为半稳定的极限环。 这种极限环不会产生自持振荡，系统的运动最终会趋这种极限环不会产生自持振荡，系统的运动最终会趋 向于极限环内的奇点或远离一个或数个极限环。向于极限环内的奇点或远离一个或数个极限环。025 . 02xxxx xxxxdxxd)25 . 0(200dxdx令例例8

33、-5:已知非线性系统的微分方程为已知非线性系统的微分方程为 试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。解：解： 系统相轨迹微分方程：系统相轨迹微分方程：200.520 xxxx1202xx 121202,00 xxxx 有二个奇点：奇点奇点(0,0)处处2),(00 xxxxxf5 . 0),(00 xxxxxfxxxxfxxfx 5 . 02025 . 0 xxx 1,20.25 1.39xj系统在奇点系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根，处有一对具有负实部的共轭复根，故奇点故奇点(0,0)为稳定的焦点。为稳定的焦点。奇点奇点(-2,0)处处5

34、. 0),(02xxxxxf2),(02xxxxxf02-5 . 0 xxx 121.69,1.19xx 系统在奇点系统在奇点(-2,0)处有一正一负二个实根，故奇点处有一正一负二个实根，故奇点(-2,0)为鞍点为鞍点。实线为分隔线，虚线为相轨迹实线为分隔线，虚线为相轨迹 由以上两种奇点类型的相平面图结合起来，可以画由以上两种奇点类型的相平面图结合起来，可以画出系统相平面图的大致形状，如下图所示。出系统相平面图的大致形状，如下图所示。非线性系统的相平面图非线性系统的相平面图 0642024681086420246x x五、五、 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析相平面中的每一条相轨迹

35、由结构参数和初始条件确定。相平面中的每一条相轨迹由结构参数和初始条件确定。相平面中的每一条相轨迹是否连续？相平面中的每一条相轨迹是否连续？系统运行位移、速度不可能突变，系统运行位移、速度不可能突变，相平面中的每一条相轨迹必定连续！相平面中的每一条相轨迹必定连续！非线性相轨迹如何分析？非线性相轨迹如何分析？系统有非线性部分和线性部分组成。系统有非线性部分和线性部分组成。若仅线性则相轨迹易画。若仅线性则相轨迹易画。非线性的特点：非线性的特点：分段线性。分段线性。又根据相轨迹连续，不同的线性画出，然后连接即可。又根据相轨迹连续，不同的线性画出，然后连接即可。方法：方法：用几条分界线将相平面分为几个线

36、性区域；用几条分界线将相平面分为几个线性区域；按各段的微分方程画出各区域的相轨迹；按各段的微分方程画出各区域的相轨迹；将各区域的相轨迹连成实的连续曲线。将各区域的相轨迹连成实的连续曲线。1.具有死区特性的非线性控制系统具有死区特性的非线性控制系统例例8-6 系统初始状态为零，输入系统初始状态为零，输入r(t)=R.1(t)，试绘制，试绘制偏差偏差 e 的相平面图。的相平面图。系统微分方程：系统微分方程：( )( )( )Tc tc tKm t( ( ) ,( )( )0 ,( )( ( ) ,( )k e te tm te tk e te t ( )( )( )e tr tc t(I):()0

37、 ,(II):0 ,( )(III):()0 ,TeeKk eeTeee tTeeKk ee ( )( )0r tr t给定参数：给定参数：T=1，Kk=1在在I 区：区：()deeKk eedtT()eKk edeTdee 令00dede令0ee 稳定焦点稳定焦点相轨迹为向心螺旋线相轨迹为向心螺旋线 ( =0.5)在在II 区：区：deeedtT edeTdee令00dede令0|ee 在在III 区：区：()deeKk eedtT ()eKk edeTdee 令00dede令0ee 稳定焦点稳定焦点相轨迹沿直线收敛相轨迹沿直线收敛相轨迹为向心螺旋线相轨迹为向心螺旋线 ( =0.5)0)0(

