第4讲高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声ppt课件

1、通讯原理电子教案通讯原理电子教案广东海洋大学信息学院广东海洋大学信息学院2019年年9月月电子教案电子教案 授课班级：通讯授课班级：通讯1103班、通讯班、通讯1104班班 授课教师：广东海洋大学信息学院授课教师：广东海洋大学信息学院 梁能梁能第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.4 2.4 高斯过程高斯过程2.4.1 2.4.1 根本概念根本概念 1. 1.定义定义 一随机过程一随机过程(t)(t)，假设它的恣意，假设它的恣意n n维概率密度维概率密度呈正态分布，那么称其为高斯过程。又称正态随机呈正态分布，那么称其为高斯过程。又称正态随机过程。过程。 数学表达式见式数学表达式见式2.5

2、.12.5.1。 一维时：一维时：21111211()1( , )exp22xaf x t第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.2.性质由定义可分析出性质由定义可分析出1 1高斯过程假设广义平稳，那么必狭义平稳高斯过程假设广义平稳，那么必狭义平稳 。2 2高斯过程中的随机变量高斯过程中的随机变量(t1)(t1)、(t2)(t2)、(t3)(t3)、之之间假设不相关，那么它们也是统计独立的。间假设不相关，那么它们也是统计独立的。 fn fnx1x1，x2x2，.，xnxn；t1t1，t2t2，.，tntn f1f1x1x1，t1t1f2f2x2x2，t2t2.，fnfnxnxn，tntn

3、2.5.32.5.33 3假设干个高斯过程之和仍是高斯过程。假设干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号角度。从信号角度。4 4高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统线性系统角度。线性系统角度。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理221()( )exp(2.5.4)22xafx 那么称那么称为服从正态分布的随机变量那么称为服从正态分布的随机变量那么称为为服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量 2.4.2 2.4.2 高斯过程中的一维分布随机变量研高斯过程中的一维分布随机变量研讨讨1.1.一维概率密度函数一维概率密度函数1 1高斯随机变量高斯随

4、机变量 假设随机变量假设随机变量的概率密度函数可表示成的概率密度函数可表示成第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2 2性质性质1对称于直线对称于直线x=a; 2在在 内单调上升，内单调上升，在在 内单调下降，且内单调下降，且在在a点处到达极大值点处到达极大值;),(a),( a1( )1( )( )2aaf x dxf x dxf x dx，3 4a 表示分布中心，表示分布中心， 表示集中的程度。表示集中的程度。 一定时，一定时，。5当当a0 ， 时，相应的正态分布称为规范化正态分时，相应的正态分布称为规范化正态分布：布： 121( )exp()22xf x第第2 2章章 随机过程随机过程

5、通信原理2.2.正态分布函数正态分布函数1 1普通表示式普通表示式知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为：知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为： 22222/ 21()exp221()exp( )( )221(2.5.8 )2xxxatxzadzzazadFxztdtdzedtfzadz ， 令， 则这个积分不易计算，常引入概率积分函数或误差函数可查这个积分不易计算，常引入概率积分函数或误差函数可查表来表述。表来表述。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2 2用概率积分函数表示用概率积分函数表示 定义概率积分函数定义概率积分函数( (简称概率积分简称概率积分) )

6、为：为：2/ 21( )(2.5.9)2xzxedz22/ 221()1exp( )( )222xxaxtzadzeF xf z dzdt那么正态分布函数可表示为：那么正态分布函数可表示为： ( )(2.5.8)xaF x （）第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理3) 3) 用误差函数表示用误差函数表示 正态分布函数更常表示成与误差函数相联络的方式。正态分布函数更常表示成与误差函数相联络的方式。 1 1误差函数定义误差函数定义20( )2xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(误差函数：误差函数：互补误差函数：互补误差函数：22/221()1exp( )( )222x

7、x axtzadzeF xf z dzdt第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2 2误差函数的性质误差函数的性质误差函数是递增函数，它具有如下性质：误差函数是递增函数，它具有如下性质： )()(xerfxerf1)(erf)(1)(xerfcxerfc0)(erfc11)(2xexxerfcx，互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：202( )xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理ffS()-fc 0 fc f (a)s(t)缓慢变化的包络a(t)频率近似为fc(b)t图2-4 窄带波

8、形的频谱及示意波形2.5 2.5 窄带随机过程窄带随机过程窄带过程窄带过程2.5.1 2.5.1 窄带随机过程的概念窄带随机过程的概念1.1.什么叫窄带随机过程？什么叫窄带随机过程？ 频谱频谱: : 所占频带较窄，满足所占频带较窄，满足f fcf fc的随机的随机过程叫窄带随机过程。过程叫窄带随机过程。 时域：用示波器察看，看到某个实现的波形时域：用示波器察看，看到某个实现的波形幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理221( )=a ( ) cos( )(t)(t)=a ( )sin( )(t)( )( )( )(t)( )

9、(t)cscssctttttatttttg 同相分量正交的的分量随机包络的的随机相位( )( )cos(t),0( )cos(t)sin(2.6.1/2) cccsctattattt2. 2. 表达式两种！表达式两种！第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.5.2 知知(t)的统计特性，求的统计特性，求c(t)、s(t)的统计特性的统计特性结论结论1假设假设(t)：均值为：均值为0、方差为、方差为2、窄带、平稳、高斯随机过、窄带、平稳、高斯随机过程。程。那么：那么：1c(t)、s(t)同样是平稳高斯随机过程；同样是平稳高斯随机过程；2 E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值一样均值一样(都

