第十章变化的电磁场

1、 例例10-110-1 一长直导线中通有交变电流一长直导线中通有交变电流 ，式，式中中 表示表示瞬时电流，瞬时电流， 电流振幅，电流振幅， 角频率，角频率， 和和 是常量。在长直导线旁平行放置一矩形线圈，线圈平面是常量。在长直导线旁平行放置一矩形线圈，线圈平面与直导线在同一平面内。已知线圈长为与直导线在同一平面内。已知线圈长为 ，宽为，宽为 ，线圈近长直导线的一边离直导线距离为线圈近长直导线的一边离直导线距离为 。求任一瞬时。求任一瞬时线圈中的感应电动势线圈中的感应电动势tIIsin0 ablI0I0IablIxdx解：解：xIBo2某一瞬间，距离直导线某一瞬间，距离直导线x x处的磁处的磁感

2、应强度为感应强度为选顺时针方向为矩形线圈的绕行选顺时针方向为矩形线圈的绕行正方向，则通过图中阴影部分的正方向，则通过图中阴影部分的磁通量为磁通量为在该瞬时在该瞬时t，通过整个线圈的磁通量为，通过整个线圈的磁通量为dabatlIxlxIbaaoln2sind200由于电流随时间变化，通过线圈的磁通量也随时间由于电流随时间变化，通过线圈的磁通量也随时间变化，故线圈内的感应电动势为变化，故线圈内的感应电动势为00ddlnsind2dilIabttatmFewp骣+= -= -桫tabalIcosln200感应电动势随时间按余弦规律变化，其方向也随感应电动势随时间按余弦规律变化，其方向也随余余弦值的正

3、负作顺、逆时针转向的变化。弦值的正负作顺、逆时针转向的变化。dcos0 dbS=od2Il xxmp=所以，在维持导线向右匀速运动过程中，外力必须所以，在维持导线向右匀速运动过程中，外力必须克服安培力而作功，电源克服安培力而作功，电源（即导线（即导线MN）向回路中向回路中提供的电能来自于外界提供的机械能。提供的电能来自于外界提供的机械能。例例10-210-2 如图已知铜棒如图已知铜棒OA长长L=50m, ,处在方向垂直处在方向垂直纸面向内的均匀磁场（纸面向内的均匀磁场（B =0.01T)中，沿逆时针方向中，沿逆时针方向绕绕O O轴转动，轴转动，角速率角速率=100rad/s, 求铜棒中的动生求

4、铜棒中的动生电动势大小及方向。电动势大小及方向。如果是半径为如果是半径为50cm的铜盘以上的铜盘以上述角速度转动，求盘中心和边缘之间的电势差述角速度转动，求盘中心和边缘之间的电势差。lBvid)(d由此可得金属棒上总电动势为由此可得金属棒上总电动势为V39. 025 . 010001. 0d22210LBllBLi 在铜棒上距在铜棒上距O点为点为 处取线元处取线元 ，其方向，其方向沿沿O指向指向A，其运动速度，其运动速度的大小为的大小为 。llvld解解: : 显然显然 、 、 相互垂直，相互垂直，所以所以 上的动生电动势为上的动生电动势为ldvBldlvBdvAdlO由图可知，由图可知，Bv

5、的方向由的方向由A A指向指向O O，此即电动势的方向，此即电动势的方向V39. 0AoVV解法二：解法二：设铜棒在设铜棒在t时间内转过角度时间内转过角度。则这段。则这段时间内铜棒所切割的磁感应线数等于它所时间内铜棒所切割的磁感应线数等于它所扫过的扇形面积内所通过的磁通量，即扫过的扇形面积内所通过的磁通量，即22121BLLLB所以，铜棒中的电动势为所以，铜棒中的电动势为222121BLtBLti结果与上一解法完全相同结果与上一解法完全相同如果是铜盘转动，等效于无数铜棒并联，因此，铜盘如果是铜盘转动，等效于无数铜棒并联，因此，铜盘中心与边缘电势差仍为中心与边缘电势差仍为0.39V0.39V。此

