理论力学(第七版)哈工大.高等教育出版社.教学课件

1、理论力学理论力学绪绪 论论一、理论力学的研究对象和内容一、理论力学的研究对象和内容理论力学理论力学 是研究物体机械运动一般规律的科学机械运动机械运动平衡平衡 指物体相对于地面保持静止或匀速直线运动的状态，平衡是机械运动的一种特殊形式。是指物体在空间的位置随时间的改变 理论力学研究内容理论力学研究内容: 静力学静力学研究物体的平衡规律，同时也研究力的一般性质及其合成法则。 运动学运动学研究物体运动的几何性质，而不考虑物体运动的原因。 动力学动力学研究物体的运动变化与其所受的力之间的关系。二、学习理论力学的目的1、解决工程实际问题2、为后续课打基础静静 力力 学学引引 言言 静力学静力学 是研究物

2、体在力系作用下的平衡条件的科学1、物体的受力分析：物体的受力分析：分析物体（包括物体系）受哪些力，每个力的作用位置和方向，并画出物体的受力图2、力系的等效替换（或简化）：力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系等效代替一个复杂力系3、建立各种力系的平衡条件：建立各种力系的平衡条件：研究作用在物体上的各种力系的平衡条件，并应用这些条件解决静力学实际问题 静力学解决的三个问题静力学解决的三个问题力力：物体间相互的机械作用，作用效果使物体的机械运动状态发生改变力的三要素：大小、方向、作用点.力是矢量力系力系：作用在物体上的一群力.可分为：平面汇交（共点）力系，平面平行力系，平面力偶系，平面任意力系；

3、空间汇交（共点）力系，空间平行力系，空间力偶系，空间任意力系平衡力系平衡力系：满足平衡条件的力系称为平衡力系。静力学几个基本概念：静力学几个基本概念：刚体：刚体：在力的作用下，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体.第一章第一章 静力学公理和物体的受力分析静力学公理和物体的受力分析1-1 1-1 静力学公理静力学公理 公理公理1 1 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图所示。公理公理2 2 二力平衡条件 使刚体平衡的充分必要条件21FF最简单力系的平衡条件亦可用力三角形求得

4、合力矢合力(大小与方向) (矢量的和)21FFFR作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。公理公理3 3 加减平衡力系原理推理推理1 力的可传性作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、方向和作用线 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。推理推理2 2 三力平衡汇交定理平衡时 必与 共线则三力必汇交O 点，且共面3F12F 作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且

5、第三个力的作用线通过汇交点。公理公理4 4 作用和反作用定律作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、反向、共线，作用在相互作用的两个物体上 若用F表示作用力，又用F表示反作用力，则 F= -F在画物体受力图时要注意此公理的应用公理公理5 5 刚化原理刚化原理柔性体（受拉力平衡）刚化为刚体（仍平衡）反之不一定成立，因对刚体平衡的充分必要条件，对变形体是必要的但非充分的刚体（受压平衡）柔性体（受压不能平衡） 变形体变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。约束约束：对非自由体的位移起限制作用的物体.约束力约束力：约束对非自由体的作用力约束力大小待定方向与该约

6、束所能阻碍的位移方向相反作用点接触处1-2 1-2 约束和约束力约束和约束力自由体自由体:位移不受限制的物体.非自由体非自由体:位移受到限制的物体. 主动力主动力：约束力以外的力.工程常见的约束1、具有光滑接触面（线、点）的约束（光滑接触约束）光滑支承接触对非自由体的约束力，作用在接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为法向约束力，用 表示NF2 、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束柔索只能受拉力，又称张力.用 表示TF柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力3 、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）（1） 径向轴承（向心轴承）

7、约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔为约束约束力约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接触为光滑接触约束法向约束力约束力作用在接触处，沿径向指向轴心当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小与方向均有改变可用二个通过轴心的正交分力 表示yxFF, （2）光滑圆柱铰链约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成，如剪刀光滑圆柱铰链约束ABAB约束力约束力：光滑圆柱铰链：亦为孔与轴的配合问题，与轴承一样，可用两个正交分力表示其中有作用反作用关系 cycycxcxFFFF,一般不必分析销钉受力，当要分析时，必须把销钉单独取出（3） 固定铰链支座约束特点：由上面构件1或2 之一与地面或机架固定而成

