电磁场之恒定电场

1、第二章第二章 恒定电场恒定电场下 页4. 4. 电导和接地电阻电导和接地电阻3. 3. 恒定电场的基本计算方法恒定电场的基本计算方法l 重点：重点：2. 2. 恒定电场的基本方程、边界条件恒定电场的基本方程、边界条件Steady Electric Field1. 1. 电流密度的概念电流密度的概念 自由电荷在电场作用下做宏观定向运动形成电自由电荷在电场作用下做宏观定向运动形成电流，通有电流的导电媒质中的场称为流，通有电流的导电媒质中的场称为电流场电流场，当空，当空间间各点电流密度不随时间而变各点电流密度不随时间而变时就是恒定电流场，时就是恒定电流场，称恒定电场。称恒定电场。 Introduct

2、ion引言引言下 页上 页1.1.恒定电场恒定电场下 页上 页2.2.导电媒质中的恒定电场导电媒质中的恒定电场导电媒质导电媒质mS 1/0 标准的测量中用单位电导率：西门子标准的测量中用单位电导率：西门子/米等米等 电导率为无限大的导体称为电导率为无限大的导体称为理想导电体（超导体）理想导电体（超导体）。理想导电体中，理想导电体中，无需电场推动即可形成电流无需电场推动即可形成电流，所以在，所以在理理想导电体中是不可能存在恒定电场想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。无限大的电流，从而产生无限大的能量。 电导率为零的媒质，电导率为零

3、的媒质，不具有导电能力不具有导电能力，这种媒质称为，这种媒质称为理理想介质想介质。理想介质内无电流存在。理想介质内无电流存在。 电导率不为零的媒质，具有导电能力，这种媒质称为电导率不为零的媒质，具有导电能力，这种媒质称为导导电介质电介质。 按电导率按电导率 对介质的分类对介质的分类00 理想导体理想导体理想介质（绝缘介质）理想介质（绝缘介质）导电媒质导电媒质 与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。些特性的含义

4、与前相同。71017.671080.531071010.451071054.3111071057.112107101510媒媒 质质电导率电导率(S/m)媒媒 质质电导率电导率(S/m)银银海海 水水4紫紫 铜铜淡淡 水水金金干干 土土铝铝变压器油变压器油黄黄 铜铜玻玻 璃璃铁铁橡橡 胶胶表表 常用材料的电导率常用材料的电导率 下 页上 页 有推动自由电荷运动的电场存在，说明有推动自由电荷运动的电场存在，说明E不仅存在于不仅存在于介质中而且存在于导体中介质中而且存在于导体中；恒定电场与静电场不同之处 电流恒定说明流走的自由电子被新的自由电子补充，空电流恒定说明流走的自由电子被新的自由电子补充，

5、空间电荷密度处于动态平衡，因而场分布不同于静电场；间电荷密度处于动态平衡，因而场分布不同于静电场；+- -U静电场静电场+- -UEtEn恒定电场恒定电场下 页上 页 导体不是等位体；导体不是等位体；+-+-+- 导体媒质内外伴随有磁场和温度场。导体媒质内外伴随有磁场和温度场。导线端面电荷导线端面电荷引起的电场引起的电场导线侧面电荷导线侧面电荷引起的电场引起的电场所有电荷引起所有电荷引起的电场叠加的电场叠加下 页上 页 进一步理解直流电路中的有关规律；进一步理解直流电路中的有关规律；4.4.研究恒定电场的意义研究恒定电场的意义本章主要讨论导电媒质中的恒定电场。本章主要讨论导电媒质中的恒定电场。

6、注意 解决绝缘电阻、接地电阻的计算等实际问题；解决绝缘电阻、接地电阻的计算等实际问题； 为实验方法研究场的问题提供理论依据。为实验方法研究场的问题提供理论依据。3.3.导电媒质周围介质中的恒定电场导电媒质周围介质中的恒定电场 介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷所产生的恒定场，与静电场的分布相同。所产生的恒定场，与静电场的分布相同。1. 电流电流 (Current)定义：单位时间内通过某一横截面的电量。定义：单位时间内通过某一横截面的电量。2.12.1 导电媒质中的电流导电媒质中的电流Current in Conductive MediatqIddA

