奥数：火车过桥

1、火车过桥一、火车过桥四大类问题1、火车 +树 ( 电线杆 ) ：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法： 火车车长 ( 总路程 )= 火车速度×通过时间；2、火车过桥（隧道） ：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法： 火车车长 +桥 ( 隧道 ) 长度 ( 总路程 )= 火车速度×通过的时间；3、火车 +人： 一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车 +迎面行走的人：相当于相遇问题，解法： 火车车长 ( 总路程 )=( 火车速度 +人的速度 ) ×迎面错过的时间；（2）火车 +同向行走的人：相当于追及问题，解法： 火车车长 ( 总路程

2、 )=( 火车速度 -人的速度 ) ×追及的时间；（3）火车 +坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题解法： 火车车长 ( 总路程 )=( 火车速度人的速度 ) ×迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车 +火车： 一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法： 快车车长 +慢车车长 ( 总路程 )=( 快车速度 +慢车速度 ) ×错车时间；（2）超车问题：相当于追及问题，解法： 快车车长 +慢车车长 ( 总路程 )=( 快车速度 -慢车速度 ) ×错车时间；二、火车过桥四类问题图示长度速度方向树无无无长度速度桥桥长无无

3、火车车长车速同向队伍长人无人速反向队伍队速（间隔，植树问题）同向车车长车速反向例题 1【提高】长 150 米的火车以 18 米 / 秒的速度穿越一条300 米的隧道那么火车穿越隧道（进入隧道直至完全离开）要多长时间【分析】 火车穿越隧道经过的路程为300150450 ( 米 ) ，已知火车的速度，那么火车穿越隧道所需时间为4501825( 秒) 【精英】小胖用两个秒表测一列火车的车速他发现这列火车通过一座660 米的大桥需要40 秒，以同样速度从他身边开过需要10 秒，请你根据小胖提供的数据算出火车的车身长是米【分析】 火车 40 秒走过的路程是660 米车身长，火车10 秒走过一个车身长，则

4、火车30 秒走 660 米，所以火车车长为6603220 （米）例题 2【提高】四、五、六3 个年级各有100 名学生去春游，都分成2 列（竖排）并列行进四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是1米、2米、3 米，年级之间相距5 米他们每分钟都行走90 米，整个队伍通过某座桥用4 分钟，那么这座桥长_ 米【分析】 100名学生分成2列，每列50人，应该产生49个间距，所以队伍长为49149249352304 ( 米 ) ，那么桥长为90430456 (米)【精英】一个车队以5 米 / 秒的速度缓缓通过一座长200 米的大桥，共用145 秒已知每辆车长5 米，两车间隔 8 米 问：这个车队共

5、有多少辆车【分析】 由 “路程 =时间×速度”可求出车队145 秒行的路程为5×145=725（米） ，故车队长度为725-200=525（米）再由植树问题可得车队共有车（525-5）÷（5+8） +1=41（辆）例题 3【提高】 一列火车通过一座长540 米的大桥需要35 秒以同样的速度通过一座846 米的大桥需要53 秒这列火车的速度是多少车身长多少米【分析】 火车用 35 秒走了 540 米 +车长； 53 秒走了 846 米 +车长，根据差不变的原则火车速度是：(846540)(5335)17 ( 米 / 秒) ，车身长是 : 173554055 ( 米

6、) 【精英】一列火车通过长320 米的隧道，用了52 秒，当它通过长864 米的大桥时，速度比通过隧道时提高0.25 倍，结果用了1 分 36 秒 . 求通过大桥时的速度及车身的长度【分析】 速度提高 0.25 倍用时96 秒，如果以原速行驶，则用时96×（ 1+ 0.25 ）=120 秒，（864-320）÷（ 120- 52） =8 米 / 秒，车身长： 52×8 - 320=96 米【拓展 1】已知某铁路桥长960 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用100 秒，整列火车完全在桥上的时间为60 秒，求火车的速度和长度【分析】 完全在桥上，

7、60 秒钟火车所走的路程=桥长车长；通过桥，100 秒火车走的路程=桥长 +车长，由和差关系可得：火车速度为96021006012 （米 / 秒），火车长：9601260240 （米）【拓展 2】一列火车的长度是用 2 分钟；通过第二个隧洞用800 米，行驶速度为每小时3 分钟；通过这两座隧洞共用60 千米， 铁路上有两座隧洞. 火车通过第一个隧洞6 分钟，求两座隧洞之间相距多少米【分析】注意单位换算 . 火车速度 60×1000÷60=1000（米 / 分钟） . 第一个隧洞长 1000×2- 800=1200（米），第二个隧洞长 1000×3- 80