8、约束力：与圆柱铰链相同以上三种约束（经向轴承、光滑圆柱铰链、固定铰链支座）其约束特性相同，均为轴与孔的配合问题，都可称作光滑圆柱铰链固定铰链支座 返回首页4、其它类型约束（1）滚动支座约束特点：在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成约束力：约束力：构件受到光滑面的约束力滚动支座 返回首页(2) 球铰链约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心任意转动，但构件与球心不能有任何移动约束力：当忽略摩擦时，球与球座亦是光滑约束问题约束力通过接触点,并指向球心,是一个不能预先确定的空间力.可用三个正交分力表示（3）止推轴承约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制约束力：比径向轴

9、承多一个轴向的约束反力，亦有三个正交分力 AzAyAxFFF,（2）柔索约束张力TF球铰链空间三正交分力止推轴承空间三正交分力（4）滚动支座 光滑面NF（3）光滑铰链AxAyFF（1）光滑面约束法向约束力NF1-3 1-3 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图在受力图上应画出所有力，主动力和约束力（被动力）画受力图步骤：3、按约束性质画出所有约束（被动）力1、取所要研究物体为研究对象（隔离体）画出其简图2、画出所有主动力例1-1解解：1.画出简图2.画出主动力3.画出约束力碾子重为 ，拉力为 ， 、 处光滑接触，画出碾子的受力图FABP例1-2 解解：1.取屋架2.画出主动力3.画出约

10、束力画出简图屋架受均布风力 （N/m）， 屋架重为 ，画出屋架的受力图qP例1-3 解解：取 杆，其为二力构件，简称二力杆，其受力图如图(b)CD水平均质梁 重为 ，电动机重为 ，不计杆 的自重，画出杆 和梁 的受力图图(a)2PABCDCDAB1P二力构件二力构件（二力杆）: :只在两个力作用下平衡的构件称为二力构件。取 梁，其受力图如图 (c)AB若这样画，梁 的受力图又如何改动?AB 杆的受力图能否画为图（d）所示？CD例1-4 不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、右拱 的受力图与系统整体受力图CBAB,解解：右拱 为二力构件，其受力图如图（b）所示CB系统整体受力图如图（d）所示取左拱

11、,其受力图如图（c）所示AC考虑到左拱 三个力作用下平衡，也可按三力平衡汇交定理画出左拱 的受力图，如图（e）所示ACAC此时整体受力图如图（f）所示讨论：若左、右两拱都考虑自重，如何画出各受力图？如图（g） （h）（i）例1-5不计自重的梯子放在光滑水平地面上，画出梯子、梯子左右两部分与整个系统受力图图(a)解解：绳子受力图如图（b）所示梯子左边部分受力图如图（c）所示梯子右边部分受力图如图（d）所示整体受力图如图（e）所示提问：左右两部分梯子在A处，绳子对左右两部分梯子均有力作用，为什么在整体受力图没有画出？作业： 1-1 (a),(d),(e),(i),(j) 1-2（a),(d),(e

12、),(f),(h)第二章平面汇交力系与平面力偶系一.多个汇交力的合成力多边形规则2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法211FFFR31312iiRRRFFFFiniinRnRFFFFF11.31312iiRRRFFFF211FFFR力多边形力多边形平衡条件平衡条件0iF 二.平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭.已知：AC=CB，P=10kN,各杆自重不计；求：CD杆及铰链A的受力.解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图.用几何法，画封闭力三角形.按比例量得 kN4 .22,kN3 .28ACFF例2-1或一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解2

13、-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法FFxcosFFycos二.平面汇交力系合成的解析法因为 iRFFyxFFF由合矢量投影定理，得合力投影定理ixRxFFiyRyFF则，合力的大小为：22RyRxRFFF方向为： co s,ixRRFFiF作用点为力的汇交点.cos,iyRRFFjF三.平面汇交力系的平衡方程平衡条件0RF平衡方程0 xF0yF求：此力系的合力.解：用解析法N3 .12945cos45cos60cos30cos4321FFFFFFixRxN3 .11245sin45sin60sin30sin4321FFFFFFiyRyN3 .17122RyRxRFFF7548. 0cosRR

14、xFF6556. 0cosRRyFF01.49,99.40例2-2已知：图示平面共点力系；已知：求：系统平衡时，杆AB、BC受力.例2-3 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN；解：AB、BC杆为二力杆，取滑轮B（或点B），画受力图.用解析法，建图示坐标系0ixF030cos60cos21FFFBAPFF21060cos30cos21FFFBC 0iyF解得：kN32.27BCF解得：kN321.7BAF例2-4求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力.已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重；解：AB、BC杆为二力杆.取销钉B.用解析法0i