7、运流电流运流电流带电粒子在真空或稀薄气体中带电粒子在真空或稀薄气体中定向定向 运动形运动形 成的电流，其运动受牛顿定律制约。成的电流，其运动受牛顿定律制约。下 页上 页传导电流传导电流电子或离子在电子或离子在导电媒质导电媒质中受电场作用而定中受电场作用而定 向运动形成的电流。向运动形成的电流。 电流面密度电流面密度 JsdSJI电流电流体体电荷电荷 以速度以速度 v v 作匀速运动形成的电流。作匀速运动形成的电流。vJ2mA电流密度电流密度2. 电流密度电流密度（Current Density)下 页上 页 电流面密度矢量 电流的计算描述某点处通过垂直于电流方向的描述某点处通过垂直于电流方向的

8、单位单位面积上的电流面积上的电流。 电流线密度电流线密度 KmA vKlIlnd )(eK电流电流en 是垂直于是垂直于dl，且通过，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量与曲面相切的单位矢量面电荷面电荷在曲面上以速度在曲面上以速度 v v 运动形成的电流运动形成的电流 电流线密度及其通量下 页上 页电流线密度电流线密度描述某点处，通过垂直于电描述某点处，通过垂直于电流方向的流方向的单位宽度的电流单位宽度的电流。 元电流的概念元电流的概念v dI 面电流的实例面电流的实例媒质磁化后的表面磁化电流；媒质磁化后的表面磁化电流；同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；高频

9、时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。下 页上 页 媒质的磁化电流线电荷线电荷 在曲线上以速度在曲线上以速度 v 运动形成的电流运动形成的电流 元电流段元电流段vdq Jdv KdS Idlvdq Jdv KdS IdlvdVvdSvdl元电荷以元电荷以速度速度v运运动动体分布电体分布电荷以速度荷以速度v运动运动面分布电面分布电荷以速度荷以速度v运动运动线分布电线分布电荷以速度荷以速度v运动运动2.1.2 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 JE一段载流一段载流I导体，端电压为导体，端电压为U，电阻为，电阻为R，欧姆定律，欧姆定律UIR(1/)lRU

10、E lIJSSJE欧姆定律微分形式欧姆定律微分形式 ()()dldUE dldI dRJ dSdS J 与与 E 成正比成正比，且且方向一致。方向一致。说明 上式也适用于非线性情况上式也适用于非线性情况2.1.3. 焦尔定律的微分形式焦尔定律的微分形式导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为)()(dlEdSJdPW UIP 下 页上 页 J 与 E 之关系设小块导体设小块导体dVEJ 功率密度功率密度322 W/mJEEJpJoules Law微分形式微分形式 提供非静电力将其它形式的提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为能转为电能的装置称为电源电源

11、。1. 电源电源 (Source)2.22.2 电源电势与局外场强电源电势与局外场强Source EMF and 0ther Field Intensity电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。2. 电源电动势电源电动势 (Source EMF)下 页上 页 恒定电流的形成电源内除电源内除库仑电场强度库仑电场强度E E外外, ,还有还有局外场强局外场强,合成合成场强场强 ：E+E+Ee()eJEE 含源导电媒质电流含源导电媒质电流电源以外区域，只有电源以外区域，只有E把作用于单位正电荷上的局外力把作用于单位正电荷上的局外力fe / q设想为一等

12、效场强，称为设想为一等效场强，称为局外场强局外场强Ee 。lEdlee电源电动势电源电动势qfEee局外场强局外场强ef局外力局外力因此，对闭合环路积分因此，对闭合环路积分lEEd)(lec局外场局外场 Ee 是非保守场。是非保守场。)(eEEJ电源电动势与局外场强总场强总场强eEEE dlElee 0 llelElEcdd 下 页上 页1. 1. 干电池和钮扣电池（化学电源）干电池和钮扣电池（化学电源）实际电源实际电源 干电池电动势干电池电动势1.5V，仅取决于（糊状）化学材料，其大，仅取决于（糊状）化学材料，其大小决定储存的能量，化学反应不可逆。小决定储存的能量，化学反应不可逆。钮扣电池电