8、0=2200（米），两个隧洞相距 1000×6- 1200 - 2200- 800=1800（米） .【拓展 3】小明坐在火车的窗口位置，火车从大桥的南端驶向北端，小明测得共用时间这座桥有多长，于是小明马上从铁路旁的某一根电线杆计时，到第 10 根电线杆用时80 秒爸爸问小明25 秒根据路旁每两根电线杆的间隔为50 米，小明算出了大桥的长度请你算一算，大桥的长为多少米【分析】 从第 1根电线杆到第10 根电线杆的距离为：50(101)450 ( 米 ) ，火车速度为：4502518( 米/ 秒 ) ，大桥的长为：18801440 ( 米) 例题 4【提高】两列火车相向而行，甲车每时行

9、48 千米，乙车每时行60 千米，两车错车时，甲车上一乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗共用13 秒问：乙车全长多少米【分析】 390 米提示：乙车的全长等于甲、乙两车13 秒走的路程之和【精英】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是 280 米，慢车的车长是见慢车驶过的时间是 11 秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒385 米坐在快车上的人看【分析】 8 秒提示 : 快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同，所以两车的车长比等于两车经过对方的时间比，故所求时间为112808 （秒）385例题 5【提高】铁路旁边有一条小路，一列长为走的一名军

10、人，15 秒后离他而去，8 点与农民何时相遇110 米的火车以30 千米时的速度向南驶去，8 点时追上向南行6 分迎面遇到一个向北行走的农民，12 秒后离开这个农民问军人【分析】 8 点 30 分火车每分行30100060500 （米），军人每分行11（米），农民每分行 110 50011（米）500110605504458 点时军人与农民相距（500+50）× 6=3300（米），两人相遇还需3300÷（ 60+50）=30（分），即 8点 30 分两人相遇【精英】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为千米人速度为千米/ 时，这时有一列火

11、车从他们背后开过来，火车通过行人用22 秒，通过骑车人用火车的车身总长是多少/ 时，骑车 26 秒，这列【分析】 行人的速度为千米/ 时 =1 米 / 秒，骑车人的速度为千米/ 时=3 米 / 秒火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差如果设火车的速度为x 米 / 秒，那么火车的车身长度可表示为（x- 1）× 22或（ x-3）× 26，由此不难列出方程法一：设这列火车的速度是x 米 / 秒，依题意列方程， 得（ x- 1）×22=（ x- 3）×26解得 x=14所以火车的车身长为： （ 14-1）× 22=

12、286（米） 法二：直接设火车的车长是x，那么等量关系就在于火车的速度上可得：x/26+3= x/22+1 ，这样直接也可以x=286 米法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决两次的追及时间比是：22：26=11： 13，所以可得：（ V 车 -1）：（ V 车 -3） =13： 11，可得 V 车 =14 米 / 秒，所以火车的车长是（ 14-1）× 22=286（米），这列火车的车身总长为286 米【拓展 4】甲、乙两辆汽车在与铁路并行的道路上相向而行，一列长 180 米的火车以车同向前进，火车从追上甲车到遇到乙车，相隔 5 分钟，若火车从追上到超过甲车用时6

13、0 千米 / 时的速度与甲30 秒从与乙车相遇到离开用时6 秒，求乙车遇到火车后再过多少分钟与甲车相遇【分析】 由火车与甲、乙两车的错车时间可知，甲车速度为60 180 30 3.638.4 千米 / 时乙车速度为18063.66048 千米 / 时，火车追上甲车时，甲、乙两车相距(60 48)59 千米经过609(38.448)606.25 分钟相遇，那么乙车遇到火车后分钟与甲车相遇【拓展 5】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分步行60 米，队尾的王老师以每分行150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10 分求队伍的长度【分析】 630 米设队伍长为 x米从队尾到排头是追及问题，

14、需x分；从排头返回队尾是相遇问题，15060需x分由xx10 ，解得 x630 米606015015015060【拓展 6】甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行，恰好有一列火车开来，整个火车经过甲身边用了 18 秒， 2 分后又用 15 秒从乙身边开过问： （ 1）火车速度是甲的速度的几倍 （ 2）火车经过乙身边后，甲、乙二人还需要多少时间才能相遇【分析】 （ 1） 11 倍；（2） 11 分 15 秒（ 1）设火车速度为a 米秒，行人速度为b 米秒，则由火车的长度可列方程 18 ab15 ab ，求出 a11 ，即火车的速度是行人速度的11 倍；从车尾经过甲b到车尾经过乙，火车

