费马原理的扩展应用 石宇

1、费马原理的扩展应用石宇 工程技术学院2012级1班 20120341006 摘要：费马原理是几何光学的基本原理。对于几何光学的教学，现行大多数教材对费马原理不够重视，本文从费马原理出发，推导几何光学的实验定律及单球面折射成像公式，试图尝试一条新的教学途径。关键词：费马原理；光程；反射；折射1 引言现行的大多数光学教材中对费马原理只做简单的介绍，利用费马原理推导几何光学的三个基本实验定律(光的直线传播定律、反射定律和折射定律的也不多见，而对物像公式的推导几乎都是以几何光学的三个实验定律为基础，从相似三角形的近似关系出发推导而出，无法突出费马原理的重要性。费马原理在物理学发展史上曾起过重要作用，是

2、几何光学中一个最普遍的基本原理。它用一种新的观点实现了几何光学三个基本实验定律的综合统一，并通过光程概念揭示了各定律之间的内在联系。对于几何光学的问题，能突出费马原理，光学理论将更系统化。因此，利用费马原理推导几何光学的三个基本实验定律和物像公式，对教学实践具有十分重要的意义。2 费马原理费马指出：光在指定的两点问传播，实际的光程总是一个极值。也是说，光沿光程值为最小、最大或恒定的路程传播。这是几何光学中的一个最普遍的基本原理，称为费马原理。在一般情况下，实际光程大多是取最小值，费马本人最初提出的也是最短光程。光在均匀介质中的传播，在平面分界面上的反射和折射，都是最短光程的例子。3 应用例1

3、如图1，海岛城市A离海岸120千米，海滨城市B离C点160千米，已知路上汽车速度是海上轮船速度的2倍，要使A、B两城市之间运输时间最少，转换码头D建在何处最佳?析与解一(应用数学知识求解设,则，时间这里可看作椭圆方程上的点。令为点与的斜率，从而不难求出最小值，。从而可得：。即码头应建在距点处。上面这种方法，通过构想一个椭圆，把代数运算转化为几何运算，体现了数形结合的思想。析与解二 把设想为空气和水的分界面，光在水中的速度为，在空气中的速度为，则当发出的光以临界角。入射到界面上时，根据费马原理可知ADB是光线由A传到B的费时最小的路径，所以要使A、B两城市之间运输时间最少，转换码头D与海岛城市A

4、的连线与海岸的夹角为。即码头应建在距城处。比较上述两种解法可看出：把船在水中的运动设想为光在水中的传播，灵活应用费马原理(光程最短，把复杂的数学求极值问题传化为物理中的全反射现象，化繁为简，使解题步骤大大简化，提高了解题的效率。例2 已知函数，求的最小值是多少？析与解 此题用数学方法较繁琐，用费马原理求解较简单。把函数变形为这样函数的几何意义就为动点到两定点和距离之和。联想到光在媒质中传播的光程最短，可将设想为入射光线，为反射光线，轴为平面镜，为的像点，其坐标为。根据平面镜成像的特征可知的最小值为线的长度。所以例3 湖岸为一直线，有一小船自岸边的点沿与湖岸成角匀速向湖中行驶，另有一人同时自点出

5、发，他先沿湖岸走段后再入水中游泳去追赶，已知人在岸上走速度，在水中游泳的速度为，问船速最大为多少此人才能追上船?析与解 设想为光在甲乙两种介质的分界面，光在甲介质中的速度为，在乙介质中的速度为，则当发出的光一临界角入射到界面上时，根据费马原理可知是光线由传至的费时最少的路径，因此人应取的路径费时最少，所以当人自某点入水沿与岸边成方向游泳而刚好追到船时，此情况下对应的船速为人能追到的最大允许速度，设其为。过作设与交与，,又则人游过段与走过段的时间相等，因此人自出发点到点追及船的时间等于它由点至的时间，所以,则在中，由正弦定理得，所以。通过上面的几道习题可以看出：灵活应用费马原理可把复杂的数学运算

6、转化为物理中的反射、折射及全反射问题，优化了解题步骤，大大节省了解题的时间。在教学中直接应用费马原理推导几何光学的三个实验定律和成像公式，可加深学生对光程概念的理解，有助于后续章节的干涉、衍射的教学，使知识体系更具有连贯性。借助于推导过程也可巩固学生的高等数学的知识，培养学生灵活应用数学工具处理具体的实际问题的能力。5 参考文献1 彭湘 用费马原理推导透镜的物像公式期刊论文-大学物理2002,21(42 郭安成.用费马原理推导折射定律期刊论文-物理通报2003(97杨贵荣 浅析费马原理期刊论文-思茅师范高等专科学校学报2006,22(35 陈俊华 浅谈费马原理期刊论文-濮阳教育学院学报2002,15(16 张相武 再用费马原理推导透镜的物像公式期刊论文-延安大学学报（自然科学版）2004,23(47 张相武.用费马原理推导透镜的物像公式