6、为一种简易发电机。此为一种简易发电机模型。模型。例例10-310-3 如图，长直导线中电流为如图，长直导线中电流为I=10=10A，在其附近，在其附近有一长为有一长为l=0.2=0.2m的金属棒的金属棒MN，以速度，以速度v= =2m/s平行于平行于导线做匀速运动，如果靠近导线的一端导线做匀速运动，如果靠近导线的一端M 距离导线距离导线为为a= =0.1m，求金属棒中的动生电动势，求金属棒中的动生电动势。xladxvMNI解：解：金属棒上取长度元金属棒上取长度元dx，每一，每一dx处磁场可看作均匀的处磁场可看作均匀的xIB20因此，因此，dx小段上的动生电动势为小段上的动生电动势为0ddd2i

7、IBv xv xxmep=总的的动生电动势为总的的动生电动势为00ddln22aliiaIIalv xvxxammeepp+骣+=桫蝌V104 . 46 例例10-410-4 边长为边长为 的正方形线圈，在的正方形线圈，在磁感应强度磁感应强度为为 的磁场中绕轴转动，线圈铜线的电阻率的磁场中绕轴转动，线圈铜线的电阻率为为 , ,截面积截面积 ，共，共1010匝。匝。线圈转速为线圈转速为 ，转轴与磁场方向垂直。求（，转轴与磁场方向垂直。求（1 1）当）当线圈由其平面与磁场垂直而转过线圈由其平面与磁场垂直而转过30300 0时线圈内的动生电动时线圈内的动生电动势；（势；（2 2）线圈转动时的最大电动

8、势及该时刻线圈的位置；）线圈转动时的最大电动势及该时刻线圈的位置；（3 3）由图示位置开始转过）由图示位置开始转过1s1s时线圈内的动生电动势。时线圈内的动生电动势。cml5B0 84T.=81 710 m.r-=醋20 5mmS.=10r/sn =解：解： 取逆时针的绕行方向为正取逆时针的绕行方向为正方向，线圈平面与磁场方方向，线圈平面与磁场方向垂直时为计时起点向垂直时为计时起点(t=0),当线圈转过角时，当线圈转过角时，通过单匝线圈磁通量为通过单匝线圈磁通量为doacbvBvvBvneocoscos2BlBS设线圈转动角速度为n2nt2ddiNte= -()2dcos2dNBlnttp=（

9、1 1）当）当03022sin300 66ViNBln.ep=odoacbvBvvBvneo22sin2NBlnntpp=（2 2）当）当12sinnt即当即当 等位置时电动势等位置时电动势 最大最大90270qq=ooiVnNBli32. 122（3）当当t t=1s=1s时，时，02sin22nnNBli本题也可以将线圈看作由四段长为本题也可以将线圈看作由四段长为l的导线在磁场的导线在磁场中运动产生动生电动势之和。显然只有中运动产生动生电动势之和。显然只有ab和和cd两两边切割磁感应线产生电动势边切割磁感应线产生电动势2sin2sin2iiabicdlNBlvNBlteeeqww=+=2s

10、in2NBlnntpp= 例例10-510-5 在半径为在半径为 的无限长螺线管内部的磁场的无限长螺线管内部的磁场 随时间作线性变化（随时间作线性变化（ ） 时，求管内外时，求管内外的感生电场的感生电场 。ddBt= 常量iERB BEEEErR 解：解：由场的对称性，变化由场的对称性，变化磁场所激发的感生电场的电磁场所激发的感生电场的电场线在管内外都是与螺线管场线在管内外都是与螺线管同轴的同心圆。任取一电场同轴的同心圆。任取一电场线作为闭合回路。线作为闭合回路。LiLilElEddirE2SBdSt 12idEr dt 或 （1 1）当）当 时时Rr 的方向沿圆周切线，指向与圆周内的的方向沿

