2019平的微积分第一章15极限存在准则与两个重要极限ppt课件

1、第五节第五节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限v极限存在准则极限存在准则v两个重要极限两个重要极限v小结小结 基本要求：基本要求：1. 理解极限存在的夹逼准则理解极限存在的夹逼准则.2. 了解单调有界收敛准则了解单调有界收敛准则. 3. 会用两个重要极限去求其它极限会用两个重要极限去求其它极限.要记住两个重要极限的各种形式要记住两个重要极限的各种形式,并能熟练应用并能熟练应用.一、夹逼准则一、夹逼准则1、关于数列收敛的夹逼准则、关于数列收敛的夹逼准则满足下列条件：满足下列条件：若数列若数列 111)( ,)( ,)(nnnnnnzyx),3 , 2 , 1()1( nzxyn

2、nn,lim,lim)2(azaynnnn .lim,)(1axxnnnn 且且的的极极限限存存在在则则数数列列注意注意 用夹逼准则求极限用夹逼准则求极限, , 关键是构造出关键是构造出 ynyn与与 zn , zn , 并且并且 ynyn与与 zn zn 的极限相同且容易求的极限相同且容易求 . . 例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼得准则由夹逼得准则. 1)12111(lim222 nnnnn例例2 2.321lim)1(nnnnn 求

3、求.lim,)2(321321nnnnnaaaaaa 为为正正实实数数，求求设设,maxlim321321aaaaaannnnn )()()(xhxfxg AxhAxgxx )(lim,)(lim)2(.)(lim,)(limAxfxfxx 且且存存在在则则有有时时或或当当。,)|(),()1(0MxrxUx 2 2、关于函数收敛的夹逼准则：、关于函数收敛的夹逼准则：( ), ( ), ( ) f x g x h x设设函函数数满满足足如如下下条条件件：上述数列夹逼准则可以推广到函数极限上述数列夹逼准则可以推广到函数极限例例3 3 证明重要极限证明重要极限1sinlim0 xxx. )20(

4、xxAOB设设单单位位圆圆圆圆心心角角证明证明,AAOD过点作单位圆的切线 得,BBCOA过点作垂线xsin0 即即x ,tan x ,sin11tan1xxx 即即, 1sincos xxx.,02上上式式也也成成立立时时当当 x , 1sincos,2|0 xxxx有有时时当当 , 1coslim0 xx, 11lim0 x. 1sinlim0 xxxOBAx1DCAOBAODAOBSSS扇形则有例例4 40:limsin0 xx用夹逼准则证明重要极限重要极限(一一)1sinlim0 xxx01lim sin0,sinlim0 xxxxxx注意区别：0tanlimxxx例 求1201 co

5、slim.xxx 求例400( )( )sinlim1(lim( )0)xxxxxxx广中 推： 其0sin3limsin5xxx 求例31lim sin1xxx注意：0arcsinlimxxx例2 求二、单调有界收敛准则二、单调有界收敛准则若数列若数列xnxn满足：满足：x1 x2 xn , 就就称为递增数列称为递增数列.x1 x2 xn , 就就称为递减数列称为递减数列.单调数列单调数列单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限.假设假设 xn 单调增加且有上界单调增加且有上界 M, 那么那么 xn 必有必有极限极限且有且有 .Mxnn lim假设假设 x

6、n 单调减少且有下界单调减少且有下界 m, 那么那么 xn 必有必有极限极限且有且有 .mxnn lim例例1 121111,(1,2,) ,22(1).(2)lim.nnnnnxxxnxx设求证： 数列单调递增且有上界求注意注意 在取极限前应该先证明数列在取极限前应该先证明数列 xn 有极限有极限.这时常用的一个方法是先证明数列这时常用的一个方法是先证明数列 xn 单调有界单调有界.例例2 2.lim,lim,3,3,31121nnnnnnxxxxxxx 并求并求存在存在证明证明设设证证33312 xx3 ,1x ,1kkxx 假假定定11233 kkkkxxxx则则有有 .是是单单调调递递

7、增增的的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 31则则有有33 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,limAxnn 设设,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx 两两边边取取极极限限得得,32AA 即即2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx例例3 3.lim,10,22,2 11nnnnnxcxcxcxx 求求其中其中为：为：设数列设数列解法一解法一先证明数列先证明数列xn单调有界单调有界.再两边同时取极限解出极限值再两边同时取极限解出极限值.解法二解法二,212cxnnn cxnnnnn212lim

8、lim .c 练习练习.lim)2(.)1(, ), 2 , 1()(21,0,011nnnnnnxxnxaxxxa 求求单调减少且有下界单调减少且有下界数列数列求证：求证：设设例例4 4 重要极限重要极限exxx )11(lim定义定义.)11(limennn )()(xgxf形如形如 的函数的函数(f(x), g(x )是初等函数是初等函数),其中其中f(x)0且且 f(x )1,称之为幂指函数称之为幂指函数.说明说明: 此极限也可写为此极限也可写为 exxx 10)1(limexxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnn

9、n).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而,

10、 e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim重要极限重要极限exxx )11(lim,)11(limexxx .)11(limexxx )(lim( )(11lim00)( xexxxxxx 其其中中可推广为可推广为)0)(lim( .)(1 lim00)(1 xexxxxxx 其其中中ex

11、xx 10)1(lim例5求 下列极限：.)11(lim)1(xxx .)21(lim)2(xxx .)tan31(lim)4(2cot20 xxx .)31(lim)3(10 xxx .)23(lim)5(2xxxx 0ln(1)(6) limxxxlimx例例6. 求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某某过过程程.)1(lim21

12、0e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10