卷积积分的运算

1、第2章 连续时间系统的时域分析2.5 卷积积分的运算和图解卷积积分的运算和图解dthxthtxty)()()()()()()()()( ththhht平移翻转1）将）将x(t)和和h(t)中的自变量由中的自变量由t改为改为 ， 成为函数的自成为函数的自变量；变量；2）把其中一个信号翻转、平移；）把其中一个信号翻转、平移；3）将）将x( ) 与与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。相乘；对乘积后的图形积分。第2章 连续时间系统的时域分析)(tft)(tht)(h)()(thft)()(),()()()()(tuethtutfthtftyt已知：，计算系统的零状态响应)(f)(h01)(*)(0)

2、(tedethtfttt例例6 6第2章 连续时间系统的时域分析1.0t重合面积为零重合面积为零:10. 2 tifa0t-21dtffff)()(2121*0a1f1(t)tdtffff)()(2121计算:例7f2(t)t02ba1tt-20t10t-20 t-2 1t10)(1tatf202)(2ttbtf0)()(21tftf第2章 连续时间系统的时域分析tttabdtba020)(4)(224tab21. 3 tifa1tt-20t10t-21021021)(4)(2tabdtbaff)12(4tab32. 4 tif0 t-21tdtbafft)(21221)23(4)(42122

3、1ttabtabt03. 521fftif第2章 连续时间系统的时域分析2.6 卷积积分的性质卷积积分的性质1、卷积的代数运算：、卷积的代数运算：A、交换律：交换律：)()()()()()()()()(1221txththtxtytxtxtxtxB、结合律：结合律：)()()()()()(321321txtxtxtxtxtx对于级联系统：对于级联系统：)()()()()()()()()()()()(122121thtxththtxththtxththtxty)(tx)(1th)(ty)(2th第2章 连续时间系统的时域分析结论结论:(1）级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位）级联系统的单位冲

4、激响应等于各子系统单位冲激响应的卷积冲激响应的卷积（2）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。C、分配律：分配律：)()()()()()()(3121321txtxtxtxtxtxtx对于并联系统：对于并联系统：)()()()()()()()()()(2121thtxththtxthtxthtxty)(tx)(1th)(ty)(2th第2章 连续时间系统的时域分析结论结论:并联系统的单位冲激响应等于各子系统单并联系统的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应的和位冲激响应的和2、卷积的微积分性质、卷积的微积分性质对于任意函数对于任意函数x(t

5、)，用表示其一阶导数，用用表示其一阶导数，用表示其表示其n阶导数，用表示其一次积分，用阶导数，用表示其一次积分，用表示其表示其m次积分次积分)()1(tx)()(txn)()1(tx)()(txmA、微分性质：若微分性质：若)()()(21txtxtx)()()()()()1(212)1(1)1(txtxtxtxtx推广到一般：推广到一般：)()()()()()(212)(1)(txtxtxtxtxnnnB、积分性质：若积分性质：若)()()(21txtxtx)()()()()()1(212)1(1)1(txtxtxtxtx)()()()()()(212)(1)(txtxtxtxtxnnn推广

6、到一般：推广到一般：第2章 连续时间系统的时域分析推广到一般：推广到一般：C、微积分性质：若微积分性质：若)()()(21txtxtx)()()()()()1(2)1(1)1(2)1(1txtxtxtxtx)()()()()()(2)(1)(2)(1txtxtxtxtxmmmm运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化3、任意函数与冲激函数的卷积：、任意函数与冲激函数的卷积：)()()(txttx)()()(00ttxtttx)()()(1010tttxttttx4、经验公式：、经验公式：10)()()()(211201tttttxtxttxt

7、tx第2章 连续时间系统的时域分析*计算卷积的方法计算卷积的方法1.用图解法计算卷积用图解法计算卷积2.利用性质计算卷积利用性质计算卷积3.用函数式计算卷积用函数式计算卷积4.数值解法数值解法分段时限分段时限卷积积分限卷积积分限第2章 连续时间系统的时域分析例例8：已知和的波形如图所示，试求已知和的波形如图所示，试求)()(21txtx)(1tx)(2tx1.图解法：图解法：t0 0)(1tx1 11 1t0 0)(2tx1 11 12 2 0 0)(1 x1 1- -1 1第2章 连续时间系统的时域分析其它03229321)2(21323)2(1021)()(22121112021tttdt

8、ttddttdtxtxtttt 0 0)(1 tx1 11 12 210 t 0 0)(1 tx1 11 12 221 t 0 0)(1 tx1 11 12 221 t3 3tt1t1t第2章 连续时间系统的时域分析总结：两有限长函数卷积的定义域（总结：两有限长函数卷积的定义域（l1,ml) (l2,m2),21(),12(),21(),21( ,mmmlmlll2.将两函数的时限值两两相加将两函数的时限值两两相加,得出定义域得出定义域 1+4=5; 1+5=6; 3+4=7; 3+5=85678005453t14t3.确定积分限确定积分限f(t)h(t)452113h(t- )1-1-34f