15、走了135 秒，此段路程一人走需1350×11=1485（秒），因为甲已经走了135秒，所以剩下的路程两人走还需（1485-135）÷ 2=675（秒）例题 6【提高】快车A车长 120 米，车速是20 米/ 秒，慢车B 车长 140 米，车速是 16 米 / 秒慢车 B 在前面行驶，快车 A 从后面追上到完全超过需要多少时间【分析】 从 “追上”到“超过”就是一个“追及”过程，比较两个车头，“追上”时A 落后 B 的车身长，“超过”时A 领先 B ( 领先 A 车身长 ) ，也就是说从“追上”到“超过”，A 的车头比 B 的车头多走的路程是：B 的车长A 的车长，因此追及

16、所需时间是：( A 的车长B 的车长 )( A 的车速B的车速)由此可得到，追及时间为：(A车长B车长)(A车速B车速 ) （120140）（2016） 65 ( 秒 ) 【精英】快车长106 米，慢车长74 米，两车同向而行，快车追上慢车后，又经过1 分钟才超过慢车；如果相向而行，车头相接后经过12 秒两车完全离开求两列火车的速度【分析】 根据题目的条件，可求出快车与慢车的速度差和速度和，再利用和差问题的解法求出快车与慢车的速度两列火车的长度之和：106+74=180（米）快车与慢车的速度之差：180÷60=3（米）快车与慢车的速度之和： 180÷12=15（米）快车的速

17、度：（ 15+3）÷ 2=9（米）慢车的速度：（ 15-3）÷ 2=6（米）【拓展 7】从北京开往广州的列车长350 米，每秒钟行驶22 米，从广州开往北京的列车长280 米，每秒钟行驶 20 米，两车在途中相遇，从车头相遇到车尾离开需要多少秒钟【分析】 从两车车头相遇到车尾离开时，两车行驶的全路程就是这两列火车车身长度之和解答方法是：( A 的车身长B 的车身长 )( A 的车速B 的车速 )两车从车头相遇到车尾离开的时间也可以这样想， 把两列火车的车尾看作两个运动物体，从相距 630 米 ( 两列火车本身长度之和) 的两地相向而行，又知各自的速度，求相遇时间两车车头相遇

18、时，两车车尾相距的距离：350 280 630 ( 米 ) 两车的速度和为： 22 20 42 ( 米/ 秒 ) ；从车头相遇到车尾离开需要的时间为：6304215( 秒 ) 综合列式： （350280）（2220） 15 ( 秒 ) 例题 7【提高】【精英】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行33 米，慢车每秒行21 米如果从两车头对齐开始算，则行 20 秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行25 秒后快车超过慢车那么，两车长分别是多少如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间慢车慢车慢车慢车快车快车快车快车【分析】 如图，如从车头对齐算，那么超车距离为快车车长，为：

19、（3321） 20 240 ( 米)；如从车尾对齐算，那么超车距离为慢车车长，为（3321） 25300(米)由上可知，两车错车时间为：（300240）（3321） 10 ( 秒 ) 【拓展 8】甲乙两列火车，甲车每秒行22 米，乙车每秒行16 米，若两车齐头并进，则甲车行30 秒超过乙车; 若两车齐尾并进，则甲车行26 秒超过乙车 . 求两车各长多少米【分析】 两车齐头并进：甲车超过乙车，那么甲车要比乙车多行了一个甲车的长度. 每秒甲车比乙车多行22-16=6 米， 30 秒超过说明甲车长6×30=180 米两车齐尾并进：甲超过乙车需要比乙车多行一整个乙车的长度，那么乙车的长度等于

20、6×26=156 米【拓展 9】铁路货运调度站有A、 B 两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车它们的车长正好构成一个等差数列，其中乙车的的车长居中，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A 信号灯处，而车头则冲着B 信号灯的方向乙车的车尾则位于B 信号灯处，车头则冲着A 的方向现在，三列火车同时出发向前行驶，10 秒之后三列火车的车头恰好相遇再过15 秒，甲车恰好超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开，请问：甲乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟【分析】 秒例题 8【提高】某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用23 秒，若该列车与另

21、一列长150 米.时速为 72 千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟【分析】 根据另一个列车每小时走72 千米，所以，它的速度为：72000÷3600=20（米/ 秒），某列车的速度为：（ 250-210）÷（ 25-23）=40÷2=20（米 / 秒）某列车的车长为： 20×25 -250=500-250=250（米），两列车的错车时间为：（ 250+150）÷（ 20+20）=400÷40=10（秒） 【精英】在双轨铁道上，速度为54 千米 / 小时的货车 10 时到达铁桥，10 时 1分 24 秒完全通过铁桥，后来一列速度为 72