15、xF0coscosFFBCBA得BCBAFF2-3 平面力对点之矩的概念和计算一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离h称为力臂1.大小：力F与力臂的乘积2.方向：转动方向两个要素：hFFM0FrFM0 力对点之矩力对点之矩是是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为证，反之为负.常用单位Nm或kNm二、汇交力系的合力矩定理niRFFFFF21nRFrFrFrFr21即 iOROFMFMnRFFFF21平面汇交力系iRFMFM00三、力矩与合力矩的解析表达式 xyxOyOOFyFxFyFxFMFMFMcossini

16、xiiyiROFyFxFM iOROFMFMFxFy例2-5求: .FMO解: mN93.78cosrFhFFMO按合力矩定理mNrFFMFMFMrOtOO93.78cos,20mm60r已知:F=1400=1400N, , 直接按定义例2-6求：解：qlxqqlxqlxPl21d0由合力矩定理xqlxxxqhPlldd020 得lh32已知：q,l；合力及合力作用线位置.取微元如图2-4 平面力偶理论一.力偶和力偶矩1.力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶力偶，记作FF,两个要素a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩力偶矩ABCdFdFM2212力偶中两力所在

17、平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂2.力偶矩二. 力偶与力偶矩的性质1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.dFM FdxFxdFFMFMFFMOOO11111,FddFxFxdFFFMO 22,2力矩的符号 FMO力偶矩的符号 M3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变.=ABDABCABDdFFFMRRiR21，ABCFdFFMi2,=4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.=已知：;,21nMMM任选一段距离d11FdMdFM1122FdMdF

18、MnnnnFdMdFM22三.平面力偶系的合成和平衡条件= =nRFFFF21nRFFFF21=dFMRdFdFdFn21nMMM21iniiMMM1平面力偶系平衡的充要条件 M M = 0= 0，有如下平衡方程0iM 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.例2-7;200,20,10321mmmNmNlMMM求： 光滑螺柱AB所受水平力.已知： 0M0321MMMlFA解得N200321lMMMFFBA解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为例2-8 ：求：平衡时的 及铰链O，B处的约束力.2M解（1）取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.0M0sin1rFM

19、A解得 kN8AOFF;30,5 . 0,21rOAMmmkN已知（2）取杆BC，画受力图.0M0sin2MrFA解得 mkN82MkN8ABFF作业：书2-5，2-12，2-13第三章 平面任意力系平面任意力系实例1、力的平移定理FdFMMBB)(3-1 平面任意力系向作用面内一点简化可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩.2、平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩)(10111FMMFF)(20222FMMFF)(0nnnnFMMFFiiRFFF)(iOiOFMMM主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关i

20、RFF主矢)(iOOFMM主矩xixixRxFFFFyiyiyRyFFFF如何求出主矢、主矩?主矢大小22)()(iyixRFFF方向cos( , )ixRRFFiFcos( , )iyRRFFjF作用点作用于简化中心上主矩)(iOOFMM) 23 ()()(ixiiyiioOFyFxFMM) 13(),cos(),cos()()(22RyRRxRyxRFFjFFFiFFFF平面固定端约束=3、 平面任意力系的简化结果分析=ROFMddFMRoRRRFFF 其中)33()()(iOORoFMMFM合力矩定理若为O1点，如何?0RF0OM主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明0OM合力合力合力

21、合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心0RF合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心ROFM0OM0OM合力偶合力偶平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关例3-1已知：1450,P kN2200,P kN1300,F kN270;F kN求：合力作用线方程力系的合力合力与OA杆的交点到点O的距离x，RF解： （1）向O点简化， 求主矢和主矩0arctan16.7ABACBAC12cos232.9RxixFFFFkN12sin670.1RyiyFFPPF kN22709.4RixiyFFFkN方向余弦cos,0.3283ixRRFF iFc

22、os,0.9446iyRRFFjF 主矩 11231.53.92355ooMMFFPP kN m大小RF（2）、求合力及其作用线位置.2 3 5 53 .3 1 9 77 0 9 .4oRMdFm003.514cos 9070.84dx m（3）、求合力作用线方程ooRRyRxRyRxMMFx Fy Fx Fy F即2355670.1232.9xy有：607.1232.923550 xy平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零即 00oRMF3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF因为平面任意力系的平衡方程)43(000oyxM