9、( )14f( )1t应用第2章 连续时间系统的时域分析2.利用微积分性质利用微积分性质)()()()()2(2)2(121txtxtxtx) 1()()(1tututx) 1() 1()()()1(1tutttutx) 1() 1(21)(21)(22)2(1tuttuttx)2() 1()2()1()()(2tututtututtxt0 0)(1tx1 11 1t0 0)(2tx1 11 12 2第2章 连续时间系统的时域分析) 3() 3(21) 2() 2(23) 1() 1(23)(21)2() 1(2)()1() 1(21)(21)()()()(222222) 2(2) 2(121

10、tuttuttuttutttttuttuttxtxtxtx)2() 1(2)()()1(2tutututx)2()1(2)()()2(2 ttttx 第2章 连续时间系统的时域分析)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(00thtxdthxtythtxdthxtythtxdthxtythtxdthxtytt和有始的和有始的一般的和一般的有始的和一般的3.利用函数式计算卷积利用函数式计算卷积, 常见四种形式的积分限：常见四种形式的积分限：)(tu)(tu第2章 连续时间系统的时域分析例例10：已知和的波形如下图所示，试求已知和的波形如下图所示，试求)(0t

11、x)(tT)()()(0ttxtxT解：利用卷积的性质：解：利用卷积的性质：)()()()()()()()(0000mTtxmTttxmTttxttxtxmmmT t)(tT T0 0. . . . . . .t0 0)(0tx 单位冲激串单位冲激串第2章 连续时间系统的时域分析t0 0)(tx Tt0 0)(tx Tt0 0)(tx T)()(0mTtxtxm第2章 连续时间系统的时域分析思考：下列卷积，选用什么方法最好？思考：下列卷积，选用什么方法最好？)()(. 1tuttu)()(. 2tuetueatat)4()()(sin. 3tututtu) 1()(. 43tutuet作业：作

12、业：P70P732.5(a),(d),(f),(g)； 2.12；2.21第2章 连续时间系统的时域分析?) 1() 1(tutu思考：思考：)2()2() 1() 1(tuttutu经验公式：经验公式：10)()()()(211201tttttxtxttxttx第2章 连续时间系统的时域分析2.7奇异函数的卷积奇异函数的卷积)(t单位冲激函数：单位冲激函数：)()()(txttx)()0()()(txttx单位冲激偶：单位冲激偶：)(t)()()(txttx)()0()()0()()(txtxttxtdxtutx)()()(相当于微分运算相当于微分运算相当于积分运算相当于积分运算)()()(

13、)()(txttxkk)()()()()(txttxkk相当于相当于k个微分器级联个微分器级联相当于相当于k个积分器级联个积分器级联比较比较比较比较第2章 连续时间系统的时域分析 )()()()()(ttttk)()!1()()()()(1)(tukttutututkk 2.8卷积积分的数值解（自学）卷积积分的数值解（自学）)(tx)(t)()()(txtyk)(t)(t )(tx)(tu)()()(txtyk)(tu)(tu 第2章 连续时间系统的时域分析2.9连续时间系统的模拟连续时间系统的模拟用模拟图来表示用模拟图来表示LTI连续时间系统，常用单元如下连续时间系统，常用单元如下3.标量乘

14、法器（数乘器，比例器）标量乘法器（数乘器，比例器） te traa)()(taetr 2.乘法器乘法器 tetetr21 1.加法器加法器 tetetr21 te1 te2 tr 注意注意: : 与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。 te1 te2 tr te1 te2 tr第2章 连续时间系统的时域分析4.微分器微分器 te tr dd ttetrd)(d tttetrd)()(5.积分器积分器 te tr 6.延时器延时器 te tr te trT tetr Ttetr 第2章 连续时间系统的时域分析例例10：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的：试

15、用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统系统)()()()()()(012012txbtxbtxbtyatyatya )()()()()()(010122tyatyatxbtxbtxbtya )()()()()(1)(010122tyatyatxbtxbtxbaty )()()()()(1)()2(0)1(1)2(0)1(122tyatyatxbtxbtxbaty 根据该式，可直接画出系统模拟图根据该式，可直接画出系统模拟图第2章 连续时间系统的时域分析)()()()()(1)()2(0)1(1)2(0)1(122tyatyatxbtxbtxbaty 2b1b0b0a 21a1a )(tx)(ty 直接I型2b1b0b0a 21a1a )(tx)(ty 直接II型2b1b0b0a 21a1a )(tx)(ty 正准型第2章 连续时间系统的时域分析例例11：画出下列系统的模拟图：画出下列系统的模拟图)()(3)(3)(5)(txtxtytyty 例：引入辅助函数例：引入辅助函数q(t)()(3)(5)(txtqtqtq )()(3)(tqtqty )(3)(5)()(tqtqtxtq 利用微分特性法利用微分特性法第2章 连续时间系统的时域分析例例12：根据系统的模拟图写出其微分