10、为都为0)； 3c2=s2=2=2方差一样，同于方差一样，同于(t) ；4在同一时辰即在同一时辰即=0上得到的上得到的c及及s相互关函数为相互关函数为0，即即c与与s互不相关，或说统计独立。互不相关，或说统计独立。(0)=0,(,)= ()()cscscsRfff( )( )cos(t)sinccsctttt第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.5.3 知知(t)的统计特性，求的统计特性，求 a(t)、(t)的统计特性的统计特性 结论结论2假设假设(t)：均值为：均值为0、方差为、方差为2、窄带平稳高斯随机过程。、窄带平稳高斯随机过程。那么：那么： 1其包络其包络a(t)的一维分布呈瑞利

11、分布；的一维分布呈瑞利分布；2其相位其相位(t)的一维分布呈均匀分布；的一维分布呈均匀分布；3 a(t)与与(t)统计独立。统计独立。222222()=exp,02.6.201(),(, )(2.6.21) 21(,)=exp()() ()2aaf aafaaf af a f ( )( )cos(t),0cta tta第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.6 宽带随机过程2.6.1 白噪声 1.定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。即： 双边谱密度： 单边谱密度：( )()2onnP ( )(0)noPn其中：其中：n0为常数，为常数，W/Hz。普通默许白噪声为平

12、稳的。普通默许白噪声为平稳的。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.2.自相关函数自相关函数据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。变换对。 2)(2)(00nRnPnn图图2-5 2-5 白噪声的功率谱密度与自相关函数白噪声的功率谱密度与自相关函数 结论：对白噪声而言，只需当结论：对白噪声而言，只需当=0时同一时辰才相关，而时同一时辰才相关，而在在0的任何两个时辰上的随机变量，皆不相关。的任何两个时辰上的随机变量，皆不相关。问：高斯白噪声？问：高斯白噪声？第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理000,(,)( )20,nff

13、P其它2.6.2 2.6.2 带限白噪声带限白噪声1.1.定义定义 白噪声经理想带通滤波器白噪声经理想带通滤波器(-f0(-f0，f0)f0)后而构成后而构成的噪声，被称为带限白噪声，即其功率谱密度为：的噪声，被称为带限白噪声，即其功率谱密度为：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.自相关函数000000000()( )1( )2212fjfPRnRednSanf Sa 据 ：（）（）N-噪声平均功率，噪声平均功率，取决于取决于n 0 f0 -P()的面积。的面积。 00(0)Rn fN特别：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理结论：按抽样定理对带限白噪声抽样，各抽样值是互不相关结论

14、：按抽样定理对带限白噪声抽样，各抽样值是互不相关的随机变量的随机变量( (各抽样点处的随机变量是互不相关的各抽样点处的随机变量是互不相关的) )。问：窄带、高斯、白噪声的含义。问：窄带、高斯、白噪声的含义。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.7 2.7 正弦信号加窄带高斯噪声正弦信号加窄带高斯噪声2.7.1 2.7.1 合成信号表达式合成信号表达式正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号可表示为：正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号可表示为：cos()cAt其中：其中：( )cos()( )(2.7.1)cr tAtn t( )( )cos( )sinccscn tn ttn tt-正弦载波正

15、弦载波: :假定假定A A、cc为常数为常数;为随机变量，其一为随机变量，其一维维pdf pdf 均匀分布，即：均匀分布，即： f()=1/(2) f()=1/(2)， 0202-窄带随机过程窄带随机过程: nc(t)-n(t): nc(t)-n(t)之同相分量；之同相分量； ns(t)-n(t)ns(t)-n(t)之正交分量。之正交分量。( )( )cos( )sinccscttttt第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理代入，整理：代入，整理： cos()( )coscossinsin( )cos( )sincos( )( )co( ) cos sin( )ss( )sincosincc

16、cccscccsccscccAtn tAtAtn ttn ttAn ttAr tz ttz ttz tttn tt221( )( )(, )( )( )(2)csscz tztztztttgzt ，z0,合成波包络-合成波相位，0其中：其中：-r(t)-r( )c(os( )( )s n( )t)icccsz tAn tz tAn t合成同相分量波的；合成波的正交分量；第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理合成信号振幅合成信号振幅z(t)和相位和相位 (t)的统计特性的统计特性可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所构成的合成信号具有如可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所构成的合成信号具有如下统计特

17、性：下统计特性： 1随机包络服从广义瑞利分布也称莱斯随机包络服从广义瑞利分布也称莱斯Rice分布分布-(2.7-3)。 2随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了。随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了。当信噪比很小时，它接近于均匀分布。当信噪比很小时，它接近于均匀分布。 图图2-6 正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布 第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.8 2.8 随机过程经过线性系统随机过程经过线性系统2.8.1 2.8.1 线性系统线性系统-复习复习 设：线性系统的冲击呼应和网络函数分别为设：线性系统的冲击呼应和网络

18、函数分别为 ：h(t)h(t)、H()H()，那么：，那么：H()h(t)H()h(t)。0( )( )*( )( ) ()2.8.1iivtv th thv td周知：线性系统呼应周知：线性系统呼应v0(t)等于输入信号等于输入信号vi(t)与冲击呼应与冲击呼应h(t)的卷积，的卷积，即：即：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理系统满足物理可实现条件系统满足物理可实现条件: h(t)=0，t0；输入有界满足；输入有界满足狄里赫利条件。那么有：狄里赫利条件。那么有：00( )( ) ()( ) ()iiv thv tdhv td00( )( )()2.8.4ithtd 了解：上式对于确知信号是没有问题的。了解：上式对于确知信号是没有问题的。当输入是随机过程当输入是随机过程 (t)的一个实现的一个实现i1(t)随机函随机函数时，便有输出随机过程数时，便有输出随机过程o1(t)。进一步：当输入是随机过程进一步：当输入是