基于“核心素养”的数学解题研究(林新建)

1、基于“核心素养”的数学解题研究漳州一中 林新建一.高中数学核心素养的具体内容 博士生导师王尚志教授作了“关于普通高中数学课程标准修订”的专题报告，提出中国学生在数学学习中应培养好“数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析”这六大核心素养。 1.数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。 主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程

2、中。2.逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。 主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。3. 数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。 主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用

3、的重要形式。 数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。4. 直观想象 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。 主要包括： 借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。5. 数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。 主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选

4、择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。 数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。 数学运算是计算机解决问题的基础。6. 数据分析 数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程。 主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论。 数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面。 在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积累依托数据探索事物本质、关联和规律

5、的活动经验。 二.数学思想是数学素养的核心内容 数学课程标准在修订的过程中，继承了我国数学教学中传统的“双基”教学，同时提出了“基本思想、基本活动经验”，使“双基”上升为“四基”。 这样突出了培养学生的创新精神和实践能力，强调了数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。 数学思想是解决数学问题的指导思想和重要策略，是体现学生数学素养、数学学习的灵魂。 数学课程标准指出： “学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想，获得基本的数学活动经验”。 在教学中，我们可以窥见数学思想是伴随在数学知识学习、数学思

6、维活动之中的，数学思想方法、数学基本知识转化为数学能力是数学素养的核心体现。 培养学生的创新精神和实践能力，最终转化为创造能力，永远是我们的教学追求。三.立意于思想，运用思想引领解题是培养核心素养的关键要素 知识是载体，方法是手段，思想是灵魂，它们是知识体系的三个层次。 在强调对数学活动的指导时称数学思想。 在强调具体操作（如推理、解题和建模等）时则称数学方法。 严格来说，数学方法是数学思想的具体化。 为什么有许多人解决不了一些并不复杂甚至是简单的数学问题呢？ 除了极少数的人不知道相应的数学知识外，绝大部分不是不会方法。 而是由于没有站在思想的高度来思考和引领方法。 或者是因为思想不明确而想不

7、起来用什么方法来处理问题。 因此，唯有立意于思想，树立起运用思想引领解题的意识，才能真正培养和提升学生的数学核心素养。 以下以全国卷为例予以说明！1.立意于“特殊与一般思想”，运用“特殊化策略”求解“一般性问题” 在数学全国卷中，经常会设置一些具有“一般性” 特征的试题，即“动态元素对任意情况都成立” ，或“变量间存在相关性与一致性”的试题，以此考查学生对“特殊与一般思想”的理解与应用。 此时应立意于“特殊与一般思想”，运用“特殊化策略”予以求解，能使问题获得轻松解决。（2014 年高考课标全国卷第 8 题） 设(0,)2，(0,)2，且1sintancos， 则（ ） A32 B22 C32

8、 D22 （2010 年新课标全国卷理科 11 题） 已知函数 lg,010,16,02xxf xxx1 若, ,a b c 互不相等，且 f af b f c，则abc 的取值范围是 A1,10 B5,6 C10,12 D20,24 （2009 年高考全国卷理科 11 题） 函数( )f x的定义域为R， 若(1)f x 与(1)f x 都是奇函数，则 A.( )f x 是偶函数 B. ( )f x 是奇函数 C. ( )(2)f xf x D. (3)f x 是奇函数 （2013 年高考新课标卷理科 16 题） 若函数( )f x=22(1)()xxaxb的图像 关于直线2x 对称，则(

9、)f x 的最大值 是_. 取0 x 和1x ，由 ( 4)(0)ff，( 3)( 1)ff 可得：8a ，15b ，从而 ( )f x 22(1)(815)xxx(1)(1)(3)(5)xxxx 22(43)(45)xxxx 。 令24xxt ，则4t ，(3)(5)ytt 22(215)(1)16ttt 16， 当且仅当1t 时“ ”成立，所以( )f x的最大值为16。 （2012 年高考全国新课标卷理科 16 题） 数列na满足1( 1)21nnnaan ， 则na的前 60 项和为_。 由1( 1)21nnnaan ，得121 ( 1)nnnana 。 令11a ，则22a ，31a

