第3章线性弹性

1、第第3章章 线性弹性线性弹性1.1.虎克定律与弹性常数虎克定律与弹性常数 线性弹性线性弹性( (或虎克弹性或虎克弹性) )符合符合: =c c为弹性常数。为弹性常数。 1.1 拉伸或单轴压缩拉伸或单轴压缩 =E E为常数，称为杨氏模量或拉伸模量。为常数，称为杨氏模量或拉伸模量。 D=1/E =D D称为拉伸柔量。称为拉伸柔量。 =- / 表示材料在拉伸时材料纵向应变与横表示材料在拉伸时材料纵向应变与横向应变的比值之负数。向应变的比值之负数。1.2 各向同性压缩各向同性压缩 材料的应变为其体积分数变化材料的应变为其体积分数变化 V/V 所加的应力所加的应力 P=-K V/V K为弹性常数，称为体

2、积模量。为弹性常数，称为体积模量。 B=1/KB称为体积柔量。称为体积柔量。 V/V=-BP由于由于 V/V =3 ，故，故: P=-3K 1.3 简单剪切实验简单剪切实验 =G G为弹性常数，称为剪切模量。为弹性常数，称为剪切模量。 J=1/G =J 2. 线性弹性变形的特点线性弹性变形的特点n变形小变形小n变形无时间依赖性变形无时间依赖性n变形在外力撤除后完全回复变形在外力撤除后完全回复n无能量损失无能量损失n应力与应变成线性关系应力与应变成线性关系 =E 图图 3-1 线性弹性变形线性弹性变形3. 弹性常数之间的关系弹性常数之间的关系 四个弹性常数：四个弹性常数：E，K，G和和 ，其中，

3、其中只有两个量是独立的，即表示材料的线弹只有两个量是独立的，即表示材料的线弹性只需要其中两个量。性只需要其中两个量。 应力的每个张量分量与所有的应变张应力的每个张量分量与所有的应变张量分量之间有线性关系。即量分量之间有线性关系。即: txx=a11exx+ a12exy+ a13exz+ a22eyy xx=a11txx+ a12txy+ a13txz+ a22tyy 线弹性理论的基本方程：线弹性理论的基本方程： txx=2Gexx+(K-2/3G)(exx+eyy+ezz) tyy=2Geyy+(K-2/3G)(exx+eyy+ezz) tzz=2Gezz+(K-2/3G)(exx+eyy+

4、ezz) txy=Gexy tyz=Geyz txz=Gexz式中式中:只有两个材料常数只有两个材料常数G和和K, (exx+eyy+ezz) 为膨胀分数为膨胀分数( )。3.1 各向同性压缩各向同性压缩 txx=2Gexx+(K-2/3G)3 =3K txx= tyy=tzz=3K txy=txz=tyz=03.2 简单拉伸简单拉伸 txx=(K+4/3G) -2(K-2/3G) tyy=tzz=(K+4/3G) -2(K-2/3G) txy=txz=tyz=0在简单拉伸中，在简单拉伸中，tyy= tzz= 0。所以。所以, 从从 tyy=tzz=(K+4/3G) -2(K-2/3G) 有有

5、: / = =(3K-2G)/2(3K+G) 又又 tx=E 。把该式与。把该式与 txx=(K+4/3G) -2(K-2/3G) 联立，则有：联立，则有： E=9KG/(3K+G)3.3 简单剪切简单剪切 txy=tyx=G txx=tyy=tzz=0 表表3-1列出了四个弹性常数之间的关系。列出了四个弹性常数之间的关系。表表 3-1 弹性常数之间的关系弹性常数之间的关系K,GG, E, E,GKK2G(1+ )/3(1-2 )E/3(1-2 )EG/3(3G-E)E9KG/(3K+G)2(1+ )EEGGGE/2(1+ )G (3K-2G)/(6K+2G)E/(2G-1)由于由于K，E和和

6、G必须大于必须大于0，因此：，因此： -1 0.5 0 E/G 3又由于又由于 必须大于必须大于0，因此：，因此： 0 0.5 2 E/G3证明：证明： 当当 0 K。 当当 0 K。 当当 1/2 1/3 时，时，E K。 当当 =0.5时，时，E=3G。4. 聚合物的弹性模量聚合物的弹性模量 4.1 弹性模量谱弹性模量谱 聚合物与其它材料相比，弹性模量宽，聚合物与其它材料相比，弹性模量宽，可相差可相差34数量级数量级( (如图如图 3-2所示所示) )。图图3-2 弹性模量弹性模量4.2 聚合物弹性模量与温度的关系聚合物弹性模量与温度的关系n温度对体积模量影响小温度对体积模量影响小n拉伸和

