法向量求法及应用方法

1、平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果>a丄a,那么向量>Cl叫做平面a的法向量。平面a的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法方法（外积法）：设ab为空间中两个不平行的非零向量，其外积> >axb为一长度等于absinO,(0为a-ub两者交角，且0 < <9 <）,而与a-ub皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指山a的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为的方向,axb-> -> -> ->ax b = bx uZj) = (x2,y2,z2)JlJ:兀2叫（注：1、二阶

2、行列式:M =ad-cb:2、适合右手定则。）例1、已知，工(2,1,0),鼻(-1,2,1)试求(1):-> Tax h;(2):> >bx QKey： (1)axb = (1-2,5)T T例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD-ABfiD 中，key:法向量；= AFAE = (1,2,2)求平面AEF的一个法向量二、平面法向量的应用1、求空间角(1)、求线面角:如图2-1,设>是平面a的法向量，a/teaaAB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角为:图 2-1-1:sin 0 =| cos < n.AH >|n-ABn-ABnABn - AB

3、图 2-1-2:0 =< n.AB > =arccos2(2) 、求面面角：设向量分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为图23rT(1/m图2-20=<m,n >= arccos|加|川（图 2-2）;cos& =->-mn加n门T ->m. n0=<m,n>=兀一arccos；1加|川（图 2-3）两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，tn的方向对平面a而言向外，n的方向对平面p而言向内；在图2-3中，rtn的方向对平面a而言向内，>n的方向对平面P而言向内。我们只要用两个向量的向

4、量积（简称“外积”,满足“右手定则”）使 得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二 面角a l-卩的平面角。2、求空间距离(1)、异面直线之间距离:方法指导：如图2-4,作直线a、b的方向向量> a、>b求a、b的法向量>n,即此异面直线3、b的公垂线的方向向量；在直线a、b上各取一点A、B,作向量AB求向量AB 在> n 上的射影d,则异面直线a、b间的距离为|ABn“I，其中n 丄 丄 h.Aea.B eb(2)、点到平面的距离:方法指导：如图2-5，若点B为平面a外一点，点A为平面a内任一点，平面的法向量为平面a的距离公式为(3)

5、、直线与平面间的距离:方法指导：如图2-6,直线与平面 之间的距离:Aca.Bea，其中o是平面的法向量（4）、平面与平面间的距离:f 2-7岡2-8 方法指导：如图2-7,两平行平面a Ji 之间的距离：->MlAea.Be fin是平面的法向量。3、图29证明(1)、证明线面垂直：在图2-8中,tn 向是平面a 的法向量，>a是直线a的方向向量，->图2J0证明平面的法向量与直线所在向量共线(> >m = ka)o(2)、证明线面平行：在图2-9中，> m 向是平面a的法向量， 是直线a的方向向量,tnan = 0证明平面的法向量与直线所在向量垂直（&g

6、t; > 么=0）O（3）、证明面面垂直：在图2-10中,是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）（4）、证明面面平行：在图2-11中,> m 向是平面的法向量，>n 是平面fl 的法向量，证明两平面的法向量共线（m = Ah三、高考真题新解已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB/7DC,ZDAB = 90°,PA 丄底面 ABCD,且 PA二AD二DC二丄2AB二1, M是PB的中点(I )证明：面PAD丄面PCD；(II )求AC与PB所成的角；(III)求平面AMC与平面PCD的二面角的平面角解：以A点为原点，以分别以AD,

7、 AB, AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角 坐标系A-xyz如图所示.% = (0,0,1)9AD = (1,0,0)，设平面PAD的法向m = APxAD (0,1,0)又 = (0,1,0)9恥(-1,0,1),设平面PCD的法向量为；=必心= (1,0,1),即平面PAD平面PCDo加丄刃丄（）-»/c=（U0）弘=(02-1)赤岚7c. FbTTo< 心B >= arccos = arccos ACPB("O晶=(-1,0,丄)2，设平面AMC的法向量为弘(7-1,0)w = CMxOl = (|-|,l)又，设平面PCD的法向量为品(-口0)n =

8、 CMxCB = (-y 一丄,一1)t tm. n/. <m.n>= arccos1加|力1=arccos()图或兀一面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos132、如图3-2,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知 AB=AAl = a, BC =a, M是AD的中点。(I )求证：AD平面A1BC；(II)求证:平面A1MC丄平面A1BD1；(【II)求点A到平面A1MC的距离。解：以D点为原点,分别以DA, DC, DD1为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.(/). BC = (_屈,0,0)二（0厂 口卫），设平面A1BC的法向量为nBC

9、xBA （U,屁,血）v AD =（-屁0,0）:.ADln,即 AD/平面 A1BC.（/）.屁=（¥°,0,°）讪严（一 Q,（）设平面A1MC的法向量为:又必二（-、-彌）BA =（0,-a,a），设平面A1BD1的法向量为：；二必X必二（0,血2,屈2）加丄刃丄(/),即平面A1MC 平面A1BD1.设点A到平面A1MC的距离为d,m = MCxMA =(a2,a-a2)是平面A1MC的法向量， MA = (67,0,0)2A点到平面A1MC的距离为:| 恥 MA |四、用空间向量解决立体儿何的“三步曲”（1）、建立空间直角坐标系（利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、 直条件，相关儿何知