13、动势钮扣电池电动势1.35V V，用固体化学材料，化学反应不可逆。，用固体化学材料，化学反应不可逆。干电池钮扣电池下 页上 页 氢氧燃料电池示意图2. 2. 燃料电池（化学电源）燃料电池（化学电源） 电池电动势电池电动势1.23V。以氢、氧作为燃料。约。以氢、氧作为燃料。约40-45%的化学能的化学能转变为电能。实验阶段加燃料可继续工作。转变为电能。实验阶段加燃料可继续工作。 下 页上 页3. 3. 太阳能电池（光能电源）太阳能电池（光能电源） 一块太阳能电池电动势一块太阳能电池电动势0.6V。太阳光照射到。太阳光照射到P-N结上，结上，形成一个从形成一个从N区流向区流向P区的电流。约区的电流

14、。约 11%的光能转变为电的光能转变为电能，故常用太阳能电池板。能，故常用太阳能电池板。 一个一个50cm2太阳能电池的电动势太阳能电池的电动势0.6V,电流电流0.1A 太阳能电池示意图下 页上 页蓄电池示意图4. 4. 蓄电池（化学电源）蓄电池（化学电源） 电池电动势电池电动势2V。使用时，电池放电，当电解液浓度小。使用时，电池放电，当电解液浓度小于一定值时，电动势低于于一定值时，电动势低于2V，常要充电，化学反应可逆。，常要充电，化学反应可逆。上 页上 页1. 基本方程基本方程 (Basic Equations)2.32.3 基本方程基本方程 分界面衔接条件分界面衔接条件Basic Eq

15、uations Boundary Conditions 下 页上 页 E的闭合线积分及旋度的闭合线积分及旋度elEEd)(lec dlElllelElEcdd 若所取积分路径不经过电源区，则若所取积分路径不经过电源区，则 得0E0 d llE斯托克斯定理斯托克斯定理0 d)(sSE恒定电场恒定电场是无旋场是无旋场在恒定电场中在恒定电场中0t上式亦称上式亦称电流连续性方程电流连续性方程，即流进的电流等于流，即流进的电流等于流出的电流，电流线是闭合曲线。出的电流，电流线是闭合曲线。故故0 JtqSJIds电荷守恒原理电荷守恒原理 J 的的闭合面积分及闭合面积分及散度散度0 dsSJ散度定理散度定理

16、0dvVJ下 页上 页恒定电场恒定电场是无源场是无源场 恒定电场是无源无旋场，在无源区是守恒场。恒定电场是无源无旋场，在无源区是守恒场。 恒定电场（电源外）的基本方程恒定电场（电源外）的基本方程0dsSJ0d llEEJ0 J0 E积分形式积分形式微分形式下 页上 页EJ说明 电位方程电位方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程02 0 E 由基本方程出发由基本方程出发00 E E J )( =常数常数下 页上 页 E2 2）适用于均匀线性媒质，对于不均匀媒质要分）适用于均匀线性媒质，对于不均匀媒质要分区列方程；区列方程；注意1 1）恒定电场的拉普拉斯方程适用于无源区；）恒定电场的拉普拉斯方程适用于无源区

17、；下 页上 页恒定电场的基本方程与电路的基本定律0dsSJ应用到电应用到电路的结点路的结点0I21llldlEdlElE d应用到电应用到电路的回路路的回路0UUU21 恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。2. 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件（Boundary Conditions)说明分界面上说明分界面上 E 切向分量连续，切向分量连续，J 的法向分量连续。的法向分量连续。 0d llE SD0ds静电场静电场（ =0）ttEE21nnJJ21下 页上 页 采用与静电场类比的方式可以方便的得采用与静电场类比的方式可以方便的得到恒定电场