7、剪切模量对温度依赖性大拉伸和剪切模量对温度依赖性大( (如图如图3-3)3-3)图图 3-3 无定型线形聚合物的拉伸模量无定型线形聚合物的拉伸模量-温度曲温度曲线线 交联聚合物的拉伸模量与温度的关系交联聚合物的拉伸模量与温度的关系 ( (如图如图3-4)3-4)图图3-4 交联聚合物交联聚合物( (橡胶橡胶) )的拉伸模量与温度的关系的拉伸模量与温度的关系图图3-5 结晶线性聚合物的拉伸模量结晶线性聚合物的拉伸模量-温度曲线温度曲线 4.3 模量的分子量依赖性模量的分子量依赖性 如如图图3-63-6所示，分子量越高所示，分子量越高(AB C)，橡胶平台越宽，玻璃化温度不变。橡胶平台越宽，玻璃化

8、温度不变。 结晶线形聚合物的拉伸模量与温度的结晶线形聚合物的拉伸模量与温度的 关系曲线关系曲线( (如图如图3-5)3-5)。 图图3-6 无定型线形聚合物的拉伸模量无定型线形聚合物的拉伸模量-分子量曲线分子量曲线4.4 交联度对拉伸模量的影响交联度对拉伸模量的影响图图3-7 交联聚合物交联聚合物( (橡胶橡胶) )的拉伸模量的拉伸模量-分子量的关系分子量的关系4.5 结晶度的影响结晶度的影响图图3-7 3-7 结晶线形聚合物的拉伸模量结晶线形聚合物的拉伸模量温度曲温度曲线线 5 5 线弹性的适应范围线弹性的适应范围 大部分材料只有在形变很小时才符合线大部分材料只有在形变很小时才符合线弹性理论

9、。弹性理论。(1) (1) 金属、陶瓷、结晶体、玻璃态材料。金属、陶瓷、结晶体、玻璃态材料。 (2)(2) 聚合物聚合物 几乎所有的聚合物在受瞬时应力作用几乎所有的聚合物在受瞬时应力作用 时；时； 交联聚合物、线型和支链聚合物；交联聚合物、线型和支链聚合物； 浓的悬浮体在受较小的切应力时也符浓的悬浮体在受较小的切应力时也符 合线弹性。合线弹性。 6 6 线弹性变形的热力学分析线弹性变形的热力学分析 讨论弹性力和内能变化的关系讨论弹性力和内能变化的关系 以拉伸试验为例：以拉伸试验为例： 产生产生dl的变形，外力的变形，外力f作的功为作的功为:dWfdl 由热力学第一定律得：由热力学第一定律得：式

10、中，式中，w为外界对单位体积材料所做的功，为外界对单位体积材料所做的功，对上式积分：对上式积分：dUdQdW0dll d00dWAl dVd 0dWdwdE dV 212wE 在拉伸试验中：在拉伸试验中：所以：所以：如应力为如应力为txx，则有：，则有：对于可逆过程，对于可逆过程， 01()xxWtV dGdUPdVVdPTdSSdTdQ TdSPdVVdPSdTdW,dQTdSdGVdPSdTPdVdWdWPdVdWdGVdPSdTdWGHTSUPVTS所以所以 因为因为式中，式中，dW为除膨胀功以外的有用功。为除膨胀功以外的有用功。所以所以用自由能用自由能(G)表示：表示：对对等温等压等温

11、等压可逆过程可逆过程:,),(TGVP0dGdWV dw 0 xxdGVdPSdTV t d,),(PGST ,0()P TxxGV t取取G对对 的偏导数，则：的偏导数，则：,0011()()()()xxP TP TP TP TGUVStPTVV对于简单拉伸试验有：对于简单拉伸试验有：因此因此由于由于 很小，所以可认为很小，所以可认为txx主要由两部分主要由两部分组成，即组成，即所以用所以用 表示：表示： ,01()()xxP TP TUStTV,0()SxxP TTStV ,()P TVUxxtSxxtUxxtSxxt,01()UxxP TUtV其中第一项表示内能对拉伸应力的贡献，其中第一

