高等数学第七章07-04

1、上一页上一页下一页下一页1湘潭大学数学与计算科学学院 王文强第四节、一阶线性微分方程第四节、一阶线性微分方程一、线性方程一、线性方程二、伯努利方程二、伯努利方程三、小结三、小结上一页上一页下一页下一页2湘潭大学数学与计算科学学院 王文强)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当方程称为方程称为齐次的齐次的.方程称为方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当一、线性方程一、线性方程上一页上一页下一页下一页3湘潭大学数学与计算科学学院 王文强. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,)(ln1CdxxPy

2、 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)上一页上一页下一页下一页4湘潭大学数学与计算科学学院 王文强2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 上一页上一页下一页下一页5湘潭大学数学

3、与计算科学学院 王文强常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy上一页上一页下一页下一页6湘潭大学数学与计算科学学院 王文强对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxPeCyd)( 齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解 xxPCed)(2. 解非齐次方程解非齐次方程)()(ddxQyxPxy 用用常数变易法常数变

4、易法:,)()(d)( xxPexuxy则则 xxPeud)()(xP xxPeud)()(xQ 故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)( CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即即即作变换作变换 xxPeuxPd)()( xxPexQxud)()(ddCxexQuxxP d)(d)(两端积分得两端积分得上一页上一页下一页下一页7湘潭大学数学与计算科学学院 王文强.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx

5、解解例例1 1上一页上一页下一页下一页8湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 上一页上一页下一页下一页9湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为

6、所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 上一页上一页下一页下一页10湘潭大学数学与计算科学学院 王文强在闭合回路中在闭合回路中, 所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0例例3. 有一电路如图所示有一电路如图所示, ,sintEEm 电动势为电动势为电阻电阻 R 和电和电. )(ti LERK解解: 列方程列方程 .已知经过电阻已知经过电阻 R 的电压降为的电压降为R i 经过经过 L的电压降为的电压降为tiLdd因此有因此有,0dd iRtiLE即即LtEiLRtim sindd 初始条件初始条件: 00 ti由回路电压定律由回路电压定律:其中电源其中电源求电流求电流感感 L

7、都是常量都是常量,上一页上一页下一页下一页11湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 LERK解方程解方程:LtEiLRtim sindd 00 tiCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(由初始条件由初始条件: 00 ti得得222LRLECm )(ti dtLRe tLEm sintLRmeCtLtRLRE )cossin(222 tetLRdd C 利用一阶线性方程解的公式可得利用一阶线性方程解的公式可得上一页上一页下一页下一页12湘潭大学数学与计算科学学院 王文强tLRmeLRLEti 222)( )cossin(222tLtRLREm tLRmeLRLEti 222)( )sin(2

8、22 tLREm暂态电流暂态电流稳态电流稳态电流则则令令,arctanRL LERK因此所求电流函数为因此所求电流函数为解的意义解的意义: 上一页上一页下一页下一页13湘潭大学数学与计算科学学院 王文强伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.上一页上一页下一页下一页14湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,

9、1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn上一页上一页下一页下一页15湘潭大学数学与计算科学学院 王文强.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以y例例 3上一页上一页下一页下一页16湘

10、潭大学数学与计算科学学院 王文强例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 上一页上一页下一页下一页17湘潭大学数学与计算科学学院 王文强;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将

11、xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 上一页上一页下一页下一页18湘潭大学数学与计算科学学院 王文强;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为上一页上一页下一页下一页19湘潭大学数学与计算科学学院 王文强三、小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程3.伯努利方程伯努利方程)(xyfy ;xuy 令令;)()( dxxPex

12、uy令令;1zyn 令令上一页上一页下一页下一页20湘潭大学数学与计算科学学院 王文强思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1( )ln(lndd)2(xyyxyx 0d2d)()3(3 yxxxy0d)(d2)4(3 yxyxyyxxyxydd)2ln()5( 提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd 齐次方程齐次方程221dd2xyxxy 线性方程线性方程221dd2yxyyx 线性方程线性方程2sin2ddyxxyxxy 伯努利伯努利方程方程上一页上一页下一页下一页21湘潭大学数学与计算科学学院 王文强P28

13、1 1 (6) , (9) ; 2 (5) ; 7 (3) , (5) 作业作业上一页上一页下一页下一页22湘潭大学数学与计算科学学院 王文强备用题备用题1. 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0 提示提示:令令txu uufxxfxd)(sin)(0 则有则有xxfxfcos)()( 0)0( f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf 上一页上一页下一页下一页23湘潭大学数学与计算科学学院 王文强2. 设有微分方程设有微分方程, )(xfyy 其中其中 )(xf10,2 x1,0 x试求此方程满

14、足初始条件试求此方程满足初始条件00 xy的连续解的连续解.解解: 1) 先解定解问题先解定解问题10, 2 xyy00 xy利用通解公式利用通解公式, 得得 xeyd 1dd2Cxex )2(1Ceexx xeC 12利用利用00 xy得得21 C故有故有)10(22 xeyx上一页上一页下一页下一页24湘潭大学数学与计算科学学院 王文强2) 再解定解问题再解定解问题1,0 xyy1122)1( eyyx此齐次线性方程的通解为此齐次线性方程的通解为)1(2 xeCyx利用衔接条件得利用衔接条件得)1(22 eC因此有因此有)1()1(2 xeeyx3) 原问题的解为原问题的解为y10),1(

15、2 xex1,)1(2 xeex上一页上一页下一页下一页25湘潭大学数学与计算科学学院 王文强( 雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家瑞士数学家, 位数学家位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年年 版了他的巨著版了他的巨著猜度术猜度术,上的一件大事上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多他家祖孙三代出过十多 1694年他首

16、次给出了直角坐年他首次给出了直角坐 1713年出年出 这是组合数学与概率论史这是组合数学与概率论史此外此外, 他对他对双纽线双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究悬链线和对数螺线都有深入的研究 .上一页上一页下一页下一页26湘潭大学数学与计算科学学院 王文强思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 上一页上一页下一页下一页27湘潭大学数学与计算科学学院 王文强思考题解答思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycos

17、cossin2cos .cos2cosyCy 上一页上一页下一页下一页28湘潭大学数学与计算科学学院 王文强一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy练练 习习 题题上一页上一页下一页下一页29湘潭大学数学与计算科学学院 王文强三、设有一质三、设有一质的的量为量为 m质点

18、作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系 .四、四、 求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.上一页上一页下一页下一页30湘潭大学数学与计算科学学院 王文强五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . .上一页上一页下一页下一页31湘潭大学数学与计算科学学院 王