2014届高三数学精品复习15椭圆及其性质

1、-1 -2014届高三数学精品复习之椭圆及其性质=1 表示椭圆=m0,n0,且m丰n；a2是m,n中之较大者，焦点的_ 4 . pm 1_ c=4-m, e=，得m=3；(ii)m4,则b2=4,a2=m, c =m-4,2 2新椭圆的焦准距为16,原来椭圆的焦准距也为16，于是有:位置也取决于n的大小。举例椭圆2=1 的离心率为丄，则m=2解析：方程中4 和m哪个大哪个就是a2，因此要讨论；(i)若 0m4,则a2= 4, b2二m,21.方程mm巩固若方1，得m二16；综上：2x2+ay2=a2表示长轴C.4 个D.无数个2x2椭圆a2yr=1关于 x 轴、y 轴、原点对称；P(x,y)是

2、椭圆上一点，贝 U |x|wa,|y|wb,a-c 0,b0)的左焦点为 F,右顶点为 A 上顶点为 B,若b2BF 丄 BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 解析：|AB|2=a2+b2, |BF|=a, |FA|=a+c，在 Rt ABF 中,O2 2 2 2(a+c) =a+b+a化简得：c2+ac-a2=0,等式两边同除以a2得：e2，e-15 _ 1=0，解得：e=：注：关于a,b,c的齐次方程是“孕育”离心率的温床。2 2举例 2已知椭圆 务 =1(a0,b0)的离心率为a b5若将这个椭圆按逆时针方向旋转一后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为2y=16，则原来椭

3、圆的方程是3解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x 轴上，直线y=16为新椭圆的上准线，故3-2 -33-3 -C=3，由解得：a=5,b=3。a 5巩固 1 一椭圆的四个顶点为 Ai, A2, Bi, B2,以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭 圆的离心率为_。巩固 2在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为(A)、2J2(B)(C)1(D)222422迁移椭圆xy- 1上有 n个不同的点 P1, P2, P3,- , Pn,椭圆的右焦点F,数列| RF|43疋公差大于1的等差数列，则n 的最大值为( )100A. 198B.199

4、 C .200D. 2013.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。举例 1已知OQ (x-1)2+y2=16,动OM 过定点 P(-1,0)且与OQ 相切，则 M 点的轨迹方程是:解析：P(-1,0)在OQ 内，故OM 与OQ 内切，记：M(x,y) ,OM 的半径是为 r，则：|MQ|=4-r，又OM 过点 P,. |MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即 |MQ|+|MP|=4，可见 M 点的轨迹是以 P、Q 为焦点(c=1)的椭圆，a=2。举例 2若动点 P (x,y )满足|x+2y-3|=5. (x -1)2(y 2)2，则 P 点的轨迹是：A.圆 B 、椭圆 C 、双

5、曲线 D 、抛物线解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现 xy 项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的5倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以. 5，于是有：x2y一3|5 (x-1)2(y 2)2,这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了,巩固 1已知圆C : (x 1)2y25及点A(1,0),Q为圆上一点，AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M则点 M 的轨迹方程为_._只需将方程再变形为:(x-1)2(y 2)2|x

6、2y-3|即动点P (x,y )到定点 A ( 1, 2)与到定直线 x+2y-3=0 的距离之比为其轨迹为椭圆。-4 -巩固 2设 x、y R,在直角坐标平面内，a=(x,y+2),b=(x,y-2),且|a|+|b|=8，则点M(x,y)的轨迹方程为_ 。提高已知 A(0，7)，B(0, -7)，C( 12，2)，以 C 为一个焦点作过AB 的椭圆，则椭圆的另 一焦点的轨迹方程为 _。迁移P 为直线 x-y+2=0 上任一点，一椭圆的两焦点为Fi(-1，0)、F2( 1，0)，则椭圆过 P 点且长轴最短时的方程为 _ 。4研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦

7、半径公式。2 2举例 1如图把椭圆 乙=1 的长轴 AB 分成 8 分，过2516每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P,F2,P7七个点，F 是椭圆的一个焦点，贝 URF|+|RF + F7F =_解析：P1与 P7，P2与 P6, P3与 F5关于 y 轴对称，P4在 y 轴上，记椭圆的另一个焦点为F，则 |P7F|=|P1FZ|，|P6F|=|P2匸匸| |，|P5F|=|P3匸匸| |，于是RF +|P2F|+F7F=|P1F|+|P1F，|+|P2F|+|P2F|+|P3F|+|P3F|+|P4F|=7a=35.83| AF2| - | BF2| a,AB 的中点到椭圆左准线距

8、离为，则椭圆的方程.528Q12解析：| AF2|BF2-2|AF1| 2|BF1|=8a二| AF| BF1|=a，555记 AB 的中点为 M , A、B M 在椭圆左准线上的射影分 别为A、Bi，M，由椭圆第二定义知:124|AF1|=e|AA1|，|BF1|=e|BB1|，于是有：e (|AA1|+|BB1| ) = a，而 e=53/ |AA1|+|BB1|=3a 二 2|MM|=3a，又 |MM|=，得 a=1，故椭圆方程为2巩固 1椭圆的两焦点为 F1, F2，以 F1F2为一边的正三角形的 另两条边均被椭圆平分，则椭圆的 离心率为_ 。巩固 2已知R、F2是椭圆5x29y2=4

9、5的左右焦点，点P是此椭圆上的一个动点，A(1,1)为一个定点，贝 VPA + PF1的最大值为 _ ，PA +3|PF2的最小值为 _。2提高过椭圆左焦点 F 且斜率为.、3的直线交椭圆于AB 两点，若|FA|=2|FB| ，则椭圆的离 心率 e=5研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形(焦点三角形)问题时，常用椭圆定义及正、余弦定 理。举例 2已知 A、B 是椭圆2x2a25y2=1 上的两点，F2是椭圆的右焦点，如果x2唾=1。9-5 -2 2举例已知焦点在X轴上的椭圆 乞_yT=1,(b .0),FI,F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点4bP,使得PF；PF/=0，则b的取值范围是 _。解

10、析：思路一：先证一个结论：若B 为椭圆短轴端点，则/ FIPF90,即cos / FiBOcbwa=、.2,.b (0, 2.思路二：用勾股定理：ri+ +2=2a 2 2ri2+r22=4c2,由得：2rir2=4b2,又 2riwri2+r22/. b2wc2=4-b2即 b (0,.2.思路二：用向量的坐标运算：记P(x0,y0),PF-I=(-c-x0,-y0),PF2=(c-x0,-y0),22222222222PF；PF2=c-X0+y0=0：= (b +4)x0=4(c -b ),注意到：0wx。w4,A0w4(c -b )w4(b +4)即 0w4-2 bwb +4,得 b (

11、0,2 .22巩固 1椭圆y1的焦点为Fi、F2，点 P 为其上的动点，当F-PF2为钝角时，点 P94横坐标的取值范围是_Ox2y2巩固 2已知 P 是椭圆 +=1上一点，Fi和 F2是焦点，若/ FiPR=30。，则 PFF2的面54积为()4 3-A.B. 4(2 - ,3)C. 4(2.一3) D.436椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。2 2举例若动点(x, y)在曲线x弓弓=1(b0)上变化，则x22y的最大值为()4 b

12、2|PFi|=ri, |PF2匕2叩22|=r2,cos*i22心22)2-212-力2_右-力2-12申22叩2又riaw(j2=a22a2a24C22a2=cos / FiBFa,当且仅当ri=r2时等号成立,4-6 -A.2b(0 : b :：: 4),(b一4)，-2b_4B.42b(0 - b 2),(b-2)C.b2解析：本题可以直接借助于椭圆方程把D. 2b2X 用 y 表示，从而得到一个关于y 的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记22x=2cos j ,y=bsin ,x 2y=4cos +2bsin v=f( v),f(.2.71 )=-4sin +2bsinT1+4=-4(sinr_b)2+b4, sin44二 -1,1若 0bw1= 01 =44b4,则当 sin v =1时 f（二）取