交流电路基础

1、第一章 交流电路基础知识 一、交流电的基本关系式 设正弦交流电流的波形如图1-1所示。 图1-1 正弦交流电流波形 该正弦交流电流的数学表达式是： iImSin(t+1)= 2 Isin(t+1 ) (1-1)式中 i瞬时值（安培）; Im -最大值（安培）; I=（2 /2）Im.0.7071 Im 有效值（安培） =2f 角频率（弧度秒）， f=1/T 频率（赫兹或周秒）， T 周期（秒）， t 时刻（秒）， (t+1) 相位或相位角（弧度）， 1 初相位（弧度或角） 。 在交流电计算中，经常还要用平均值这个量。所谓平均值，是指半个周期内交流电的平均数值，其值为： Ip=0.637 Im在

2、交流整流电路中，需要计算整流的输出直流电压与输入交流电压的关系。实际上，输出直流电压即是上述Ip： Ip= 0.637 Im=（0.637 / 0.707）I=0.9 I二、交流电的矢量运算 交流电的计算比较复杂，为了简化交流电的运算，通常把正弦交流电用矢量表示，通过矢量加减法来进行交流电的运算。1串联电路见图1一2。 （a）电路： （b）矢量图 图1-2交流串联电路 已知 u1=2U1Sin(t+1) u22U2Sin(t+2) 求和u=u1u2 【解】在平面上以水平轴线为甚准，画出代表u1、u2的两个矢量u1/1和u2/2，求出它们的和矢量U/即为所求之 u2 Usin(t+)U2= （U

3、1Cos1U2 Cos2）2（U1 Sin1U2 Sin2）2 = U12U222 U1 U2Cos（12）=2-1【例题1-1】如图1-3所示、设日光灯管上的电压为u1=2 x 98. 5sin314t（伏），镇流器上的电压为u2 =2x 197sin(314t+90°)（伏）。试求电源电压u=u1 +u2的有效值及瞬时值表达式。 图13 例题1一1电路 图1一4例题1-1电路矢量图 【解】根据u1和u2做出矢量图（见图1-4），则 uU12+U22=98.5 2+197 2=220伏 =tg-1(U2/ U1)tg-1(197/ 98.5)=63.5° 所以可得电源电压

4、u的有效值为U=220伏，其瞬时值表达式为 u2x 220sin(314t635°）（伏） 2并联电路 见图1一5。 已知i1= 2 I1sin(t+1) i2= 2 I2sin(t+2) 求 i= i1+ i2 （a）电路； （b）矢量图 图1-5交流并联电路 【解】在平面上以水平轴线为基准，画出代表i1和i2的两个矢量I1/1和I2/2，求出它们的矢量和I/,即为所求之i i = 2 Isin(t+)I2= （I1Cos1I2 Cos2）2（I1 Sin1I2 Sin2）2 = I12I222 I1 I2Cos（12）=2-1 【例题1-2】如图1-6所示，设已知并联电路两支路电

5、流各为i1=141sin(t45°)（安）和i2=310sin(t-15°)（安），求总电流i= i1+ i2的有效值和瞬时表达式。 图1-6例题1-2电路 【解】根据i1和i2做出矢量图（见图1-7）。 图1-7例题1-2电路矢量图 i1和i2的有效值以及它们之间的相位差为 I1= I1m/ ( 2 )=141/ ( 2 )=100安 I2= I2m/ ( 2 )=310/ ( 2 )=220安 12 = 1 - 2 = 45°- ( -15°)=60° i1在x轴和y轴上的投影为 I1xI1cos1 =100 x cos45°=7

6、0.7安 I1yI1sin1 = 100 x sin45°=70.7安 I2在x轴和y轴上的投影为 I2xI2cos2 =220 x cos ( -15°)=213.4安 I2yI2sin2 = 220 x sin ( -15°)= -57.2安 所以可求出i在x轴和y轴上的投影为 Ix = I1x + I2x=70.7213.4=284.1安 Iy = I1y + I2y = 70.7（一57.2）=13.5安 总电流的有效值为 I= Ix 2+ Iy 2284.1213.52284安 i的相位角为 = tg-1(I2/ I1)= tg-1(13.5/284.1