23、FF 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.1、平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的三种形式一般式000AyxMFF二矩式000BAxMMF两个取矩点连线，不得与投影轴垂直BA,三矩式000CBAMMM三个取矩点，不得共线CBA,2、平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF平面平行力系的方程为两个，有两种形式00AyMF各力不得与投影轴垂直00BAMM两点连线不得与各力平行BA,例3-2（例21）已知：AC= =CB=

24、l, ,F= =10kN;kN;求：铰链A和DC杆受力.（用平面任意力系方法求解）解：取AB梁，画受力图. 0 xF 0yF0cos450AxcFF0sin450AycFFF0AM0cos4520cFlFl 解得kN10,kN20,kN28.28AyAxCFFFFF Fyx例3-3已知：110,P kN240,P kN尺寸如图；求： 轴承A、B处的约束力.解： 取起重机，画受力图. 0 xF 0yF0AM 0AxBFF120AyFPP125 1.53.50BFPP 解得50AyFkN31BF kN31AxFkNP1P2P1P2例3-4已知：, , ,;P q a Mpa求： 支座A、B处的约束

25、力.解：取AB梁，画受力图. 0 xF0AM 0yF0AxF解得0AmF4220BFaMPaqa a解得3142BFPqa20AyBFq a P F 解得342AyPFqayx例3-5 已知：20,M kN m100,P kN400,F kN20,q kNm1 ;l m求： 固定端A处约束力.解： 取T型刚架，画受力图.其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF01sin600AxFFF解得316.4AxFkN解得解得060cosFPFAy0360sin60cos1lFlFlFMMAkN300AyFmkN1188AM解： 取AB 梁，画受力图.解得17.33TF kN例 3-14已知：

26、14,P kN210,P kN尺寸如图；求：BC杆受力及铰链A A受力.0ixF 0cos300AxTFF0iyF012sin300AyTFPPF0AM021sin306430TFPP (1)5.33AyFkNFAx=15kNxy又可否列下面的方程？能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？21120cos3000sin30 6 43006320ixAxTATBAyFFFMFPPMFPP （2）2112120sin30 6 430063200340ATBAyCAxMFPPMFPPMFACPP （3）可否列下面的方程：作业 书3-2，3-4，3-6（b)3-3 物体系的平衡静定和超静定问题1.1.

27、静定和超静定问题静定和超静定问题在静力平衡问题中，若未知量的数目等于独立平衡方程的数目，则全部未知量都能由静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题。静定问题。如果未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则由静力平衡方程就不能求出全部未知量，这类问题称为超静定问题。2. 物体系统的平衡物体系统的平衡由多个处于平衡的物体组成的系统，称为物体系统的平衡物体系统的平衡例3-7已知： OA=R，AB= l,F不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡;求:力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力.解:取冲头B,画受力图. . 0iyF0cosBFF解得22cosRlFlFFB 0ixF

28、0sinBNFF解得22tanRlFRFFN取轮,画受力图. 0ixF0sinAoxFF解得22RlFRFox 0iyF0cosAoyFF解得解得FFoy 0oM0cosMRFA解得FRM 例3-8 已知:F F=20kN,q=10kN/m,20mkNML=1m;求:A,B处的约束力.解:取CD梁,画受力图. 0cM0230cos260sin00lFlqllFB解得 F FB B=45.77kN=45.77kN解得kN89.32AxF 0iyF030cos260sin00FqlFFBAy解得kN32. 2AyF 0AM0430cos360sin2200lFlFlqlMMBA解得kN37.10A

29、M取整体,画受力图. . 0ixF030sin60cos00FFFBAx例3-9已知:P1, P2, P=2P1,r, ,R=2r, ,;200求: 物C 匀速上升时，作用于轮I上的力偶矩M；轴承A，B处的约束力.解:取塔轮及重物C, ,画受力图. . 0BM0PrRF解得110PrPRF由020tanFFr解得1064. 320tanPFFr 0ixF0rBxFF164, 3PFBx解得 0iyF02FPPFBy解得132PFBy取轮I，画受力图. 0ixF 0iyF解得解得 0AM0rFM解得rPM1100YAxFF164. 3PFAx01PFFAy19PFAy例3-10已知:P=60kN