10、 ，46a ，51a ， 610a ，71a ，814a ，可以猜想， 奇数项均为 1；偶数项是以 2 为首项， 4 为公差的等差数列， 故6030 2930 1(30 24)18302S 。 （2013 年高考新课标卷理科 11 题） 已知函数( )f x 22 ,0ln(1),0 xx xxx， 若|( )f x | ax，则a的取值范围是 A(,0 B(,1 C 2,1 D 2,0 本题按常规方法求解较为繁琐， 若能结合选择题的特征运用特殊化 策略予以求解，简直不费吹灰之力。 取1x ，得3a ，可排除选项A、B； 取1x ，则ln 2a ，可排除选项 C ， 故正确选项为D。 （201

11、6 年福建省高三质检考理科 11 题） 已知12,F F 分别为双曲线222210,0 xyCabab： 的左、右焦点，若点 P是以12FF 为直径的圆与C右支 的一个交点， 1PF 交C于另一点Q，且12PQQF， 则C的渐近线方程为 A2yx B12yx C2yx D22yx （2016 年福建省高三质检考理科 12 题） 已知)(xf是定义在R 上的减函数，其导函数 fx满足 1fxxfx，则下列结论正确的是 （A）对于任意Rx， )(xf0 （C）当且仅当1 ,x，)(xf0 令( )1xf xe ，则)(xf为R上减函数， 且( )xfxe ， 1xxfxexxfxe 1xxe ，又

12、1xex ，所以12xxe ， 所以 1fxxfx成立， 以下验证选项容易判断正确答案为B。 （2014 年高考全国卷理科 17 题） 已知数列na的前n项和为nS ， 11a ，0na ，11nnna aS ， 其中为常数。 （1）证明：2nnaa； （2）是否存在，使得na为等差数列？ 并说明理由。 本题难在第（）问，难在判断 是否存在，以及如何求出的值。 其实，若能立意于“特殊与一般思想” ， 借助“特殊化策略”不难使问题轻松 得以解决。 由11a 及11nnna aS ，可得21a ， 又由2nnaa可得31a 。 由问题的一般性知，若na为等差数列， 则1a ，2a ，3a 必成等差

13、，由2132aaa 即得4，以下不难予以证明。 （2013 年高考新课标卷理科 21 题） 已知函数( )f x2xaxb，( )g x()xe cxd， 若曲线( )yf x和曲线( )yg x都过点(0,2)P， 且在点 P 处有相同的切线42yx （）求a， b ，c， d 的值； （）若x2 时，( )f x ( )kg x，求 k 的取值范围。 解析：本题难在第（）问，难在如何对 参数 k 分类讨论。 第（）问，由（）知2( )42f xxx， ( )2(1)xg xex。 构造函数( )F x =( )( )kg xf x=22(1)42xkexxx， 则( )F x=2(2)24

14、xkexx=2(2)(1)xxke(2)x ， 至此需对k分类讨论，但许多学生不知应该从何开始 讨论，如何分类？ 其实，若能借助“特殊化”策略，不仅可轻松 探明讨论方向，而且可大大简化讨论过程。 由题设可知( )0F x 对一切2x 成立，所以 可取0 x 探路。 由(0)0F，即得10k ，所以1k 。 至此问题就好解决了，由( )2(2)(1)xFxxke 12 (2)()xk xek，因2x ，21xee， 只需讨论211ke与211ke即可，这是容易做到的。 2.立意于“有限与无限思想”，运用“极限化策略”求解“无限性问题” 在数学全国卷中，经常会设置一些具有“无限性” 特征的试题，即

15、“问题中的变量可无限逼近于某个值，或动点可无限趋向于某个位置”，以此考查学生对“有限与无限思想”的理解与应用。 此时应立意于“有限与无限思想”，运用“极限化策略”将元素极限化，可使问题轻松获解。（2014 年高考课标全国卷第 8 题） 设(0,)2，(0,)2，且1sintancos， 则（ ） A32 B22 C32 D22 （2010 年新课标全国卷理科 11 题） 已知函数 lg,010,16,02xxf xxx1 若, ,a b c 互不相等，且 f af b f c，则abc 的取值范围是 A1,10 B5,6 C10,12 D20,24 （2015 年高考新课标卷理科 16 题）