18、中不同媒质分界面的衔接条件。到恒定电场中不同媒质分界面的衔接条件。恒定电场（无源区）恒定电场（无源区） 0dsSJnnDD210d llEnn 21JJ下 页上 页 nnDD 21n2n1EE21 在不同媒质分界面上在不同媒质分界面上 n2n1EE21n1nnEEE11221121211 1 1）一般情况下介质交界面上总有净自由电荷存在）一般情况下介质交界面上总有净自由电荷存在2 2）理想介质交界面）理想介质交界面0，只有速缚电荷而，只有速缚电荷而 没有自由电荷。没有自由电荷。表明表明 有关静电场的定律适用于恒定电场，因静有关静电场的定律适用于恒定电场，因静电场是恒定电场的特例电场是恒定电场的

19、特例注意折射定律折射定律ttntntJJJJJJ21221121 tantan 电流线的折射下 页上 页ttEE221121 分界面上电位分界面上电位 的的衔接条件衔接条件由由ttEE21nnJJ2121 nn22112 1下 页上 页 良导体与不良导体的交界面。良导体与不良导体的交界面。 1 2 0201 1）不良导体中电流线与良导体界面几乎垂直。）不良导体中电流线与良导体界面几乎垂直。2 2）良导体可以近似认为是等位体。）良导体可以近似认为是等位体。表表明明讨论2121 tantan01212 tantan12021ttEE3 3）可以用电流场模拟静电场。）可以用电流场模拟静电场。 000

20、222nnJE01nE 导体与理想介质的分界面导体与理想介质的分界面 0022J，在理想介质中在理想介质中空气中空气中nnnEDD2212导体中导体中1 1）分界面导体侧的电流一定与导体表面平行）分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。 下 页上 页导体与理想介质分界面讨论021nnJJ2 2）导体与理想介质分界面上必有面电荷。）导体与理想介质分界面上必有面电荷。表表明明0/1121tttJEE 3 3）电场切向分量不为零，导体非等位体，导体）电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表表 面非等位面面非等位面1 下 页上 页 理想导体与理想介质的分界面。理想导体与理想介质的分界面。 1 02 01

21、EttEE 21n2EE2n2EE21 1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降2 2）理想介质中的）理想介质中的E垂直于导体表面。垂直于导体表面。表表明明讨论 EJ有限值有限值111 2.3 恒定电场基本方程恒定电场基本方程.分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件载流导电媒质中恒定电场的基本方程（载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括不包括电源电源） 00SlJ dSE dl积分形式积分形式 00JE微分形式微分形式 本构关系本构关系JESqJ dSt电流连续性方程一般形式电流连续性方程一般形式恒定电场恒定电场: 任何闭合面内不能有电荷的增减任何闭合

22、面内不能有电荷的增减,否则会导致电场的变化否则会导致电场的变化.电位及电位方程电位及电位方程 00()0EEJJE 20对于均匀的导电媒质对于均匀的导电媒质恒定电场的电位满足拉普拉斯方程恒定电场的电位满足拉普拉斯方程 例例 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。间的电阻。 Uyxtabr0(r,)0解解 选用圆柱坐标系。设两个端面之间选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为的电位差为U，且令，且令 当角度当角度 时，电位时，电位 。001当角度当角度 时，电位时，电位 。2U2由于导电媒质中的电位由于导电媒质中的电

23、位 仅与角度仅与角度 有关，电位满足的方程式为有关，电位满足的方程式为0dd22此式的通解为此式的通解为 21CC 利用给定的边界条件，求得利用给定的边界条件，求得 U22 UJEeerr 导电媒质中的电流密度导电媒质中的电流密度 J 为为 由由 的端面流进该导电媒质的电流的端面流进该导电媒质的电流 I 为为 2)d (2drtrUISeeSJS abUtrrUtbaln2d2该导电块的两个端面之间的电阻该导电块的两个端面之间的电阻 R 为为 abtIVRln2五、五、 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件 00SlJ dSE dl由积分形式由积分形式 可得恒定电流场中不同导可得恒定电流场中不