12、项表示内能对拉伸应力的贡献， 第二项表示熵变化对拉伸应力的贡献，用第二项表示熵变化对拉伸应力的贡献，用 表示：表示：判断判断 和和 的大小：的大小： 实验证明，在线弹性范围内，在实验证明，在线弹性范围内，在 保持不保持不变时，变时，txx随温度几乎不变，即随温度几乎不变，即 很小，很小， 也很小。所以，线弹性变形时产生的弹性力也很小。所以，线弹性变形时产生的弹性力主要是由于内能的变化，而不是熵变产生的。主要是由于内能的变化，而不是熵变产生的。线弹性也称为能弹性线弹性也称为能弹性。,0()()SxxxxP TPtTStTVT xxP, t()T2,0,()()xxT PPtGSVTT Sxxt所

13、以所以7. 弹性模量的测定弹性模量的测定7.1 基本原则基本原则 (1) 试样的形状必须与在理论推导的一试样的形状必须与在理论推导的一 致；致； (2) 了解材料的特性；了解材料的特性； (3) 实验方法和仪器的选择决定于研究的实验方法和仪器的选择决定于研究的 目的。目的。7.2 位移位移 (1) 传感器传感器 (2) 测微计测微计 (3) 线性可变示差变换器线性可变示差变换器 (4) 光杠杆光杠杆7.3 力力7.4 单向拉伸测定拉伸模量单向拉伸测定拉伸模量7.5 弯曲试验测定杨氏模量弯曲试验测定杨氏模量( (如表如表3-2)3-2)7.6 扭转实验测定剪切模量扭转实验测定剪切模量( (如图如

14、图3-8)3-8) 试样是圆柱形，试样置于上下两个平试样是圆柱形，试样置于上下两个平板之间，一端固定，另一端施加一个力矩板之间，一端固定，另一端施加一个力矩L使试样扭转一定的角度使试样扭转一定的角度 ，切应变，切应变 和剪切和剪切模量分别为：模量分别为： 图图 3-8 扭转实验扭转实验,rz42LhGR 表表3-2 弯曲试验测定杨氏模量弯曲试验测定杨氏模量 位移位移原始长度原始长度计算式计算式 L=L-L0长度长度L0，截面积，截面积Ay长度长度L0，宽度，宽度C，厚度厚度Dy长度长度L0，半径，半径ry长度长度L0，宽度，宽度C，厚度厚度Dy长度长度L0，半径，半径r0/F AEL L303

15、4FECD y30443FLEr y3034FLECD y30412FLEr y试样形状试样形状8. 聚合物的体积模量聚合物的体积模量(K) 8.1 在高于在高于Tg和和Tm时聚合物的体积模量时聚合物的体积模量 8.2 玻璃态无定形聚合物的体积模量玻璃态无定形聚合物的体积模量 8.3 结晶聚合物的体积模量结晶聚合物的体积模量 8.4 偏离线弹性的情况偏离线弹性的情况9. 多相系统多相系统-加填料的聚合物加填料的聚合物 加入填料的聚合物是一个多相体系，加入填料的聚合物是一个多相体系，聚合物为连续相聚合物为连续相(Continuous phase)，填料，填料是分散相是分散相(Dispersion

16、 phase)，这种多相系，这种多相系统也可称为复合材料统也可称为复合材料(Composite)。9.1 球形的弹性填料球形的弹性填料 (1) 实验结果实验结果 体积模量体积模量(K)、剪切模量剪切模量(G)及泊松比及泊松比( )与填料颗粒的大小无关，而随填料浓度的与填料颗粒的大小无关，而随填料浓度的增加而增加。但复合材料在玻璃态和高弹增加而增加。但复合材料在玻璃态和高弹态增加的程度不同。态增加的程度不同。 (2) 理论理论 球形弹性填料与线弹性的聚合物组成球形弹性填料与线弹性的聚合物组成的复合材料的弹性模量公式的复合材料的弹性模量公式(Kemer提出提出)：条件：条件：假定聚合物完全粘附填料

