九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲

1、九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】本周教学内容：圆中的计算问题【知识与技能】1 .探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。2 .了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，们对培养与他人合作能力，进一步发展我立体图形的了解，同时也增强空间立体感。【教学过程】rnI1.弧长公式：一一180注意：（1）在弧长公式中，n表示“1。”的圆心角的倍数，在应

2、用公式计算时，“n”和“180”不应再写单位。3“”表示弧长，如弧长是可以用（2）在计算时，若题目中没有标明精确度，”.15等。I、n、r中的任意两个量都可以求出第三个量。）在弧长公式中已知（32.扇形:（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。I2r。（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即2mlsSir或3）面积：（-36022rnS中的“n”与弧长公式中“n注意：公式”的意义一样，表示“1”圆心360角的倍数，参与计算时不带单位。11IrSSah十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲与三角形面积公式22看作底边上的高。r边三角形，把弧长看作底，半

3、径专心爱心用心.注意二个公式的区别。2ms。、圆心角度数求$，用女口：已知半径3601Slr|oS,用已知半径r、弧长求2S、I、n、r四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。已知：3 .圆柱的侧面积与全面积（1侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。rh2S（r为底面半径，h为高）（2）柱侧SS2s3）（底全柱侧注意：圆柱有无数条母线，母线长等于圆柱的高。4 .圆锥的有关概念圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图（1），我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。5 .圆锥的侧面积和全面积沿着圆锥的母线，把圆锥的

4、侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线长。如图（2）所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为a,则它的侧面积：1raSra2一根i22fSrraraSS底全侧注意：圆锥有无数条母线，圆锥的母线长不等于圆锥的高。圆锥的母线长为侧面展开后扇形的半径，注意与圆锥底面半径区分。6.阴影部分面积的求法常用的有公式法、割补法，还有等积变形法、方程法、对称法等。【典型例题】专心爱心用心.的周长，求该圆弧所在圆6cm一圆弧的圆心角为300，它所对的弧长等于半径为例1.的半径。分析：已知弧长与圆周长之间的关系，考虑运用弧长公式和圆周长公式。R解：设弧所在圆的半径为R30

5、0 62根据题意得:180)cm2R 7.(解得:RnRI、n、I已知其中两个量，都可以求出第三个中，三个量说明：弧长公式中1801与没有单位，R的单位要一致。量，其中n,求图中阴影部分的面积。例2.如图，正ABC内接于O0，边长为4cm的面积之差，所以吴与4分析：连结a、OC,阴影部分面积看作是扇形AOCAOC键是求OO的半径及/AOC。此题考查组合图形面积的求法及扇形面积公式等。OC并延长交AC于E，连结OA、解：连结BOOABC是正三角形且内接于O/ACBE1cm2ACAE2AOE=60/AOC=120，/AEORt二在中，4AE23cmOA3sin603221cm3OEOA322216

6、4120n3RSaoc扇形3336036041213CE43SACaoc33221642S3cmSS一AOCAOC阴扇391SSS本题还可另解：一abco阴影03专心爱心用心.例3.如图，OA、OB、OC、OD、OE相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五扇形（阴影部分）的面积之和。AEBDC分析：由已知可知图中每个扇形面积不能单独求出，因为不知圆心角的度数。仔细分析可得五个扇形的圆心角恰为五边形ABCDE的五个内角，因此，可以利用“整体代入”法来完成。2RnS，得阴影部分面积为：解：由扇形面积公式36022222RRRRRABCDES阴360360360360

7、3602RnEDBAC3602Rn180253603_2说明：“整体代入”的方法是一种常用的、新颖的方法。例4.如图，圆柱的高为50厘米，底面圆的周长为120cm，一只蚂蚁从A点出发绕圆柱的侧面，爬到圆柱的母线AB的另一端B，求蚂蚁爬行的最短路线长。BA分析：蚂蚁爬行的路线是一条曲线，如何求呢？若将圆柱的侧面沿母线AB展开，则蚂蚁爬行的路线即矩形上A到B的连线，由两点之间线段最短，可求得最短路线长。AC120BC50厘米解：展开，则将圆柱侧面沿母线AB厘米，专心爱心用心.DAACBRt在中，由勾股定理得：22130（ABBCACcm)所以蚂蚁的最短路线长为130cmo例5.在手工课上甲、乙两名

8、同学合作，将半径为1米，圆心角为90。的扇形薄铁片围成一个圆锥筒，在计算圆锥的容积时（接缝忽略不计），甲认为圆锥的高就等于扇形的圆心O到弦AB的距离OC（如图），乙说这样计算不正确，你同意谁的说法？把正确的计算过程写出来。OBOCAOA（2）（1）分析：只要对照一卜圆锥图的定义，就知道甲的想法是错误的，乙的说法正确。20C）中，在图（1A解：2AB的周长等于图（1）中的长因为在图（2）中，00190OA0,21,OAA,OA所以，418021522AOOOAO所以，24故：甲的说法不正确，求圆柱的，/CAB=308例6.若圆柱的侧面展开图是一个矩形，如图，对角线AC二底面积。DA30，可求出矩

