正态分布的概率密度与分布函数(修)

1、上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回第四章 正态分布4.1 4.1 正态分布的概率密度与分布函数正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回正态分布是最常见因而也是最重要的分布正态分布是最常见因而也是最重要的分布: :1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；2. 在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布近似计算；3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的和近似地服从正态分布；4. 数理统计中:(1)某些常用分布是由正态分布推导得到的.(2) 统计推断中常用正态分布的统计量.4.1 正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页

2、概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回 定义定义 若随机变量X的概率密度为,e21)(222)(xxfx正态分布正态分布(或高斯分布高斯分布).记作：).,(2NX4.1 正态分布的概率密度与分布函数 正态分布的定义正态分布的定义).1 ,0( NX当, 01时称X服从标准正态分布标准正态分布.特别，记为：其中及都是常数，. 0则称随机变量X服从上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回正态分布),(2N的概率密度)(xf的图形：分布曲线的特征：分布曲线的特征：1.关于直线x对称；2.在x处达到最大值；3.在x处有拐点；4.x时曲线以x轴为渐近线.4.1 正态分布的概率密度与分

3、布函数 正态分布的概率密度与分布函数正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回5. 固定,改变.则图形沿x轴平移而不改变其形状.6. 固定改变,则当很小时，曲线的形状与一尖塔相似；当值增大时，曲线将趋于平坦.4.1 正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回正态分布),(2N的分布函数为.,e21)(222)(xdxxFxx4.1 正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回标准正态分布的概率密度：,e21)(22xx;x标准正态分布的分布函数：.e21)(22dtxxt4.1

4、 正态分布的概率密度与分布函数)(x的性质：的性质：; 5 . 0)0(; 1)().(1)(xx上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回 例例11 设X服从标准正态分布, ) 1 ,0(N求);96. 1() 1 (XP).5 . 26 . 1()2(XP解：解：)96. 1(XP)96. 1 (;975. 0)5 . 26 . 1(XP)6 . 1()5 . 2()6 . 1 (1 )5 . 2()6 . 1 (1)5 . 2(9452. 019938. 0.9390. 04.1 正态分布的概率密度与分布函数) 1 ()2(上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返

5、回 定理定理 , ),(2NX设)(21xXxP).()(12xx证：证：)(21xXxPdxxxx21222)(e21则4.1 正态分布的概率密度与分布函数dtxxt2122e21dtxt222e21dtxt122e21).()(12xxxt 一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回例例2 设随机变量X服从正态分布, )2 ,1 (2N求概率).4 . 26 . 1(XP解：解：)4 . 26 . 1(XP)216 . 1()214 . 2()3 . 1()7 . 0()3 . 1 (1 )7 . 0()9032. 01 (7580.

6、 0. 2166. 04.1 正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回 例例3 设随机变量X服从正态分布, ),(2N在区间),(kk内的概率，这里.,3 ,2 ,1k解：解：)(kXP)(kXkP)()(kk)()(kk)(1 )(kk, 1)(2k.,3 ,2 ,1k4.1 正态分布的概率密度与分布函数求X落上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回查附表2得)(XP1) 1 (2,6826. 0)2(XP1)2(2,9544. 0)3(XP1)3(2.9973. 0说明：若, ),(2NX则)3(XP)3(1XP9973. 01002

7、7. 0.003. 04.1 正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回由此可知X落在)3,3(之外的概率小于3， 根据小概率事件的实际不可能性原理， 通常把区间这一原理叫做“三倍标准差原理三倍标准差原理”).3(法则或4.1 正态分布的概率密度与分布函数可能的取值)3,3(看作是随机变量X的实际区间.上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回例例4某机器生产的螺栓的长度（cm)服从正态分布 )06. 0,05.10(2N,规定长度在范围12. 005.10内为正品，求产品的正品率。解)06. 0,05.10(2NX)12. 005.10(x

8、P)206. 005.10(xP)2()2(1)2(29544. 0故产品的正品率为9544. 0上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回例例5公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在01. 0以下来设计的。 设男子的身高).7,168(2NX问车门的高度应如何确定？解 设车门高度为),(cmx则01. 0)( xXP99. 0)( xXP,99. 0)71687168(xXP,99. 09901. 0)33. 2(33. 27168x31.184x故车门高度应设计为31.184厘米。于是即由于可取,99. 0)7168(x上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返

9、回例例6设随机变量X服从标准正态分布, ) 1 ,0(N机变量函数2XY 的概率密度.解：解：已知随机变量 X的概率密度)(xfX,e2122x.x先求随机变量Y的分布函数：)(yFY)(yYP).(2yXP当0y时，;0)(yFY4.1 正态分布的概率密度与分布函数求随上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回当0y时，)(yFY)(yXyPdxyyx22e21所以，Y的分布函数为 .0,0;0,e22022yydxyx)(yFY4.1 正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回.0,0;0,e21221yyyy)(yfY所得的分布称为自由

10、度为1的2分布.4.1 正态分布的概率密度与分布函数求导得到的概率密度Y上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回1.正态分布),(2N的概率密度：,e21)(222)(xxf.x2.标准正态分布) 1 ,0(N的概率密度与分布函数：)(x,e2122x.x4.1 正态分布的概率密度与分布函数小小 结结.e21)(22dtxxt上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回3.标准正态分布分布函数的性质：).(1)(xx4.利用)(x求正态变量落在某区间内的概率：则若),(2NX)(21xXxP).()(12xx4.1 正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统

11、计教程（第四版）目录结束返回补充例题补充例题 例例1 测量到某一目标的距离时发生的随机误差)(mX具有概率密度,e2401)(3200)20(2xxfm30的概率.解：解：正态分布, )40,20(2N于是4.1 正态分布的概率密度与分布函数求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过按题意， 每次测量时发生的随机误差)(mX服从上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回)30(XP)3030(XP)402030()402030()25. 1()25. 0()8944. 01 (5987. 0.4931. 0所以， 在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过m30的概率3)4931.

12、01 (1p.8698. 04.1 正态分布的概率密度与分布函数)25. 1 (1 )25. 0(上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回例例2已知某机械零件的直径(mm)服从正态分布, )6 . 0 ,100(2N规定直径在(mm)2 . 1100内为合格品.求这种机械零件的不合格品率.解：解：设随机变量X表示这种机械零件的直径,(mm)则, )6 . 0 ,100(2NX按题意， 不合格品率为4.1 正态分布的概率密度与分布函数)2 . 1100(XP)2 . 1100(1XP)26 . 0100(1XP)26 . 01002(1XP)2()2(1)9772. 01 (9772. 010456. 0%.56. 4