11、圆周切线，指向与圆周内的 成左旋关系。成左旋关系。tBddE BEEEErR2E2iBrrt E2irBt riERO（2 2）当）当 时时Rr 螺线管内外感生电场随离轴线距离的变化曲线螺线管内外感生电场随离轴线距离的变化曲线22SBBErdSRtt 22RBErt 例例10-610-6 在半径为在半径为R的圆柱形的圆柱形体积体积内内充满充满磁感应强度为磁感应强度为 B（t）的均匀磁场的均匀磁场, ,有一长度为有一长度为 l 的金属棒放在磁场中的金属棒放在磁场中, ,如图所示如图所示, ,设设dB/dt t为已知，求棒两端的感生电动势为已知，求棒两端的感生电动势. .解法解法1 1: :选闭合

12、回路选闭合回路 oab, ,方向为逆时针方向为逆时针diiLEre=rrdddaboiiioabErErEr= + +蝌rrrrrr0d0biaEr=+ +rrdddBStt= -= -rr221d24BBLSL Rtt抖= -=-抖rr方向为方向为abRoBILababe=解法解法2 2: :直接对感应电场积分直接对感应电场积分, ,方向为方向为ababdcos dbbiiiaaErEleq= =蝌rrcosd2dd22babbaarBlthBhBllttq=抖=抖蝌421222LRLtBLtBhRoBILab 例例10-710-7 由两个由两个“无限长无限长”的同轴圆筒状导体的同轴圆筒状导

13、体所组成的电缆，其间充满磁导率为所组成的电缆，其间充满磁导率为 的磁介质，的磁介质，电缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流电缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流 大小相等大小相等而方向相反。设内外圆筒的半径分别为而方向相反。设内外圆筒的半径分别为 和和 ，求电缆单位长度的自感。求电缆单位长度的自感。I1R2RII2R1Rrrdl 解：解： 应用安培应用安培环路定理，可知在内环路定理，可知在内圆筒之内以及外圆筒圆筒之内以及外圆筒之外的空间中磁感应之外的空间中磁感应强度都为零。在内外强度都为零。在内外两圆筒之间，离开轴两圆筒之间，离开轴线距离为线距离为 处的磁感处的磁感应强度为应强度为rrIB2在内外圆筒之间

14、，取如图所示的截面。在内外圆筒之间，取如图所示的截面。rrIlrBld2dd12ln2RRIl21d2dRRrrIlLI12ln2RRIlLrdlII2R1Rrrdl例例10-810-8 试分析有自感的电路中电流的变化。试分析有自感的电路中电流的变化。解：解： 由于线圈中自感的存在，当电路中电流改变时由于线圈中自感的存在，当电路中电流改变时，电路中会产生自感电动势。根据楞次定律，电路中会产生自感电动势。根据楞次定律，自感电动势总是要反抗电路中电流的变化。即自感电动势总是要反抗电路中电流的变化。即自感现象具有使电路中保持原有电流不变的特自感现象具有使电路中保持原有电流不变的特性，它使电路在接通和

15、断开时，电路中的电流性，它使电路在接通和断开时，电路中的电流不能突变，要经历一个短暂的过程才能达到稳不能突变，要经历一个短暂的过程才能达到稳定。定。下面以下面以RL电路中接通和断开后短暂过程中电流电路中接通和断开后短暂过程中电流的变化为例进行说明的变化为例进行说明RL1S2S如图电路中，如图电路中，S1 1闭合而闭合而S2 2断开断开时，时， RL电路接通电源后，由电路接通电源后，由于自感作用，电流增大过程中于自感作用，电流增大过程中出现自感电动势，它与电源电出现自感电动势，它与电源电动势共同决定电路中的电流大动势共同决定电路中的电流大小，即小，即ddILIRte-=ddILIRte=+分离变

16、量分离变量ddIRtLIRe=-起始条件：起始条件：00It时00ddItIRtLIRe=-蝌tLReRI1tLReRI1这就是这就是RL电路接通电源后电路中电流的增长规律，电路接通电源后电路中电流的增长规律，可以看出电路接通后电路中的电流不是一下子就达到可以看出电路接通后电路中的电流不是一下子就达到稳定值稳定值 ，而是由零逐渐增大到这一最大，而是由零逐渐增大到这一最大值，与无自感相比，有一个时间的延迟。值，与无自感相比，有一个时间的延迟。RIImax0可以看出当可以看出当 RLteRI11063. 063. 0IR即经即经L/R时间电流时间电流达到稳定值的达到稳定值的63%63%RL称为称为