38、,)0()0()0(eRcre 根据区域奇点类型及对应的运动形式，作相轨迹如根据区域奇点类型及对应的运动形式，作相轨迹如下图实线所示。下图实线所示。 例例8-7 已知：已知：T=1, K=4, e0=M0=0.2，若系统开始处于零，若系统开始处于零初始状态，试做出初始状态，试做出r(t)=R.1(t)时系统的相平面图。时系统的相平面图。2.具有饱和特性的非线性控制系统具有饱和特性的非线性控制系统解：解：根据结构图，有：根据结构图，有：)()()(tKmtctcT 00000( )Meem tke eeMee ( )( )( )e tr tc t100eMk00000(I):0(II):0(II

39、I):0TeeKMeeTeeKeeeTeeKMee ( )1( )r tRt0rr00000(I):(II):(III):TeeKMTrreeTeeKeTrreeTeeKMTrree 在在I 区：区：0eKMdeedtT 0eKMdedeTe 令等倾线方程：等倾线方程：10TKMe 等倾线为一簇水平线，斜率为等倾线为一簇水平线，斜率为 。渐近线渐近线=0 ：0eKM 在在III 区：区：0eKMdedeTe 令等倾线方程：等倾线方程：01KMeT 同理有同理有渐近线渐近线=0 ：0eKM 在在II 区：区：0TeeKe 将数据代入：将数据代入：40eee 94. 15 . 02, 1js特征根

40、：特征根：奇点奇点(原点原点)为稳定焦点为稳定焦点(0)(0)(0)2, (0)0ercRe取 根据区域奇点类型及对应的运动形式，作相轨迹如下根据区域奇点类型及对应的运动形式，作相轨迹如下图所示。图所示。作业：作业：8-3（1）（）（4） 8-6内容概要内容概要1、一阶、二阶线性系统相轨迹。、一阶、二阶线性系统相轨迹。 特征根与相轨迹图形。特征根与相轨迹图形。2、奇点及奇线。、奇点及奇线。 奇点的类型：焦点、节点、中心点、鞍点。奇点的类型：焦点、节点、中心点、鞍点。 极限环：稳定、不稳定、半稳定。极限环：稳定、不稳定、半稳定。3、非线性系统奇点的类型：、非线性系统奇点的类型： 平衡点求法。平衡

41、点求法。 平衡点线性化。平衡点线性化。 按线性系统分析其平衡点。按线性系统分析其平衡点。4、非线性系统相轨迹。、非线性系统相轨迹。方法：方法：用几条分界线将相平面分为几个线性区域；用几条分界线将相平面分为几个线性区域；按各段的微分方程画出各区域的相轨迹；按各段的微分方程画出各区域的相轨迹；将各区域的相轨迹连成实的连续曲线。将各区域的相轨迹连成实的连续曲线。8.4 描述函数法描述函数法引言：引言： 对于线性系统对于线性系统, , 当输入是正弦信号时当输入是正弦信号时, , 输出稳定后是输出稳定后是相同频率的正弦信号相同频率的正弦信号, , 其幅值和相位随着频率的变化而变其幅值和相位随着频率的变化

42、而变化化, , 这就是利用频率特性分析系统的频域法的基础。这就是利用频率特性分析系统的频域法的基础。 对于非线性系统对于非线性系统, , 当输入是正弦信号时当输入是正弦信号时, , 输出稳定后输出稳定后通常不是正弦的通常不是正弦的, , 而是与输入同频率的周期非正弦信号而是与输入同频率的周期非正弦信号, , 它可以分解成一系列正弦波的叠加它可以分解成一系列正弦波的叠加, , 其基波频率与输入正其基波频率与输入正弦信号的频率相同。弦信号的频率相同。 ( )R s( )C sG(s)非线性环节非线性环节X(t)X(t)设非线性环节的正弦输入为设非线性环节的正弦输入为x(t)=X sint, , 则

43、输出为则输出为 设非线性系统的结构图如下图所示设非线性系统的结构图如下图所示10)sincos()(nnntnBtnAAty式中：式中： 20020201( ) ()21( )cos()1( )sin()nnAy t dtAy tn tdtBy tn tdt令令 22,nnnnnnAYABarctgBn1, 2, 。 10)sincos()(nnntnBtnAAty 由于系统通常具有低通滤波特性由于系统通常具有低通滤波特性, , 其他谐波各项比其他谐波各项比基波小基波小, , 所以可以用基波分量近似系统的输出。所以可以用基波分量近似系统的输出。假定非假定非线性环节关于原点对称线性环节关于原点对