30、,P2= =10kN, ,P1= =20kN, ,风载F=10kN, ,尺寸如图;求:A,B处的约束力.解:取整体,画受力图. 0AM05246101221FPPPPFBy解得kN5 .77ByF 0iyF0221PPPFFByAy解得kN5 .72AyF取吊车梁,画受力图. 0DM024821PPFE解得kN5 .12EF取右边刚架,画受力图. 0CM04106EBxByFPFF解得kN5 .17BxF 0ixF0BxAxFFF解得kN5 . 7AxF对整体图例3-11已知:DC=CE=CA=CB= =2L, ,R=2r= =L, ,450P, ,各构件自重不计.求:A,E支座处约束力及BD

31、杆受力.解:取整体,画受力图. 0EM02522lPlFA解得PFA825 0ixF045cos0AExFF解得PFEx85 0iyF045sin0AEyFPF解得PFEy813取DCE杆,画受力图. . 0CM02245cos0lFlFlFExKDB解得PFDB823(拉)例3-12已知：P , a ,各杆重不计；求：B 铰处约束反力.解：取整体，画受力图0CM20ByFa解得0ByF取DEF杆，画受力图0DMsin4520EFaFa得sin452EFF0ixFcos450EDxFF得cos452DxEFFFBMo20DxFaFa得2DxFF0AM20BxDxFaFa得BxFF 取ADB杆，

32、画受力图作业 书 3-10，3-21 第四章第四章 空间力系空间力系cosyFFcoszFF直接投影法1 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影cosFFx41空间汇交力系空间汇交力系间接（二次）投影法sinxyFFsincosxFFsinsinyFFcoszFF2 2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件RxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFF合矢量（力）投影定理RiFF空间汇交力系的合力 合力的大小222()()()RxyzFFFF（41）空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程.0 xF 0y

33、F 0zF (4-2)0RF 该力系的合力等于零，即 由式（41）cos(, )xRRFF iF 方向余弦cos(, )yRRFFjFcos(, )zRRFF kF空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点过汇交点.空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.sinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF例4-1已知：已知：nF、求：力 在三个坐标轴上的投影.nF，例4-2已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；030求：杆受力及绳拉力解

34、：画受力图如图，列平衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA结果：kN54. 321 FFkN66. 8AF例4-3求：三根杆所受力.已知：P=1000N ,各杆重不计.解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。0 xF由045sin45sinOCOBFF0yF045cos45cos45cosOAOCOBFFF0zF 045sin PFOA解得 （压）N1414OAF（拉）N707OCOBFF1 1、 力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表

35、示 力矩矢力矩矢42 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩( )OM Fr F （43）(3)作用面：力矩作用面.(2)方向:转动方向(1）大小:力F与力臂的乘积三要素：三要素：力对点O的矩 在三个坐标轴上的投影为( )OMF( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF xyzFF iF jF krxiyjzk又()()()xyxzyxyFzF izFxF jxFyF k（44）( )()() ()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk则zyxFFFzyxkji（45） xyzoyFxFFM2.力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.( )

36、()zoxyxyM FM FF h（46）( )()()()yyxyyyzMFMFMFMF 3 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ， ，力 作用点的坐 标 x, y, zFxFyFzFFFF求：力 对 x, y, z轴的矩( )()()()xxxxyxzMFMFMFMFzyF yF z =0-Fy.z+Fz.y=xF z = =+0+0zF x - -= = （4-8）xzF z Fx ( )()()()zzxzyzzMFMFMFMF= -= -yF xxF y+ 0+ 0yxF x F y = = （4-9）

37、( )( )ozyxxMFyFzFMF ( )( )oxyyMFzFxFMF ( )( )oyzzzMFxFyFMF 比较（4-5）、（4-7）、（4-8）、（4-9）式可得即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩.co sxMFFla co syMFF l sinzMFFl 例例4-44-4已知：,alF求：,xyzMFMFMF解：把力 分解如图Fcos,sinFFFFzx43 空间力偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示, ,力偶矩矢力偶矩矢1212FFFF空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1） 大小：力与力偶臂的乘积；（3） 作用面：力偶作用面。 （2） 方

38、向：转动方向；BAMrF力偶矩矢 （410）BAr2 2、空间力偶等效定理、空间力偶等效定理 作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。则它们彼此等效。（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变力偶的性质力偶的性质(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 .（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.(5)力偶没有合力，力偶平