17、RL电路的电路的时间常数时间常数或或弛豫时间弛豫时间, ,衡衡量自感电路中电流变化快慢的物理量。量自感电路中电流变化快慢的物理量。当上述电路中电流达到稳定值当上述电路中电流达到稳定值 后，迅速闭后，迅速闭合合S2 2而断开而断开S1 1，则由于自感作用，电路中的电流不则由于自感作用，电路中的电流不会迅速减为零。设迅速闭合会迅速减为零。设迅速闭合S2 2而断开而断开S1 1后某一瞬间后某一瞬间电路中的电流和自感电动势分别为电路中的电流和自感电动势分别为RI0, IddILt-ddILIRt-=初始条件：初始条件：RIt00时，tLRtLReIeRI0tLRtLReIeRI0这就是这就是RL电路断

18、开电源后电路中电流的衰变规律，可电路断开电源后电路中电流的衰变规律，可以看出电路接通后电路中的电流逐渐减小，经以看出电路接通后电路中的电流逐渐减小，经 后，电流降为原来的后，电流降为原来的37%37%。RL上面的电路中，断开上面的电路中，断开S1 1后如不接通后如不接通S2 2，由于开关两接，由于开关两接头之间空气隙电阻很大，电流将骤然降为零。头之间空气隙电阻很大，电流将骤然降为零。d dI/d/dt将会很大，使得电路中自感电动势很大，常使电键两将会很大，使得电路中自感电动势很大，常使电键两端出现电火花，甚至出现电弧。在强电流电路或含有端出现电火花，甚至出现电弧。在强电流电路或含有铁磁性物质的

19、电路中尤为显著。为避免出现事故，常铁磁性物质的电路中尤为显著。为避免出现事故，常采用逐渐增加电阻的方法断开电路。采用逐渐增加电阻的方法断开电路。形状规则回路系互感的计算形状规则回路系互感的计算例例10-910-9一密绕的螺绕环，单位长度的匝数为一密绕的螺绕环，单位长度的匝数为n=2000m-1, ,环的面积为环的面积为S=10cm2, ,另有一另有一N=10=10匝的小线圈绕在匝的小线圈绕在环上，如图所示环上，如图所示.(1.(1）求两个环间的互感；（）求两个环间的互感；（2 2）当螺）当螺绕环中的电流变化率为绕环中的电流变化率为dI/dt=10A/s时，求在小线圈中时，求在小线圈中产生的互感

20、电动势的大小。产生的互感电动势的大小。NSn解：解：（1 1）设螺绕环中通有电流）设螺绕环中通有电流I, ,则则螺绕环中磁感应强度大小为螺绕环中磁感应强度大小为nIB0通过螺绕环上各匝线圈的磁通量通过螺绕环上各匝线圈的磁通量等于通过小线圈各匝的磁通量，等于通过小线圈各匝的磁通量，所以，通过所以，通过N匝小线圈的磁链为匝小线圈的磁链为nIsNNn0根据互感的定义可得螺绕环与小线圈间的互感为根据互感的定义可得螺绕环与小线圈间的互感为H250H105 . 250nsNIMn（2 2）小线圈中的产生的互感电动势为）小线圈中的产生的互感电动势为V25dd121tIM例例10-1010-10 如图所示。两

21、只水平放置的同心圆线圈如图所示。两只水平放置的同心圆线圈1 1和和2 2，半径分别为，半径分别为r 和和R， R r,已知小线圈已知小线圈1 1内通内通有电流有电流I1=I0cost , ,求在大线圈求在大线圈2 2上产生的感应电动上产生的感应电动势。势。ORrI12解：解： 由于小线圈通电流后在由于小线圈通电流后在大线圈平面内产生的磁场大线圈平面内产生的磁场是不均匀的磁场，因此很是不均匀的磁场，因此很难求得通过大线圈的磁通难求得通过大线圈的磁通量，不能应用法拉第电磁量，不能应用法拉第电磁感应定律求得大线圈上的感应定律求得大线圈上的感应电动势。如能求出两感应电动势。如能求出两线圈的互感系数则可