16、在平面四边形ABCD中，75ABC ， 2BC ，则AB的取值范围是_。 本题运用极限思想求解简单快捷 当DA，则75BC ，30A， 由正弦定理得sin30sin75BCAB,从而62AB ， 当 DC，则75AB ，30C， 由正弦定理得sin75sin30BCAB,从而62AB ， 所以( 62, 62)AB。 （2013 年高考新课标卷理科 12 题） 已知点( 1,0)A ，(1,0)B，(0,1)C， 直线 yaxb(0)a 将ABC分割为 面积相等的两部分，则b的取值范围是 A.(0,1) B .2 1(1,)22 C .2 1(1,23 D.1 1,)3 2 （2001 年高考

17、全国卷理科 11 题） 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法： 单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜， 记三种盖法屋顶面积分别为1P、2P、3P。 若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则( ) A.321PPP B.321PPP C.321PPP D.321PPP （2003 年高考全国卷理科 12 题） 已知长方形的四个顶点(0,0)A，(2,0)B，(2,1)C 和(0,1)D。一质点从 AB 的中点0P沿与 AB 夹角 为的方向射到 BC 上的点1P后，依次反射到 CD 、 DA和AB上的点2P、3P和4P（入射角等于反射角） 。 设4P的坐标为4(,0)x。 若412x，则 tan的取值范围是（ ）

18、 A1( ,1)3 B1 2( ,)3 3 C2 1( ,)5 2 D2 2( ,)5 3 3.立意于“函数与方程思想”，运用“构造策略”求解“三角问题” 在数学全国卷中，经常以三角函数为载体，考查求值、最值与取值范围问题，以此考查学生对“函数与方程思想”的理解与应用。 此时应立意于“函数与方程思想”，运用“构造策略”构造出待求最值关于某个变量的函数，或关于待求值的方程，可使问题轻松得以解决。（2011 年高考新课标卷理科 16 题） 在ABC中，60B ，3AC ， 则2ABBC的最大值为_。 分析：本题是三角形问题，已知一边及其对角， 无法直接求解，怎么办？ 注意到本题是最值问题，若能巧妙

19、引入变量， 则可运用正余弦定理建立起待求目标函数关于 这个变量的函数，则问题不难获解。 解析： 设A，则120C，由正弦定理得： sinsin(120)BCAB3sin60，从而 2ABBC2sin(120)4sin5sin3cos 2 7 sin()，故2ABBC的最大值为2 7。 （2015 年高考新课标卷理科 16 题） 在平面四边形ABCD中，75ABC ， 2BC ，则AB的取值范围是_。 分析： 本题同样无法直接求解，因是取值范围问题， 若能引入变量，建立起目标函数关于这个变量 的函数，则问题不难获解。 解析： 设BAC，则105BCA。 由75及10575知 3075。 在ABC

20、中，由正弦定理得2sinsin(105)AB， 从而知2sin(75)sinAB6262cot22 ( 62,62)。 （2010 年高考新课标卷理科第 11 题） 已知圆 O 的半径为1，PA、PB为该圆 的两条切线，A、B为两切点， 那么PA PB 的最小值为 A42 B32 C42 2 D32 2 分析： 本题也是个最值问题，同样需引入变量，建立起目标函数关于这个变量的函数，问题方能得到解决。解析： 设POA，则1costansinPAPB， 从而cos2PA PBPA PB 222(1sin)(12sin)sin。 作替换，令2sint，(0,1)t ， 则(1)(12 )ttyt12

21、3223tt， 当且仅当12tt，即22t 时“”成立， 故 PA PB 的最小值为2 23。 （2010 年高考新课标卷文科 16 题） 在ABC中，D为 BC 边上一点， 3BCBD，2AD ，135ADB， 若2ACAB，则_BD 。 分析： 本题也是三角形问题，无论在哪个三角形中，都因条件不足无法直接求解三角形，怎么办？ 注意到本题是求值问题，若能将待求变量视为已知，则可运用余弦定理建立起关于这个变量的方程，问题可不难获得解决。解析：设 BDx，则2DCx。 在ADC中，由余弦定理得：222( 2)(2 )22 2cos45bxx ， 化简得：22244bxx。 在ADB中，由余弦定理

22、得：222( 2)22cos135cxx ， 化简得：2222cxx。 因为2bc，所以有2244xx22(22 )xx， 解得25x ，所以25BD 。 （2010 年高考新课标卷理科 16 题） 在ABC中，D为 BC 边上一点， 12BDDC，120ADB，2AD ， 若ADC的面积为33，则_BAC 分析： 本题也是三角形问题，也因条件不够无法直接求解三角形，怎么办？ 同样，因为是求值问题，若能引入变量，建立起关于这个变量的方程，则问题不难获得解决。解析： 在ADC中，由1sin60332AD DC 可得2( 31)DC ，从而引进变量，设DAC， 则120DCA，由正弦定理得：sin