17、假定聚合物完全粘附填料 0 01 1001001001034343434KKKGKGKKGKG01 1001000 1000010(75)(8 10)15(1)(75)(8 10)15(1)GGGGGGG式中：式中：K0，G0， 0和和K1，G1分别为聚合物和填料的分别为聚合物和填料的弹性常数；弹性常数； 0和和 1=(1- 0)为聚合物和填料在复合材为聚合物和填料在复合材料中的体积分数。料中的体积分数。 如果聚合物是高弹态材料，则如果聚合物是高弹态材料，则K0 G0， =0.5，同时，如果填料的，同时，如果填料的K1与与K0有相同数有相同数量级或更大，则量级或更大，则K1 G0，复合材料的，

18、复合材料的K近似近似为：为：011 100101BBBKKK如果如果G1 G0，则有：，则有：0102015(1)1810GG如果如果 1 1， K0 G0， =0.5，则：，则：如果填料的如果填料的G1 G0，则有：则有：01(12.5 )GG2011(12.514.1)GG0102015(1)11175GG当当 较大时，则有如下公式较大时，则有如下公式(Guth-Smallwood提出如下公式：提出如下公式：上式适应橡胶态聚合物填充玻璃态聚合物上式适应橡胶态聚合物填充玻璃态聚合物所组成的复合材料所组成的复合材料 ，或泡沫塑料，其中气，或泡沫塑料，其中气体为填料。体为填料。 Eilers-V

19、an Dijck经验式：经验式： 对于聚合物不能很好粘附填料，对于聚合物不能很好粘附填料， Nielsen提出提出:1011.2511 1.28G G00(1)GG10. 结晶聚合物结晶聚合物 结晶聚合物是由无定形区和结晶区组结晶聚合物是由无定形区和结晶区组成的，而结晶区又是由无数很小的微晶组成的，而结晶区又是由无数很小的微晶组成的。成的。 10.1 聚合物微晶弹性模量的测定聚合物微晶弹性模量的测定 方向性方向性( (与链相同的方向与链相同的方向E1和与链垂直和与链垂直 的方向的方向E2) ) E1 E2 不能直接测定不能直接测定 10.2 聚合物弹性模量的理论计算聚合物弹性模量的理论计算 通

20、过通过X射线衍射法。射线衍射法。 10.3 结晶聚合物弹性模量的理论计算结晶聚合物弹性模量的理论计算 (1) 与结晶度的关系与结晶度的关系 E随结晶度增大而升高。不同结晶随结晶度增大而升高。不同结晶 聚合物有所不同。聚合物有所不同。 (2) 与温度的关系与温度的关系 G，K， 随温度升高有所降低，没随温度升高有所降低，没 有无定形聚合物明显；在绝对零度时，有无定形聚合物明显；在绝对零度时， 各种模量变得与温度无关。各种模量变得与温度无关。 本章小结本章小结 1.1 拉伸或单轴压缩拉伸或单轴压缩 拉伸模量或杨氏模量拉伸模量或杨氏模量(E) 拉伸柔量拉伸柔量(D) 相互关系相互关系 E=1/DE=

21、1/D 泊松比泊松比 =-=- / / 1. 线性弹性线性弹性1.2 各向同性压缩各向同性压缩 体积模量体积模量(K); 体积柔量体积柔量(B) 体积变化分数体积变化分数 V/V 相互关系相互关系 K=1/B P=-K V/V；P=-3K 1.3 简单剪切实验简单剪切实验 剪切模量剪切模量(G) 剪切柔量剪切柔量(J) 相互关系相互关系 J=1/G2. 2. 弹性常数之间的关系弹性常数之间的关系 2.1 简单拉伸实验简单拉伸实验 txx=E ; txy=tyz=txz=0 tyy=tzz=0 2.2 同性压缩实验同性压缩实验 txx=tyy=tzz=3K ; txy=tyz=txz=0 2.3 简单剪切实验简单剪切实验 txx=tyy=tzz=0; txy=tyx=G txz=tzx=tyz=tyz=03. 3. 聚合物的弹性模量聚合物的弹性模量3.1 聚合物弹性模量与温度的关系聚合物弹性模量与温度的关系 无定型线形聚合物无定型线形聚合物 交联聚合物交联聚合物( (橡胶橡胶) ) 结晶线性聚合物结晶线性聚合物3.2 模量的分子量依赖性模量的分子量依赖性 无定型线形聚合物无定型线形聚合物3.3 交联度对拉伸模量的影响交联度对拉伸模量的影响3.4 结晶度的影响结晶度的影