22、 千米 / 小时的列车，10 时 12分到达铁桥，10 时 12分 53 秒完全通过铁桥，10 时 48 分 56 秒列车完全超过在前面行使的货车求货车、列车和铁桥的长度各是多少米【分析】 先统一单位：54 千米 / 小时15 米/ 秒， 72 千米 / 小时20 米 / 秒，1分 24秒84秒， 48 分 56 秒12分36分 56 秒2216 秒货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：1584 1260 ( 米) ；列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：2053 1060( 米) 考虑列车与货车的追及问题，货车10 时到达铁桥，列车10 时 12 分到达铁桥，在列车到达铁桥时，货

23、车已向前行进了 12 分钟 (720秒 ) ，从这一刻开始列车开始追赶货车，经过 2216 秒的时间完全超过货车，这一过程中追及的路程为货车12 分钟走的路程加上列车的车长，所以列车的长度为20152216 15 720 280 ( 米 ) ，那么铁桥的长度为1060 280780 ( 米 ) ，货车的长度为1260780480(米)【补充1】马路上有一辆车身长为15 米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时18 千米马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑某一时刻，汽车追上了甲，6 秒钟后汽车离开了甲； 半分钟之后， 汽车遇到了迎面跑来的乙； 又过了 2 秒钟

24、汽车离开了乙 问再过多少秒以后甲、乙两人相遇车走 30秒车走 6秒乙甲乙二人的甲走 32秒 甲走 6秒甲乙走2秒间隔距离【分析】 车速为每秒： 米 ) ，由“某一时刻，汽车追上了甲，6 秒钟后汽车离开了甲”，可知这是一个追及过程，追及路程为汽车的长度，所以甲的速度为每秒： （5 6 15） 6 2.5 ( 米 ) ；而汽车与乙是一个相遇的过程，相遇路程也是汽车的长度，所以乙的速度为每秒：（15 5 2） 2 2.5 ( 米 ) 汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：（52.5）（0.5 60 2） 80 ( 米 ) ，甲、乙相遇时间：80 （2.5 2.5） 16 ( 秒

25、 ) 【补充 2】甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8 秒钟，离甲后5 分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7 秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇【分析】 火车开过甲身边用8 秒钟，这个过程为追及问题：火车长=（ V 车-V 人）× 8；火车开过乙身边用7 秒钟，这个过程为相遇问题火车长 =（ V 车 +V 人）× 7. 可得8（ V 车 - V 人） =7（ V 车 +V 人），所以 V 车 =l 5V 人 . 甲乙二人的间隔是：车走308 秒的路 -人走308 秒的路，由车速是人速的15 倍，所以甲乙二人间隔15×308 -

26、308=14×308 秒人走的路两人相遇再除以2 倍的人速所以得到7×308 秒 =2156 秒练习 1一列长 240 米的火车以每秒30 米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米【分析】 火车过桥时间为1分钟60 秒，所走路程为桥长加上火车长为60301800 ( 米 ) ，即桥长(米)练习 2小红站在铁路旁，一列火车从她身边开过用了21 秒这列火车长630 米，以同样的速度通过一座大桥，用了分钟这座大桥长多少米【分析】 因为小红站在铁路旁边没动，因此这列火车从她身边开过所行的路程就是车长，所以，这列火车的速度为： 63

27、0÷21=30(米/ 秒 ) ，大桥的长度为： 30×× 60)-630=2070( 米 ) 练习 3一列火车长450 米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔3 米，这列火车从车头到第1棵树到车尾离开第101棵树用了 0.5 分钟这列火车每分钟行多少米【分析】 第 1棵树到第101 棵树之间共有100 个间隔，所以第1棵树与第101 棵树相距3100300 ( 米) ，火车经过的总路程为：450300750 (米 ) ，这列火车每分钟行7500.51500 ( 米) 练习 4一列火车长200 米，通过一条长430 米的隧道用了42秒，这列火车以同样的速度通过某站台用

28、了25 秒钟，那么这个站台长多少米【分析】 火车速度为：（200430） 4215 ( 米 / 秒 ) ，通过某站台行进的路程为：1525375 ( 米 ) ，已知火车长，所以站台长为375200175 ( 米)练习 5小新以每分钟10 米的速度沿铁道边小路行走， 身后一辆火车以每分钟100 米的速度超过他，从车头追上小新到车尾离开共用时4 秒，那么车长多少米 过了一会，另一辆货车以每分钟100 米的速度迎面开来，从与小新相遇到离开，共用时3 秒那么车长是多少【分析】 这是一个追击过程，把小新看作只有速度而没有车身长( 长度是零 ) 的火车根据前面分析过的追及问题的基本关系式：(A 的车身长B 的车身长)(A 的车速B的车速 ) = 从车头追上到车尾离开的时间，在这里，B 的车身长车长( 也就是小新) 为 0 ，所以车长为：（10010）4360(米)；这