23、sin(120)DCAD， 化简可求得45，即45DAC。 在ADB中，同理可求得15BAD，故60BAC。 （2013 年高考新课标卷理科 17 题） 在ABC中，90ABC，3AB ， 1BC ， P 为ABC内一点，90BPC。 （1）若12PB ，求PA； （2）若150APB，求tanPBA。 分析： 本题难在第（2）问，同样已知一边及其所对角，无法直接运用正、余弦定理求解，故需引入变量，建立起关于这个变量的方程，问题方能获解。解析： 设PBA，则90PBC。 在Rt CPB中，1BC ，cos(90)sinBPBC。 在PAB中，因为3AB ，sinBP，150APB， 30PAB

24、，所以由正弦定理可得： sinsinABBPAPBPAB，即3sinsin150sin(30)， 化简得：4sin3cos，所以3tan4。 设DCAx，则2ADCx，2BDCx， 223BCDx。在CDA中，由正弦定理得： 3sin(2 )sinCDxx，所以32cosCDx。 在BDC中，由正弦定理得：12sin(2 )sin33CDx， 所以2sin(2 )cos3xx， sin(2 )sin()32xx， 2232xkx或(2 )()232xxk， 结合(0,)2x，易得6x或18x。 4.立意于“化归与转化思想”，运用“转化策略”求解“解几问题” 在数学全国卷中，常以解析几何为载体，

25、考查学生对圆锥曲线定义的理解和运用，考查学生对“化归与转化思想”的理解和应用。 此时应立意于“化归与转化思想”，运用“转化策略”将问题转化求解，可使问题轻松得以解决。（2016 年福建省单科质检理科第 7 题） 已知抛物线 C ：22ypx(0)p，过其 焦点F的直线l交抛物线C于点A、B， 若:3:1AFBF ，则直线 l 的斜率等于 A33 B1 C2 D3 （2014 年高考新课标卷理科 12 题） 已知抛物线 C ：28yx的焦点为F, 准线为l，P是l上一点， Q 是直线PF与C的一个交点， 若4FPFQ ,则QF A.72 B.52 C.3 D. 2 （2015 年高考新课标卷文科

26、 16 题） 已知F是双曲线C：2218yx 的右焦点， P是C的左支上一点，(0,6 6)A。 当APF周长最小时，该三角形的面积为_。 （2012 年高考新课标全国卷理科 20 题） 设抛物线 C ：22xpy(0)p 的焦点为F， 准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心， FA为半径的圆F交l于B、D两点。 （1）若90BFD，ABD的面积为4 2， 求p的值及圆F的方程； （2）若A、B、F三点在同一直线m上，直线 n与m平行，且n与 C 只有一个公共点， 求坐标原点到m、n距离的比值。 解析： 第（1）问，因为FBFD，90BFD， 所以2FBFDp，则2FAp， 由抛物线定义知点A

27、到直线BD的距离为 2p。因为ABD的面积为4 2，2BDp， 所以有1224 22pp，解得2p 。 第（2）问， 因为A、B、F三点在同一直线m上， 所以AB为圆F的直径，90ADB。 由抛物线定义知12ADFAAB， 所以30ABD，直线m的斜率为 33或33，以下不难就m分类讨论获解。 5.立意于“数形结合思想”，运用“直观感知策略”求解“函数问题” 在数学全国卷中，经常以函数等知识为载体，考查学生运用图形解决问题的能力，考查对“数形结合思想”的理解和应用。 此时应立意于“数形结合思想”，运用“直观感知策略”予以求解，可使问题轻松得以解决。（2009 年高考全国卷理科第 9 题） 已知

28、直线1yx与曲线yln()xa相切， 则 a 的值为 A.1 B.2 C. -1 D.-2 （2011 年高考新课标卷理科 12 题） 函数11yx的图像与函数2sinyx ( 24)x的图像所有交点的横坐标 之和等于 A2 B 4 C 6 D8 本题若立意于“化归与转化思想”，运用“直观感知策略”予以求解， 同样简单快捷。直观感知函数11yx与函数2sinyx ( 24)x 的图像均关于点(1,0)对称， 两函数图象共有4对交点，而关于 (1,0) 对称 的两点的横坐标之和为2，所以所有交点的 横坐标之和等于 8 ，选D。 （2013 年高考新课标卷理科 16 题） 若函数( )f x=22