39、衡只能由力偶来平衡.力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF=iMM有M为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.RiFF如同右图,xixyiyzizMMMMMM称为空间力偶系的平衡方程.000 xyzMMM简写为 （411）0M 空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即 有0ixM0iyM0izM合力偶矩矢的大小和方向余弦MMixcosMMiycosMMizcos222iziyixMMMM例4-5, ,x y z,xyzMMM求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影

40、 .已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80Nm.解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A .mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizz求:轴承A,B处的约束力. .例4-6圆盘面O1垂直于z轴，已知：F1=3N，F2=5N， 构件自重不计.两盘面上作用有力偶，圆盘面O2垂直于x轴，AB =800mm,两圆盘半径均为200mm，解：取整体，受力图如图b所示.由力偶系平衡方程0 xM08004002AzFF0zM08004001AxFF解得N5 . 1BxAxFFN5 . 2BzA

41、zFF44 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢主矢和主矩和主矩1 1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化其中，各 ，各iiFF( )ioiMM F一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.称为空间力偶系的主矩()oioiMMMF( )( )( )oxyzMMF iMF jMF k称为力系的主矢空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有对 ， ， ,轴的矩。xyz( ),( ),( )xyzMFMFMF式中，分别表示各力空间汇交力系的合力kFjFiFFFziyixiiR有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF有效升力有效升力飞机上升

42、飞机上升RzF侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头ORMdF最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为2 2 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）ORMdF0,0,ROROFMFM当 时，1） 合力0,0ROFM 当 最后结果为一个合力.合力作用点过简化中心合力作用点过简化中心.()( )OROROMdFMFMF合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和.合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.（2）合力偶当 时，最后

43、结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。0,0ROFM （3）力螺旋当 时0,0,RORFMFOM力螺旋中心轴过简化中心当 成角 且 既不平行也不垂直时0,0,ROROFMF M,ROF M力螺旋中心轴距简化中心为sinORMdF（4）平衡当 时，空间力系为平衡力系0,0ROFM 45 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零.1. .空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM（412）空间平行力系的平衡方程000zxyFMM（413）空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的

44、投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.约束类型约束类型简图简图约束力约束力径向轴承蝶形铰链圆柱铰链球形铰推力轴承空间固定端2.2.空间约束类型举例空间约束类型举例例4-7已知： P=8kN,101kNP各尺寸如图求：A、B、C 处约束力解：研究对象：小车受力：受力：1,ABDP P F F F 列平衡方程0zF01DBAFFFPP 0FMx022 . 02 . 11DFPP 0FMy06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP结果：kNkNkN423. 4,777. 7,8 . 5ABDFFF3.3.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例例4-8已知

45、：,2000NF,212FF ,60,30各尺寸如图求：21,FF及A、B处约束力解：研究对象， 曲轴受力：12,AxAzBxBzF F F FFFF 列平衡方程 0 xF060sin30sin21BxAxFFFF 0yF00 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx040020020060cos20030cos21BxFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz040020060sin20030sin21BxFFF结果：,6000,300021NNFF,9397,10004N NAzAxFF,1799,3348NNBzBxFF例4-10已知： F、P及各尺寸求： 杆内力

46、解：研究对象，长方板受力图如图列平衡方程026PaaF 0ABMF 26PF 0AEMF 05F 0ACMF 04F 0EFMF 022216baabFPaaF01F 0FGMF 022bFPbFbPF5 . 12 0BCMF 045cos232bFPbbFPF22346 重重 心心1 1 计算重心坐标的公式计算重心坐标的公式对y轴用合力矩定理1122.CnniiP xP xP xP xP x有iiCPxxP对x轴用合力矩定理1122.CnniiP yP yPyPyP z 有iiCPyyP再对x轴用合力矩定理1122.CnniiP zP zPzPzP z iiCPzzP则计算重心坐标的公式为i

47、iCPzzPiiCPxxPiiCPyyP（414414）对均质物体，均质板状物体，有iiCAxxAiiCAyyAi iCAzzA称为重心或形心公式2 确定重心的悬挂法与称重法（1） 悬挂法图a中左右两部分的重量是否一定相等？（2） 称重法1CP xF l1CFxlP则有2CFxlP22211CFFzrlHPH 整理后，得若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？例4-12求：其重心坐标已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.则用虚线分割如图， 为三个小矩形，其面积与坐标分别为解:厚度方向重心坐标已确定， 只求重心的x,y坐标即可.mm151xmm451y21300mmAmm52xmm3