9、形的边长。圆柱侧面展开图是矩形，矩=30,/分析：已知AC=8CAB形一边长为母线长,另一边等于底面圆周长。ABCRt30，/中，AC=8CAB在解二专心爱心用心.14308BCACsi2334cos308ABAC2R设圆柱的底面半径为为母线长，则AB为底面圆的周长（1）若AD23,RR43212342RS（2）若为母线，则AD为底面圆的周长24,2RR2242RS412故圆柱的底面积为或-说明：本题主要应理解圆柱的侧面展开图为矩形，相邻两边为母线长和底面圆的周长，因此在题目中没有指明哪一边为母线（或底面周长）时，该类型必有两种情况。例7.如图，已知半圆的直径AB=12厘米，点C、D是这个半圆

10、的三等分点，求弦AC、CD表示）AD和围成的阴影部分面积。（结果用CDAOB分析：连OC、OD，则可证CDAB，/COD=60SS贝0CADCODSSDO阴扇形C解：连OC、ODC、D是半圆的三等分点/CDA=ZBAD,/COD=60CDIIABSScoddca26606SS（平方厘米）cod扇阴360说明：本题运用的方法叫等面积变换法，这是一个重要的方法。例8.如图，在ABC中，/C二90,，ACBC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆SS，则（为底面圆半径，锥的侧面积为，以BCAC为高的圆锥的侧面积为）21专心爱心用心.ACBSSSSA.B.221iSSSS的大小关系不确定C.D.2121

11、s、S分析：分别算出再进行比较。21ABSAC解：1ABSBC2BCACSS21B选说明：圆锥也可以看做是直角三角形绕一条直角边旋转一周而成的图形。射向地面的光的上空安装一个照明光源s，S例9.在半径为27米的圆形广场中央点OSOSAB的顶角为120（如图所示），求光源离地面的垂直高度束是圆锥形，其轴截面1414.23621732.52.，3米）（，以上数据供参考）（精确至0.1SABO。二则/BSO=60,由此不难求SO分析：BO=27米，/BSA=120SB,/ASB=120解：在ASAB中，SA=AB/SOBS0=60ABO为中点，且/ASO=/ASORt米在二27中，OA36.2731

12、59-OASO-cotASO27cot60（米）315.6米。光源离地面的垂直高度为答：说明：本题的实质是解Rt【模拟试题】选择题。一.MN）的长为（MN在半径为3的00中，弦二3，贝91.32C.D.A.B.22360）扇形的周长为2.16，圆心角为，则扇形的面积为（专心爱心用心.16D.A.16B.320.641，那么这个圆柱的侧面积是（厘米，底面半径是高的）3.如果圆柱的高为20422cm200cm100A.B.22cm500cm200C.D.4.已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的侧面展开图的面积是（）24153012b.d.a.c.5.图，ABCD是正方形，边长为a，以B为圆

13、心，以BA为半径画弧，则阴影面积为（D2a11b.A.44D.C.A2a44二.填空题。1 .直径为12cm的圆，60圆周角所对的弧的弧长为厘米。2 .如图，在ABC中，/ACB=90,/B=15，以C为圆心，CA为半径的圆交ABAD的长为则厘米。二于D点，若AC6cmBDC224020cm,则该扇形的圆心角为厘米,面积为3.一个扇形的弧长为度。2cm4，且底面积为则圆柱的侧面积为4.已知圆柱母线与底面圆的直径相等，2cm。5 .若圆锥的母线长为6cm，侧面展开图是圆心角为300。的扇形，则圆锥底面半径为cm。6 .圆锥底面半径为4cm，母线长为24cm，则侧面展开图中扇形的圆心角为7 .若用

14、半径为15cm，圆心角为216。的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为cm。三.解答题。专心爱心用心.6AB厘米，所对的圆周角/ACB=60的长为，求弦AB的长。1.已知COAB22AB，垂足为DADB=45，_LBC,，=2.如图，在ABC中，/BAC105，/EF，求图中阴影部分的面积。A为圆心，AD为半径画弧以AFECBD2ABCRt为圆心画弧，CB、二、cm，分别以3.如图，AAC中，/C=90，=BCEF、DFDE使所在的圆两两外切。求：EFDF、DE、1（）的长；）阴影部分的面积。（2,求图中圆锥的全面积12c如图,圆柱的高,底面直径10c4.专心爱心用心.【试题答案】.选择题。一5.D12 （厘米）4.B2.A1.B3.B二.填空题。4164.3.1506. 605.57. 12三.解答题。及。的半径1.由条件可求得：/AOB=120AB作AB的垂线，构造直角三角形可求出过0cm93ABSSS2.ABCAEF扇形阴影曲线面积的求法常转化