7、)= 17.8° 所以总电流的瞬时表达式为 i2x 284sin(t17.8°）三、单相交流电路的计算 这里对各种典型的单相交流电路加以分析，其运算方法可采用矢量法。 1纯电阻电路 在纯电阻电路中，电压、电流、电阻及功率的关系为设u2Usint (1-2)则i2I sint (1-3)且I = U/R (1-4)式中 u 电压瞬时值（伏特）， I 电流瞬时值（安培）， U 电压有效值（伏特）， I 一电流有效值（安培）， R 电阻（欧姆）。 电路图和矢量图见图1-18,（a） 电路， (b)矢量图 图1-8纯电阻电路与矢量图 在纯电阻电路中，交流电在一个周期内功率的平均值叫

8、平均功率或有功功率。其计算公式为 PUI=I2R=U2/R （1-5） 式中 P 平均功率或有功功率（瓦特）， U 电压（伏特）； I 电流（安培）， R 一电阻（欧姆）。 2纯电感电路 在纯电感电路中，电压、电流、电感及功率的关系为 设 i2I sint (1-6) 则 u=2 Usin(t90°) (1-7)且 I=U/L=U/XL (1-8)式中 i电流瞬时值（安培）， u电压瞬时值（伏特）， I电流有效值（安培）， U电压有效值（伏特）， XLL感抗（欧姆）， 角频率（弧度秒）， L电感（亨利）。 电路图和矢量图见图1-9 (a)电路 ，(b) 矢量图 图1-9纯电感电路与矢

9、量图 在纯电感电路中不消耗电能，所以有功功率等于零。但电感线圈与电源之间存在有能量交换关系，用无功功率表示，其值为 QL=UI=I2XL= U2/XL (1-9) 式中 QL无功功率（乏,现在,法定计量单位为瓦） U电压（伏特）， I电流（安培）， XL=L=2f L感抗（欧姆） 角频率（弧度秒）， f频率（Hz） L电感（亨利）。 3纯电容电路 在纯电容电路中，电压、电流、电容及功率的关系为设 u2U sint (1-10) 则 i=2 Isin(t90°) (1-11)且 I=U/(1/C)=U/XC (1-12)式中 i电流瞬时值（安培）， u电压瞬时值（伏特）， I电流有效值

10、（安培）， U电压有效值（伏特）， XC1/（C）1/（2f C）容抗（欧姆）， 角频率（弧度秒）， f频率（Hz） C电容（法拉）。 电路图和矢量图见图1-10, （a）电路， （b）矢量图 图1-10纯电容电路与矢量图 在纯电容电路中同样不消耗电能，所以有功功率为零。但电源与电容器之间也存在有能量交换，用无功功率表示，其值为 QC=UI =I2 XCU2/XC(1-13)式中 QC一无功功率（乏）， U电压（伏特）， I电流（安培）， XC容抗（欧姆）。 4串联电路 图1-11所示为R、L、 C串联电路与矢量图。 (a) (b) （a）电路，（b）矢量图 图1-11 R, L, C串联电路

11、与矢量图 电路中各量之间的关系为 U =UR2 + (UL一Uc)2 (1-14)由于UR =IR； UL=IXL； Uc =IXc所以U =I R 2+(XL一Xc)2 = IZ (1-15)式中 U总电压（伏特）； UR、UL、Uc电阻、电感、电容上的电压（伏特）， R一一电阻（欧姆）， L电感（亨利）， C电容（法拉）， XL 、Xc感抗、容抗（欧姆）， ZR2 +(XL一Xc)2=R2+X2 一一阻抗（欧姆）；XL、Xc 电抗（欧姆）。 根据上式可得 I=U/Z (1-16) cos = UR/U =R/Z (1-17)或 tg =（UL Uc）/ UR =（XL Xc）/ R (1-

12、18)式中 电压与电流之间的相位差（度）。 有功功率P=I2R=UIcos （瓦） (1-19) 无功功率Q=I2X=UIsin （乏） (1-20) 视在功率S=I2Z=UI （伏安） (1-21)式中 cos功率因数（亦称“力率”）。5并联电路 图1 -12所示为一并联补偿电路。 设电压u2Usint为已知 则可求得第一条支路的电流 i1=2I2sin(t1) (a)电路，（b）矢量图 图1-12并联电路与矢量图式中I1 =U/（R2XL2） 1tg-1XL/R而第二条支路为纯电容电路，所以电流 i22I2Sin(t90°)式中I2U/XC 这样在矢量图上通过矢量运算，即可求出总