48、02y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm27321332211AAAyAyAyAAyAyiiC例4-13求：其重心坐标.12344(),033Rrbyyy 由iiCAyyA222123,() ,22AR Ar bAr而0,Cx由对称性，有小半圆（半径为 ）面积为 , ,rb2A小圆（半径为 ）面积为 ，为负值。r3A解：用负面积法，1A设大半圆面积为 ，为三部分组成，已知：等厚均质偏心块的mmmmmm13,17,100brR得mm01.40321332211AAAyAyAyAyC作业书4-11，4-19书4-6，

49、4-7第五章 摩 擦5-15-1滑动摩擦滑动摩擦0 xF0sTFFTsFF静滑动摩擦力的特点1 方向：沿接触处的公切线，2 大小：max0FFs3 NFfFsmax（库仑摩擦定律）与相对滑动趋势反向；2 大小：NFfFddsdff（对多数材料，通常情况下）动滑动摩擦的特点1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；1 摩擦角RAF全约束力物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象5-25-2摩擦角ftansfNFFmaxNNsFFf全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦系数摩擦锥（角）f02 自锁现象3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件

50、sfftantan斜面自锁条件f螺纹自锁条件f 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同几个新特点2 严格区分物体处于临界、非临界状态；3 因 ，问题的解有时在一个范围内maxFFs01 画受力图时，必须考虑摩擦力；考虑滑动摩擦时物体的平衡问题考虑滑动摩擦时物体的平衡问题5-35-3求： 物块是否静止，摩擦力的大小和方向030sin30cos, 0oosxFPFF030cos30sin, 0ooNyFPFF解：取物块，设物块平衡已知：,N1500P,2 . 0sf,18. 0df：N400F例5-1N1499NF物块处于非静止状态,N8 .269NddFfF向上NsFfFmaxN8

51、.299而解得：N6 .403sF(向上)推力为 ， 解：使物块有上滑趋势时，1F已知：.,sfP水平推力 的大小求： 使物块静止，F例5-2画物块受力图,0 xF0sincos11sFPF(1),0yF0cossin11NFPF(2)11NsSFfF(3)解得：PffFsssincoscossin1设物块有下滑趋势时，推力为，2F画物块受力图：PffFsssincoscossin2, 0 xF0sincos22sFPF(1), 0yF0cossin22NFPF(2)22NssFfF(3)为使物块静止12sincoscossinsincoscossinFPffFPffFssss若.,0tgPF

52、fs解: 物块有向上滑动趋势时，用几何法求解上例.)tan(1 PF物块有向下滑动趋势时，12)tan()tan(FPFPF利用三角公式与,tansf得sincoscossinsincoscossinssssffPFffP)tan(2 PF求：推杆不被卡住之 值.a,sfdb已知：不计凸轮与推杆处摩擦，不计推杆质量；例5-3解得：sfba20AM0)2(bFdFdaFBNBBNsBANsAFfFFfF解：取推杆，设推杆处于刚好卡住位置.0 xF0BNANFF0yF0FFFBA则：推杆不被卡住时，sfba2.解：tan)2(tan)2(dadab极限极限tan2极限asfa极限2sfba2极限s

53、fba2用几何法求解上例求： 制动鼓轮所需铅直力F.已知：物块重 P, 鼓轮重心位于 处，1O闸杆重量不计，,sf各尺寸如图所示：例5-4解：分别取闸杆与鼓轮设鼓轮被制动处于平衡状态对鼓轮，01OM0sTRFrF对闸杆，0OM0cFbFFasN且NssFfF而ssTFFPF,解得RafcfbrFss)( （2）能保持木箱平衡的最大拉力.（1）当D处为拉力 时，木箱是否平衡?求：Nk1F已知：均质木箱重,kN5P,4 . 0sf,m22 ah；o30例5-5解：（1）取木箱，设其处于平衡状态.0 xF0cosFFs0yF0sinFPFN0AM02cosdFaPhFN解得N866sFN4500NF

54、m171. 0d而N1800maxNsFfF因,maxFFs木箱不会滑动；又,0d木箱无翻倒趋势.木箱平衡（2）设木箱将要滑动时拉力为1F0 xF0cos1FFs0yF0sin1FPFN又NssFfFFmax解得N1876sincos1ssffF设木箱有翻动趋势时拉力为2F0AM02cos2aPhF解得N1443cos22hPaF能保持木箱平衡的最大拉力为N1443* 对此题，先解答完（2），自然有（1）.求：作用于鼓轮上的制动力矩.已知：,N200F,5 . 0sf,m5 . 022121RLOKLAODCKDOO,m75. 01BO,m11DOAC,m25. 0ED各构件自重不计；例5-1