44、称, , 则输出的直流分量等于零则输出的直流分量等于零, , 即即A00, , 则：则： y(t)=A1 cost+B1 sint=Y1sin(t+1) 10)sincos()(nnntnBtnAAty1 1、定义：、定义：非线性环节的描述函数为非线性环节输出的基非线性环节的描述函数为非线性环节输出的基波与输入信号二者的复数符号的比值波与输入信号二者的复数符号的比值, , 即即 式中式中, , N为描述函数为描述函数, , A是正弦输入信号的幅值是正弦输入信号的幅值, , Y1是输出是输出信号基波的幅值信号基波的幅值, , 1为输出信号基波与输入信号的相位差。为输出信号基波与输入信号的相位差。

45、 一、描述函数的基本概念一、描述函数的基本概念AAjABeAYNj1111 如果非线性环节中不包含储能机构如果非线性环节中不包含储能机构( (即非记忆即非记忆), ), 即即N的特的特性可以用代数方程性可以用代数方程( (而不是微分方程而不是微分方程) )描述描述, , 则则y(t)与频率无关。与频率无关。 描述函数只是输入信号幅值描述函数只是输入信号幅值A的函数的函数, , 即即NN(A), 而与而与无关。无关。 例例8-8：设继电特性为：设继电特性为,0( ),0Mxy xMx计算该非线性特性的描述函数。计算该非线性特性的描述函数。解：解：( )sinx tt220001( )022MAy

46、 t d td td t,0( ),2Mty tMt221001( )coscoscos0MAy ttd ttd ttd t2210014( )sinsinsinMMBy ttd ttd ttd tM-M114()BjAMN AAA非线性特性为输入非线性特性为输入 x 的奇函数时：的奇函数时：10102( )cos2( )sinAy ttdtBy ttdt y(t)为奇函数，且又为半周期对称时：为奇函数，且又为半周期对称时：121004( )sinABy ttdt非线性特性为输入非线性特性为输入x 的奇函数时：的奇函数时：00A34121)(xxxy例例8-9:设某非线性元件的特性为设某非线性

47、元件的特性为 试计算其描述函数。试计算其描述函数。解：解：y(x)为为x的奇函数的奇函数00AsinxAt输入时tAtAty33sin4sin2)(10A y(t)为奇函数，且又为半周期对称时为奇函数，且又为半周期对称时201sin)(4ttdtyB2020432sin4sin24ttdAttdA3314332 448 2216AAABA2113( )216BN AAA由定积分公式得：由定积分公式得：2、非线性系统描述函数法分析的应用条件非线性系统描述函数法分析的应用条件(1)非线性系统应简化一个非线性环节和一个线性部分闭非线性系统应简化一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式；环连

48、接的典型结构形式；- -x(t)非线性部分非线性部分Ny(t)c(t)r(t)线性部分线性部分G(s)(2)非线性环节的输入输出特性应为：非线性环节的输入输出特性应为：y(x)是是x 的奇函数，即的奇函数，即f(x)=- -f(x)，或正弦输入下的输出为，或正弦输入下的输出为t的奇对称函数，即的奇对称函数，即y(t+/) =- -y(t)，以保证非线性环节的正弦响应不含有常值，以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量，即分量，即A0=0；(3)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。P437 8-12 设三个非线性系统的非线性环节一样，其线性设三个非线性

49、系统的非线性环节一样，其线性部分传递函数如下列各式，用描述函数法分析系统时，哪个部分传递函数如下列各式，用描述函数法分析系统时，哪个系统分析的准确度高？系统分析的准确度高？) 11 . 0)(1() 15 . 1 (2)()3() 1(2)()2() 11 . 0(1)() 1 (sssssGsssGsssG120.111010020400.673显然（显然（2 2）具有更好）具有更好的低通滤波特性，所的低通滤波特性，所以系统分析的准确度以系统分析的准确度更好。更好。哪个低通特哪个低通特性好？性好？3、描述函数的物理意义描述函数的物理意义 非线性环节仅考虑基波分量，非线性环节的描述函数非线性环