24、同导电媒质分界面的边界条件电媒质分界面的边界条件 212121()0()0nEEnJJ即即 121122121212nnnnttttJJEEJJEE恒定电场的边界条件为恒定电场的边界条件为 恒定电流场中不同导电媒质分界面两侧的恒定电流场中不同导电媒质分界面两侧的电场强度切向电场强度切向分量连续分量连续，但其法向分量不连续；，但其法向分量不连续；而电流密度的法向分量连而电流密度的法向分量连续续，但其切向分量不连续但其切向分量不连续。 在恒定电场中，在恒定电场中， 分界面处用电位表示的边界条件为分界面处用电位表示的边界条件为 211212nn应用边界条件，可得分界面处的折射定理应用边界条件，可得分

25、界面处的折射定理 1122tantan讨论：讨论：1) 两种导电媒质两种导电媒质 当一种导电媒质为当一种导电媒质为不良导不良导体体 ，另一种导电媒质为，另一种导电媒质为良导体良导体，若电导率，若电导率 ，如同轴线的内外导体通常由电导如同轴线的内外导体通常由电导率很高率很高(107 数量级数量级)的铜或铝制的铜或铝制21成，填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质成，填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有总有很小的漏电导存在，如很小的漏电导存在，如 聚乙烯的电导率为聚乙烯的电导率为 10 -10 数量级，由数量级，由101722711tan1010tan102(0)21 当当1

26、2，第一种媒质为良导体，第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不良导体时，时，第二种媒质为不良导体时， 只要只要1/2, 20，即在不良导体中，即在不良导体中， 电力线电力线近似地近似地与界面垂直，这时与界面垂直，这时可可将良导体的表面将良导体的表面近似地近似地看作等位面。看作等位面。 1017172221711tan1010,tan10tantan102）理想介质与良导体理想介质与良导体21211100nnntJJJJJJ2222/0/00nnnEJE21 可知可知E2不垂直导体表面不垂直导体表面, 导体表面不是等位面导体表面不是等位面, 导体也不是等导体也不是等位体位体, 这是由于这是由于1有

27、限有限, 导体中沿电流方向存在电场。而在导体中沿电流方向存在电场。而在静电静电场场中中, 导体内电场强度为零导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面介质中的场强总是垂直导体表面, 导导体是等位体体是等位体, 其表面是等位面。在这一点其表面是等位面。在这一点, 恒定电场与静电场有恒定电场与静电场有根本的区别。根本的区别。 由上知，在均匀导体内电流沿由上知，在均匀导体内电流沿平行于平行于导体表面流动。导体表面流动。22222ntEEE4）载恒定电流的）载恒定电流的均匀导电媒质内部均匀导电媒质内部无（体）电荷存在无（体）电荷存在0()00JJEDJDDD 即，载恒定电流的均匀导电媒质内部无

28、（体）电荷存在，即，载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在，电荷分布在载流导体的表面。电荷分布在载流导体的表面。1211111122222221212121nnnnnnnnnSnnnnJJJJEDJEDDDJJ5）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷 当恒定电流通过当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质电导率不同的两导电媒质时时,其电流密度其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。分界面上的面电荷密度分界面上的面电荷密度2121SnJ当当 时，时， 分界面上的面电荷密度为零。分界面上的

29、面电荷密度为零。 2121可见可见,在在两种导电媒质分界面两种导电媒质分界面上一般有一层自由电荷分布。如果上一般有一层自由电荷分布。如果导电导电媒质不均匀媒质不均匀, 在媒质中还会有体电荷的存在。在媒质中还会有体电荷的存在。 2.4 恒定电恒定电 场与静电场的比拟场与静电场的比拟 E物理量的对偶关系物理量的对偶关系 EDqCEJIG静电场静电场恒定电场恒定电场当恒定电流场与静电场的当恒定电流场与静电场的几何形状、边界条件几何形状、边界条件相同时，相同时，有有相同的场图相同的场图（等位面分布一致、（等位面分布一致、 J J与与D D 线分布一致）。线分布一致）。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接根据这种