13、电流 i2 Isin(t)式中 I总电流有效值（安培）， 相位差（度）。6谐振电路 1。串联谐振电路（也叫电压谐振电路）。参看图1-11，当电路中XL=XC时，电路呈阻性状态，这时con= 1,电流I为最大值。串联谐振电路的固有频率和品质因数是其重要特证，计算公式为 fo1/（2LC） (1-22), Q2foL/R=1/（2fo CR） (1-23),式中 fo一谐振电路的固有频率（赫兹） L一电感（亨利）， C一电容（法拉）， R一电阻（欧姆）， Q品质因数。 2并联谐振电路（也叫电流谐振电路）。参看图1-12，当电路中U与I同相位，即COS=1时,电流I为最小值。 并联谐振条件应满足下式

14、： CL/（R2+XL2） （1-24） 式中 R一电阻（欧姆） L电感（亨利） C电容（法拉）， X L一感抗(欧姆)。 当参数R, ,L, C一定时，改变频率也能引起谐振。谐振频率f0满足下式 f0 =（1/LC一（R/L）2）/ 2 （125）四 单相电路的功率与功 单相电路的功率与功满足下述关系： PUIcos （1一26） Q= UI sin (1一27) S= （P2+Q2）=UI (1一28)W=Pt式中 P有功功率（瓦特）； Q无功功率（乏）；（注：法定计量单位中已统一为“瓦特”） S 视在功率（伏安）；（注：法定计量单位中已统一为“瓦特”） W功（焦尔，工程中常用“千瓦时”，

15、1千瓦时=3.6X106焦尔）U电压有效值（伏特）； I电流有效值（安培）； 电压与电流的相位差角（度）。 Cos 功率因素，有时亦称为“力率”。五三相交流电路的计算 1三相电源的联接三相电源有星形和三角形两种联接。 （1）星形联接。如图1-23所示，也叫Y接法。 （a）电路， （b）矢量图 图1-13三相电源的星形联接 由矢量图分析可知，如三相相电压是对称的，即 uA2UAsint u B2U B sin(t - 120°) u C2Uc sin(t120°)式中 UA=U B =Uc三相相电压（伏特）则三相线电压也是对称的，其瞬时值表达式为 u AB 2U AB sin

16、(t 30°) u BC 2U BC sin(t一120°30°) uCA 2U CA sin(t120°30°)式中 U AB = U BC = UCA 三相线电压（伏特） 这表明线电压在相位上比各对应的相电压引前30°；计算表明线电压在数值上是相电压的3倍，即 U线3U 相 （1-26）式中 U线 各线电压有效值（伏特）； U 相 一各相电压有效值（伏特）。 （2）三角形联接。如图1-24所示，也叫接法。 a）电路， （b）矢量图 图1-14三相电源的三角形联接 由矢量图分析可知，当三相电源为三角形联接时，线电压与相电压是相同的，

17、即 U线=U相 （1-27）2三相负载的联接 三相负载有星形和三角形两种联接。 （1）星形联接。如图1-15所示，也叫Y接法。 (a)电路， （b）矢量图 图1-25三相负载的星形联接 从矢量图分析可得：若三相电路是对称的，则三相线电流与相电流相等，并且是对称的，零线电流10=0，即： I线I 相 ; 10=0 (1-28) 若相负载阻抗Z=R2+ X2 （欧姆）式中R、X相负载的电阻、电抗（欧姆）。 则每相电压与电流之间的相位差为 tg-1（X / R）式中 相电压与相电流之间的相位差角（度）。 （2）三角形联接。如图1-26所示，也叫接法。 （a）电路， （b）矢量图 图1-16三相负载的三角形联接 从矢量图上可得 I线3 I相 （1-29）式中 I线线电流（安培）， I相一相电流（安培）。 而且线电流在相位上滞后相电流30°。 3. 三相电