50、节仅考虑基波分量，非线性环节的描述函数表现为复数增益的放大器。表现为复数增益的放大器。注意：描述函数表现为关于输入正弦信号的幅值注意：描述函数表现为关于输入正弦信号的幅值A的复变的复变增益放大器，这正是非线性环节的的近似频率特性与线性增益放大器，这正是非线性环节的的近似频率特性与线性系统频率特性的本质区别。系统频率特性的本质区别。二、典型非线性特性的描述函数二、典型非线性特性的描述函数非线性元件的描述函数计算步骤：非线性元件的描述函数计算步骤：1.设非线性元件的输入设非线性元件的输入x(t)=Asin t 根据该元件的特性，根据该元件的特性，确定其输出确定其输出y(t)的表达式；的表达式；2.

51、将将y(t)展成傅立叶级数；展成傅立叶级数；0011( )(cossin)sin()nnnnnny tAAn tBn tAYn t3.取级数中的基波，求描述函数。取级数中的基波，求描述函数。典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数1.理想继电器特性理想继电器特性4( )(0)MN AAA2.死区继电器特性死区继电器特性24( )1()()MhN AAhAA3.滞环继电器特性滞环继电器特性244( )1 ()()MhMhN AjAhAAA4.饱和特性饱和特性122( )sin1 () ()KaaaN AAaAAA5.死区饱和特性死区饱和特性11222( )sinsin1()1() ()K

52、aaaN AAAAAAaAA 6.死区特性死区特性122( )sin1 () ()2KN AAAAA 7.间隙特性间隙特性122( )sin (1)(1)(1)24(1)()KbbbbN AAAAAKb bjAbAA 8.变增益特性变增益特性121222()( )sin1 () ()KKsssN AKAsAAA9.有死区的线性特性有死区的线性特性10.库仑摩擦加粘性摩擦特性库仑摩擦加粘性摩擦特性4( )MN AKA122( )sin421 ()()KN AKAMKAAA 三、非线性系统的简化三、非线性系统的简化1.非线性特性的并联非线性特性的并联 若两个非线性特性输入相同，输出相加、减，则等若

53、两个非线性特性输入相同，输出相加、减，则等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。效非线性特性为两个非线性特性的叠加。2.非线性特性的串联非线性特性的串联 -图解法图解法 两个非线性环节的串联，等效特性还取决于其前后两个非线性环节的串联，等效特性还取决于其前后次序，调换次序则等效非线性特性亦不同。次序，调换次序则等效非线性特性亦不同。3.线性环节的等效变换线性环节的等效变换 -结构框图化简结构框图化简G1G2NG3r(t)=0c(t) -G1G2NG3r(t)=0c(t) 1/G1-G1G2NG3r(t)=0c(t) 1/G1-G1G2NG3r(t)=01/G1-r(t)=0c(t) -NG3r(

54、t)=01/G121211GGGG-r(t)=0c(t) r(t)=021321GGGG-Nc(t)G1G2NG3r(t)=0c(t) -32211)(GNGGs3221111)()(GNGGGsGsG2132211)(GGGNGGGs012132GGGNG0112132GGGGN112132-GGGGN21321)(GGGGsGr(t)=021321GGGG-Nc(t)或者直接求解：或者直接求解：P437习题习题8-14 将非线性系统简化成典型结构图形式，并写将非线性系统简化成典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。出线性部分的传递函数。（1）NG1(s)H1(s)r=0c-NG1(s)1

55、+H1(s)r=0c-NG1(s)1+H1(s)r=0c-结构图化简：结构图化简：直接求解：直接求解：)()(1)()(2111sGsNGsNGs)(1)(1)()()()(1)()(1111111sHsNGsNGsNGsHsNGsNGs0)(1)(111sHsNG1)(1)(11-sHsNG)(1)()(11sHsGsGNG1(s)1+H1(s)r=0c-（2）NG1(s)H1(s)r=0c-NG1(s)H1(s)r=0c-NH1(s)r=0c-)(1)(11sGsGNr=0c-)(1)()(111sGsGsH结构图化简结构图化简直接求解：直接求解：)()()(1)()(1111ANsHsG