29、(1)()xxaxb的图像 关于直线2x 对称，则( )f x 的最大值 是_. （2015 年高考新课标卷理科 12 题） 设函数( )(21)xf xexaxa，其中1a ， 若存在唯一的整数0 x使得0()0f x， 则a的取值范围是（ ） A3,1)2e B33,)24e C33,)24e D3,1)2e 由已知存在唯一的整数0 x， 使得0()0f x即000(21)0 xexaxa， 从而知存在唯一的整数0 x， 使得000(21)xexaxa。 作出( )(21)xf xex与( )g xaxa的图象， 直观感知过定点 (1,0) 的直线 yaxa必须 介于点 (0, 1)和3(

30、 1,)e之间， 从而由(0)1,3( 1)gge 可得3,1)2ae，故选D。 （2012 年高考新课标卷理科 21 题） 已知函数( )fx满足 121( )(1)(0)2xfxfefxx 。 （）求( )fx的解析式及单调区间； （）若21( )2fxxaxb， 求(1)ab的最大值。 本题难在第（）问，若能立意于“数形结合思想”，运用“直观感知策略”予以求解，可有效简化求解途径。第（）问，因21( )2xf xexx， 故由21( )2f xxaxb得(1)xeaxb 。 画出函数xye与(1)yaxb的图象， 直观感知要使上式恒成立，必须10a ， 因此，要使(1)ab最大，必须0b

31、 。 又(1)xeaxb恒成立，直观感知 函数xye与(1)yaxb的图象必须相切。 设切点为00(,)P xy， 则000(1)xyeaxb ，且01xea 。 联立可得0ln(1)xa，(1)(1)ln(1)baaa， 故22(1)(1)(1) ln(1)abaaa。 令22( )lnh xxxx(0)x ，则( )(12ln)hxxx， 可知 ( )h x 在(0,) e 上递增，在(,)e 上递减， 故当 xe时， ( )g x 有最大值2e， 即当1ae ，be时，(1)ab取得最大值2e。 与参考答案比较，上述第（）问的解法更加优美，使我们感到： （1）立意于数形结合思想，运用直观

32、感知策略不但回避了分类讨论带来的麻烦，而且思维更加流畅、更容易接近问题的本质； （2）思维的“拐点”，就是数学思想的“发源地”。 数学解题时要关注细节、发掘隐含信息，在思维的“拐点”处下功夫，运用数学思想“解码”，往往会有“踏破铁鞋无觅处，柳暗花明又一村”的收获。6.立意于“设而不求思想”，运用“虚设反代策略”求解“零点问题” 在数学全国卷中，经常以函数零点知识为载体，考查学生对“设而不求思想”的理解和应用。 此时应立意于“设而不求思想”，运用“虚设反代策略”予以求解，可使问题轻松得以解决。（2013 年高考新课标卷理科 21 题） 已知函数( )ln()xf xexm。 ()设0 x 是(

33、)f x 的极值点，求m， 并讨论( )f x 的单调性； （）当2m 时，证明( )0f x 。 本题的求解有个难点，即导函数的零点求不出来，怎么办？ 这就必须在思想上立意，引领学生运用“函数与方程思想、设而不求思想”予以求解。（2012 年高考新课标全国卷文科 21 题） 设函数( )2xf xeax。 ()求( )f x 的单调区间； ()若1a ，k为整数，且当0 x 时， () ( )10 xk fxx ，求 k 的最大值。 （2015 年高考课标卷文科 21 题） 设函数2( )lnxf xeax。 （）讨论( )f x 的导函数( )fx 零点的个数； （）证明：当0a 时，2(

34、 )2lnf xaaa。 7. 立意于“正难则反思想”，运用“转换策略”求解“正难问题” 在数学全国卷中，经常以函数、数列等知识为载体，命制一些正面难以求解的问题，以此考查学生对“正难则反思想”的理解和应用。 此时应立意于“正难则反思想”，运用“转换策略”将问题转换求解，可使问题轻松得以解决。（2009 年高考新课标卷理科第 10 题） 若直线1xyab通过点(cossin)M， 则（ ） A221ab B221ab C22111ab D22111ab （2012 年高考新课标卷理科 12 题） 设点P在曲线12xye上， 点Q在曲线ln(2 )yx上，则PQ最小值为（ ） A1 ln2 B2

