导数中两种零点问题解决方法

1、如有帮助，欢迎下载支持导数中的零点问题解决方法解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。一、能直接分离参数的零点题目此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。例1.已知函数f(x)=x+a,g(x)=Inx,若关于x的方程g(x)=f(x)2e只有一个实xx数根，求a的值。解析：g=f(x)2e=au'ln-xx2+2ex,令h(x)u_lnxx2+2ex,xxx1-Inxh(x)=2-2x+2e,令h(x)=0,则x=e

2、x、,、，、一、，-、，一，'、，、一、，当0Mx<e时，h(x)>0,h(x)单调递增；当x>e时，h(x)<0,h(x)单调递12减，h(x)max=h(e)=一ee、-.、.注意这里h(x)的单调性不是硬解出来的，因为你会发现h(x)的式子很复杂，但是如果把h(x)当成两个函数的和，即m(x)=坦2，n(x)=x2+2ex,此时m(x),n(x)的x单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出h(x)的单调性和极值点。12所以a=1+e2(注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可)e、不能直接分离参数的零点问题(包括零点个数问题)这里需要注意几个转化，以三次函

3、数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如f(x)在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着f(x)在区间(0,1)上存在极值点。在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影

4、响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数f(x)=ax33x2+1,若f(x)存在唯一的零点X。，且x0>0,则a的取值范围是aw解析：当二胃含的，f(x)=-3x2+1有两个零点，不符合题意,一，22当a>0时,f(x)=3ax6x=3x(ax-2),右f(x)>0,则x>或x<0a2右f(x)<0,贝110cx<，此时函数在(-«,0)上单增，f(一1)=-2-a<0a此时在(*,0)上存在零点，不符合题意。22,、一当a<0时，右f(x)>0,则一<x<0,右f(x)<0,则

5、x<或x>0aa2此时要保证函数存在唯一的正零点，则f(-)>0,解得aW(Q,-2)a注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可一一，一，2，一、一1例3.已知函数f(x)=十lnx+x-2-b在区间一，e上有两个不同手点，求头数b的xe取值范围。2解析：/(n:x-x(='X),可知函数f(x)在(0,1)上递减，在(1,依)xx上1递增，要保证函数f(x)在1,e上有两个不同的零点，根据函数的趋势图像可e,1f(-)0e2得必须满足<f(1)<0=1<bE+e1ef(e)>0例4.已知函数f(x)=x3+ax2+b(1

6、)讨论f(x)的单调性；(2)解析:若b=c-a,当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是33(_oa,_3)u(1，)u(巳，也)，求C的值。22(1)当a=0时，f(x)在R上单调递增2a2a当a>0时，f(x)在(-«,-刍),(0,依c)上单调递增，在(三,0)上单调33递减；2a2a当a<0时，f(x)在(,0),(臼，)上单调递增，在(0,臼)上单调33递减；(2)只有当a#0时才有可能满足f(x)有三个零点2a4因为f(x)有两个极值点f(0)=b,f()=a3+b,要满足有二个零327点必须满足a 04 3a - a272af(0)f(三)&l

7、t;0,结合b=c-a可得a:二0或，43，因为f(x)恰有三个零点时，a的c0a-ac：02733取值也围是(一二二,，-3)(1,一).(,224c33所以题目可以转化为上a3-a+cA0在aw(1,3)5=)上恒成立，且272243aa+c<0在a=(-00,-3)上怛成3A27433-设h(a)=a-a+c,对其求导可得h(a)在(-°0,-一),(一1z)递增，在272233(-3,2)递减，因此h(a)图像必须满足以下趋势：22、“一3-0C-1M0所以3:c=1f(-)-0c-1-1,2322验证：当c=1时，f(x)=x+ax+1a=(x+1)x+(a1)x+1

8、a函数有三个不等的实数根，所以h(x)=x2+(a-1)x+1-a=0有两个不相等且不等于-1的实数根，所以必须满足033=a.(_二，_3)一(1,一)一.(一，二)h(-1)=022综上，c=1第一问很简单，但是是解决第二问必要的前提，第二问题目中函数有三个不同的零点，但是题目中有两个参数，类似于双参数问题解决方法，最后将两个参数中已知的那个作为自变量，然后转化为恒成立问题即可，三个零点意味着两个极值的积为负值，然后再根据不同的a的取值转化为函数恒成立问题，通过函数的趋势图像即可解出符合题意的条件。但是很多同学缺省最后检验的步骤，同时也不理解为什么需要验证，如果不验证，则即便满足有三个零点

9、，此时的a的取值范围也可以不是题目中给出的范围，注意这个恰字就说明了必须要进行最后的验证。例6.已知函数f(x)=exax2bx-1(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围。解析：(1)g(x)=ex-2ax-b,g(x)=ex-2a当a«0时,g(x)0,g(x)在0,1递增,g(x)min=g(0)=1-b、,，*'一_，、一,、,_.一.当a>0时，令g(x)=0,x=ln2a,止匕时0,1,ln2a位置不确定因此需要讨论eCase1:当ln2a之1时，

10、a之一，此时g(x)在0,1递减,2.一一._.1.Case1:当ln2a«0时,a<-,此时g(x)在0,1上递增,21 e，Case3:当0<ln2a<1时，即一<a<一,止匕时2 2'11-b(a&)1e综上所述g(x)min=2a-2aln2a-b(-<a<-)-ee-2a-b(a-)(2)本题目隐藏一个条件即f(0)=0,又知f(1)=0,所以如果f(x)在区间(0,1)内有零点，则f(x)在(0,1)内至少有两个极值点或者至少有三个单调区间或者说g(x)在(0,1)内不可以恒正也不可以恒负。(要好好理解这句话)1,、e,一题目中有两个参数，根据f(1)=0可得b=e-a-1,右当aM-或a之一时，函221e数g(x)为单调函数，不符合题意，故a只能在(万,)内取值，此时g(x)min=3a2aln2ae+1,且要满足3a2aln2ae+1<0才可令h(x)=3x2xln2xe+1,h(x)=12ln2x,根据单调性可知h(x)min=>/e-e+1<0,此时g(x)min<0成立，因此要保证f(x)在(0,1)上至少有三个单调区间，则需要满足条件题目第