56、sGs)()()()(1)()(1111ANsHsGsGsGs0)()()()(1111ANsHsGsG0)()(1)()(1111ANsGsHsG1)()(1)()(111-ANsGsHsG)(1)()()(111sGsHsGsGN(A)G(s)r(t)=0c(t)-四、非线性系统稳定性分析的描述函数法四、非线性系统稳定性分析的描述函数法1.变增益线性系统的稳定性分析变增益线性系统的稳定性分析闭环系统的特征方程：闭环系统的特征方程：0)(1jKG01)(jKjG设设G(s)的极点均在的极点均在s左半平面左半平面当当G(j )不包围不包围(-1/K，j0)点时，系统闭环稳定；点时，系统闭环稳定

57、；当当G(j ) 包围包围(-1/K，j0)点时，系统闭环不稳定；点时，系统闭环不稳定；当当G(j ) 穿过穿过(-1/K，j0)点时，系统临界稳定。点时，系统临界稳定。j01KG(j )当当G(j )不包围不包围(-1/K，j0)直线，则系统闭环稳定；直线，则系统闭环稳定；当当G(j )包围包围(-1/K，j0)直线时，则系统闭环不稳定。直线时，则系统闭环不稳定。 设设K1KK2 ，则则(-1/K，j0)为复平面实轴上的一段直线。为复平面实轴上的一段直线。j021K11KG(j )2.应用描述函数分析非线性系统的稳定性应用描述函数分析非线性系统的稳定性-x(t)非线性部分非线性部分N(A)y

58、(t)c(t)r(t)线性部分线性部分G(j )设设G(s)的极点均位于的极点均位于s左半平面左半平面闭环系统的特征方程：闭环系统的特征方程：0)()(1jGAN)(1)(ANjG-非线性环节的负倒描述函数非线性环节的负倒描述函数)(1ANG(j )与与 -1/N(A) 曲线无交点：曲线无交点：G(j )包围包围-1/N(A)，非线性系统不稳定。非线性系统不稳定。G(j )不包围不包围-1/N(A)，非线性系统稳定。非线性系统稳定。非线性系统的稳定性判据：非线性系统的稳定性判据： 若若G(j )不包围不包围 -1/N(A) 曲线，曲线， 则非线性系统稳定；若则非线性系统稳定；若G(j )包围包

59、围 -1/N(A) 曲线，则非线性系统不稳定。曲线，则非线性系统不稳定。内容概要内容概要一、描述函数的基本概念一、描述函数的基本概念1、定义定义2、非线性系统描述函数法分析的应用条件非线性系统描述函数法分析的应用条件二、典型非线性特性的描述函数二、典型非线性特性的描述函数三、非线性系统的简化三、非线性系统的简化四、非线性系统稳定性分析的描述函数法四、非线性系统稳定性分析的描述函数法作业讲解：作业讲解：8-12、1421121TTx8)(2121TTTKTjGx例例8-5:已知非线性系统结构如图所示，试分析系统的稳定性。已知非线性系统结构如图所示，试分析系统的稳定性。解：解：对于线性环节，解得穿

60、越频率：对于线性环节，解得穿越频率：( (例例5-2）非线性环节为库仑摩擦加粘性摩擦特性，非线性环节为库仑摩擦加粘性摩擦特性，查表查表8-1得得114( )MN AKA G(j )包围包围- -1/N(A)曲线曲线非线性系统不稳定非线性系统不稳定10(0)112( )NNK 3.非线性系统存在周期运动时的稳定性分析非线性系统存在周期运动时的稳定性分析( (考研点）考研点）当当G(j )与与- -1/N(A) 有交点时有交点时1()( )/()/( )G jN AG jN A Re()( )1Im()( )0G jN AG jN A 可解得交点处的频率可解得交点处的频率 和幅值和幅值A或或 系统