35、(1 ln2) C1 ln2 D2(1 ln2) （2016 年福建省高三质检考理科 16 题） 已知点53,1 ,23AB，且平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数 21log1xf xx的图象上， 则四边形ABCD的面积为 （2014 年高考新课标卷理科 23 题） 已知曲线C：22149xy，直线l： 2,22xtyt（ t为参数） 。 （1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； （2）过曲线 C 上任意一点P作与 l夹角为 30的直线， 交l于点A，求PA的最大值与最小值。 分析： 对于第（2）问，因为直线PA的方程无法写出， 点A的坐标更无法求出，故PA的最大值与最小 值无法直接

36、求出，故需对问题予以转化方能求解。 其实，由直线PA与 l 的夹角为 30可知PA的长 为点P到l距离d的两倍，所以可将 PA 的长转化 为点P到 l距离，则问题可轻松获解。 解析： 由（1）知，直线l的方程为 260 xy。 设(2 cos,3sin)P，则P到l的距离 4cos3sin65d5sin()65， 易知max115d，min15d， 故max225PA，min25PA。 （2014 年高考新课标卷理科 21 题） 设函数1( )lnxxbef xaexx， 曲线()yfx在点 (1,(1)f处的切线 方程为(1)2ye x。 （）求a，b； （）证明： ()1fx。 解析 ：

37、第（ ） 问 容易 ， 易得1a ，2b 。 故12( )lnxxefxexx。 第（）问， 直观的想法是直接对函数求导， 以求得( )fx 的最小值， 并证明min( )1f x。 然而情况肯定不乐观， 因为( )f x 的结构很复杂， 对它求导求最值显然不太可能。 怎么办？ 这就需要在思想上立意，引领学生运用“化归与转化思想”对待证函数的式子结构进行转换证明。由( )1f x 得2lnxxxxee， 运用导数法不难证得： ( )lng xxx1e ，2( )xh xxee1e ， 故当0 x 时，( )( )g xh x，即( )1f x 。 （2010 年高考新课标卷文科 21 题） 设

38、函数2( )(1)xf xx eax。 ()若12a ，求( )f x的单调区间； （II）若当0 x 时( )0f x ，求a的取值范围。 2010 年新课标全国卷理科 21 题（压轴题） ： 设函数( )f x 21xexax 。 （)若0a ，求( )f x 的单调区间； （）若当0 x 时( )0f x ，求 a 的取值范围。 评析： 本题是2010年新课标全国卷理科压轴题，试题的第（）问难住了众多学生。 而高考标答同样也让人费解这样的解答是如何想到的呢？我们先看下高考试卷给出的解答： （I）0a 时，( )1xf xex ，( )1xfxe ， 当(,0)x 时，( )0fx ； 当

39、(0,)x 时，( )0fx ， 故( )f x 在(,0)上单调递减，在 (0,) 单调递增。 第（）问，由（I）可知1xex ，当且仅当0 x 时 等号成立，故( )2(12 )fxxaxa x。 当120a即12a 时，( )0(0)fxx， (0)0f，当0 x 时，( )0f x 。 由1(0)xex x可得1(0)xex x， 则当12a 时，( )12 (1)xxfxea e (1)(2 )xxxeeea。 当(0,ln 2 )xa时，( )0fx ，而(0)0f， 当(0,ln 2 )xa时，( )0f x 。 综上得 a 的取值范围为1(,2。 这里的问题是凭什么想到“由1(0)xex x 可得1(0)xex x ” ，又凭什么想到就“12a ” 对“( )1 2xfxeax ”作如此的变形 “( )12 (1)xxfxea e (1)(2 )xxxeeea”呢？ 第(I)问很常规。第（）问，当0 x 时( )0f x ，即 210 xexax 。自然的想法是分离 参数，21xaxex (0)x 。 当0 x 时， a R ； 当0 x 时，作变换21xexax ， 然后求右式的最小值。 这是一个自然的思路， 属于数学活动的经验。 但我们发现，沿着这个思路，是不能继续下去的。 （令21( )xe