55、0对图)a (01OM011BOFAOFACN300ACF得0DM0cosCDFDEFCAEKN600cosEKF得0 xF0cosEKxDFFN600 xDF得（a）对图)b(b) 对图对图) c (01OM021121DOFDOFNxDN12002NF得得对图)d(02OM021212KOFKOFNKEN12001NF得22NssFfF11NssFfF 解得mN300MRFRFMssO12对图) e (c)(d)(e)sf（抽屉与两壁间），不计抽屉底部摩擦；已知： 抽屉尺寸 ，ba,例5-11求： 抽拉抽屉不被卡住之e e值。解： 取抽屉，设抽屉刚好被卡住0 xF0NCNAFF0yF0FF

56、FsCsA0AM0)2(ebFaFbFNCsCNAssAFfF又NCssCFfF联立解得sfae2则抽屉不被卡住， .sfae2求：保持系统平衡的力偶矩保持系统平衡的力偶矩 . .CM设 时，系统即将逆时针方向转动，1CCMM解：画两杆受力图.已知：,mN40AM,3 . 0sf各构件自重不计，尺寸如图；例5-12(a)(b)对图 ，)(b0CM060cos60sino1o11 lFlFMsNC0AM01ANMABF对图 ，)(a又1111NsNsssFfFfFF设 时，系统有顺时针方向转动趋势，2CCMM画两杆受力图.02ANMABF0AM对图 ，)c(c)解得mNMC39.701又2222

57、NsNsssFfFfFF解得mN61.492CM系统平衡时，mN39.70mN61.49CM0CM060cos60sino2o22lFlFMsNC对图 ，)d(d)求：使系统保持平衡的力 的值.F不计自重的 块间的已知：其它接触处光滑；力 角 ，PBA,静摩擦系数为 ，sf例5-13解： 取整体0yF0 PFNAPFNA楔块 向右运动，A设力 小于 时，1FF)tan()tan(1PFFNA取楔块 ，A或用三角公式，注意 ，sftan有sincoscossinsincoscossinssssffPFffP)tan()tan(2PFFNA则21FFF)tan()tan(PFP设力 大于 时，2F

58、F楔块 向左运动，A取楔块 ，A第六章第六章点的运动学点的运动学6-1 6-1 矢量法矢量法 rr t运动方程单位单位m/s速度（定义）ddrvrt加速度（定义）单位2/m s22ddddvravrtt矢端曲线 速度速度矢径矢端曲线切线矢径矢端曲线切线 加速度加速度速度矢端曲线切线速度矢端曲线切线直角坐标与矢径坐标之间的关系直角坐标与矢径坐标之间的关系 ( )( )rx t iy tjz t k运动方程运动方程( )( )( )xx tyy tzz t6-2 6-2 直角坐标法直角坐标法ddxxvtddyyvtddzzvtddddddddxyzrxyzvijkv iv jv ktttt速度22

59、yyvyattdddd22zzvzattdddd22xxvxattdddd加速度加速度ddddddddyxzxyzvvvvaijka ia ja ktttt例例6-1 椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄OC 可绕定轴可绕定轴O 转动，其转动，其端点端点C 与规尺与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。两端分别在相互垂直的滑槽中运动。,OCACBCl MCat：已已知知求：求： M 点的运动方程点的运动方程 轨迹轨迹 速度速度 加速度加速度解：点解：点M作曲线运动，取坐标系作曲线运动，取坐标系xoy运动方程运动方程talCMOCxcos)(c

60、os)(talAMysin)(sin消去消去t t, , 得轨迹得轨迹1)(2222alyalx）taMClBCACOC,求：x=x(t)， y=y(t)。已知：已知：速度速度talxvxsin talyvycos)( 22()sincos( , )2cos2xvlatv ivlaalt 22()coscos( , )2cos2yvlatv jvlaalt2222222222()sin()cos2 cos2xyvvvl atl atlaalt taMClBCACOC,求：x=x(t)， y=y(t)。已知：已知：加速度加速度talxvaxxcos2 talyvayysin2 taltalaaa