22、以求线圈的互感系数则可以求出互感电动势，出互感电动势，但基于和上面同样的原因但基于和上面同样的原因，以小线圈通有电流来计，以小线圈通有电流来计算互感系数是困难的。由算互感系数是困难的。由于两线圈互感系数是相同于两线圈互感系数是相同的，可通过假设线圈的，可通过假设线圈2 2通有通有电流电流I2来计算互感。来计算互感。 假设线圈假设线圈2 2通有电流通有电流I2, ,则线圈中心磁场为则线圈中心磁场为RIB220由于由于Rr, ,小线圈面积内磁场可看作是均匀的，大小线圈面积内磁场可看作是均匀的，大小即为线圈中心的磁感应强度大小。则穿过小线圈小即为线圈中心的磁感应强度大小。则穿过小线圈平面内的磁通量为

23、平面内的磁通量为220122rRIBSRrIM220212tIRrtIMsin2dd020121所以，在大线圈中感应电动势为所以，在大线圈中感应电动势为例例10-1110-11 一根很长的同轴电缆由半径为一根很长的同轴电缆由半径为R1 1的圆柱体和的圆柱体和半径为半径为R2的同心圆柱壳组成，电缆中央的导体上载有的同心圆柱壳组成，电缆中央的导体上载有稳定电流稳定电流I，再经外层导体返回形成闭合回路。试计算，再经外层导体返回形成闭合回路。试计算 （1 1）长为）长为l 的一段电缆内的磁场中所储藏的能量（的一段电缆内的磁场中所储藏的能量（2 2）该段电缆的自感。该段电缆的自感。IrdIr1R2Rl1

24、Rrdr1R解：解：（1）由安培环路定理可知，在内外导体间的）由安培环路定理可知，在内外导体间的区域内距轴线为区域内距轴线为r处的磁感应强度为处的磁感应强度为rIB2电缆外磁感应强度为零，所以，磁能储藏在两个电缆外磁感应强度为零，所以，磁能储藏在两个导体之间的空间内。导体之间的空间内。距轴线为距轴线为r处的磁能密度为处的磁能密度为222002821rIBwm距轴线为距轴线为r到到 r+dr处的磁能为处的磁能为rlrrIVwWmmd28dd2220rrlId420对上式积分可得储藏在内外导体之间的磁能为对上式积分可得储藏在内外导体之间的磁能为21d4d20RRVmmrrlIVwW1220ln4R

25、RlI（2）221LIWm与（与（1）所求结果比较即可得）所求结果比较即可得1202ln22RRlIWLm上面所得结果是假定高频电流在芯线表面流过，圆上面所得结果是假定高频电流在芯线表面流过，圆柱状的芯线作为圆筒处理，筒内磁场为零。对于恒柱状的芯线作为圆筒处理，筒内磁场为零。对于恒定电流，电流分布在整个芯线导体截面内，导体截定电流，电流分布在整个芯线导体截面内，导体截面内磁场不为零。这种情况下求解如下：面内磁场不为零。这种情况下求解如下：圆柱形芯线导体内的磁场为圆柱形芯线导体内的磁场为2102 RIrB圆柱形芯线导体内的磁能密度为圆柱形芯线导体内的磁能密度为41222002821RrIBwm圆柱形芯线导体内的磁能为圆柱形芯线导体内的磁能为VmmVwWdrrrRlId2824122022IWWLmm1200ln28RRll例例10-1210-12 用通过在两个线圈中建立电流的过程计算储用通过在两个线圈中建立电流的过程计算储存在线圈周围空间磁场的方法，证明两个线圈的互感存在线圈周围空间磁场的方法