随机信号通过线性系统的分析

1、随机信号通过线性系统的分析第五章1 线性系统基本理论系统：)()(txTty线性系统：)()()()()()(221122112211tyatyatxTatxTatxatxaT时不变系统：)()(txTty线性时不变(LTI)系统：连续时间LTI系统时域分析：时域分析：)()(d)()()(thtxhtxty)j()()()()()()(ssHsXsYHXY因果系统：0 , 0)(tth当稳定系统：tthd)(频域分析：频域分析：系统函数系统函数H(s)的所有极点位于的所有极点位于s平面的左半平面（不含虚轴）。平面的左半平面（不含虚轴）。离散时间LTI系统时域分析：时域分析：)()()()()

2、(nhnxmhmnxnym)e()()()()(e)(e)(ejjjjzzHzXzYHXY因果系统：0 , 0)(nnh当稳定系统：频域分析：频域分析：nnh)(系统函数系统函数H(z)的所有极点位于的所有极点位于z平面的单位圆内。平面的单位圆内。2 随机信号通过连续时间LTI系统d)()()()()(htXthtXtY)()()(HXY2.1 时域分析法X (t)Y (t)h (t)LTI系统系统输出信号的均值函数设设输入过程输入过程 X (t) 的均值函数为的均值函数为 mX(t) ，则输出过程，则输出过程 Y (t) 的的均值函数为均值函数为)()(d)()(d)()(d)()()()(

3、thtmuuhutmuuhutXEuuhutXEtYEtmXXY当输入过程当输入过程 X (t) 为为均值平稳均值平稳时，时，输出过程输出过程 Y (t) 也是均值平稳的。也是均值平稳的。常数uuhmmXYd)(输出信号的自相关函数设设输入过程输入过程 X (t) 的自相关函数为的自相关函数为 RX(t1,t2) ，则输出过程，则输出过程 Y (t) 的自相关函数为的自相关函数为)( , )()()(dd )()()()(21tthhRvuvhuhvuRRXXY )()(),(dd )()(),(dd )()( )()(d)()(d)()( )()(),(21212121212121ththt

4、tRvuvhuhvtutRvuvhuhvtXutXEvvhvtXuuhutXEtYtYEttRXXY 当输入过程当输入过程 X (t) 为为自相关平稳自相关平稳时，时，输出过程输出过程 Y (t) 也是也是自相关平稳的。自相关平稳的。输出与输入的互相关函数 )()()(hRRXXY)(),(),()(),(d)(),(d)()()( )()(),(2212112121212121thttRttRthttRuuhtutRutXuhutXEtXtYEttRXXYXXYX当输入过程当输入过程 X (t) 为为自相关平稳自相关平稳时，时，)()(d)()()(hRuuhuRRXXYX输出过程与输入过程

5、还是联合平稳的。输出过程与输入过程还是联合平稳的。输出信号的相关函数)()()(hRRXYX)()( )()()()()()(hRhRhhRRXYYXXY )()()(hRRXXY)(XR)(h )(h)(YXR)(YR输出信号的平稳性与遍历性n若若输入过程输入过程 X (t)是平稳的，则是平稳的，则LTI系统系统的输出过程的输出过程 Y (t) 也是平稳的，且输出过程也是平稳的，且输出过程 Y (t) 与输入过程与输入过程 X (t) 之间还是联合平稳的。之间还是联合平稳的。n若若输入过程输入过程 X (t)是遍历的，则是遍历的，则LTI系统系统的输出过程的输出过程 Y (t) 也是遍历的，

6、且输出过程也是遍历的，且输出过程 Y (t) 与输入过程与输入过程 X (t) 之间还是联合遍历的。之间还是联合遍历的。)()()()()()(tXtYRtYtXRYXXY例1 （h(t) 的估计的估计）n设线性系统输入一个白噪声过程设线性系统输入一个白噪声过程 X (t)，其自相关函，其自相关函数为数为 RX ( ) = N0 ( ) ，则，则)(d)()()(00hNuuhuNRYX)(1)(0YXRNh通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。)()(1)(0tXtYNh假定假定过程过程 X (t) 和和 Y (t) 是各态历

7、经的，是各态历经的，2.2 频域分析法)0()(d)(0HmHmhmmXXXY设设LTI系统的频率响应为系统的频率响应为H( )，当输入平稳过程，当输入平稳过程 X(t) 具有具有谱密度谱密度 GX( ) 时，则输出平稳过程时，则输出平稳过程 Y(t) 具有具有)()()(2XYGHG)()( )()()()( )()()()( 2XXYXYGHHHGGhhRR谱密度：谱密度：均值：均值：互谱密度：互谱密度：)()()()()()(HGGHGGXXYXYX)()()()()(HGHGGYXXYY例2 如图有两个如图有两个LTI系统系统H1( )和和H2( )，若输入同一个若输入同一个均值为零的

8、平稳过程均值为零的平稳过程 X(t) ，它们的输出分别为，它们的输出分别为 Y1(t) 和和Y2(t)。如何设计。如何设计H1( )和和H2( )才能使才能使Y1(t) 和和Y2(t)互不相关？互不相关？解X (t)Y1(t)H1( )H2( )Y2(t)互不相关互不相关 协方差为零协方差为零d)()()()()(htXthtXtY0d)(11hmmXY0d)(22hmmXY )()()(dd )()()( )()()(21212121 hhRvuvhuhvuRtYtYERXXYY)()()()(2121HHGGXYY, 0)( 21时当YYG0)(21YYR0)(21YYC当两个当两个LTI

9、系统的系统的幅频特性幅频特性互不重叠时互不重叠时，则，则它们的输出它们的输出Y1(t) 和和Y2(t) 互不相关。互不相关。2.3 白噪声通过线性系统的分析de)()(j0HNRY设设LTI系统的频率响应为系统的频率响应为H( )，当输入白噪声，当输入白噪声 X(t) 具有谱具有谱密度密度 GX( ) = N0 时，则输出过程时，则输出过程 Y(t) 具有具有202)()()()(HNGHGXY谱密度：谱密度：自相关函数：自相关函数：平均功率：平均功率：d)()0()(02HNRtYEPY当白噪声输入当白噪声输入LTI系统时系统时，输出随机信号的功率谱密度主要由输出随机信号的功率谱密度主要由系

10、统的幅频特性系统的幅频特性 H ( ) 决定，不再保持为常数。决定，不再保持为常数。(1) 白噪声通过理想低通系统de)()(j0HNRY设设LTI系统的频率响应为系统的频率响应为H( )，当输入白噪声，当输入白噪声 X(t) 具有谱具有谱密度密度 GX( ) = N0 时，则输出过程时，则输出过程 Y(t) 具有具有202)()()()(HNGHGXY谱密度：谱密度：自相关函数：自相关函数：平均功率：平均功率：d)()0()(02HNRtYEPY当白噪声输入当白噪声输入LTI系统时系统时，输出随机信号的功率谱密度主要由输出随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性系统的幅频特性 H ( ) 决

11、定，不再保持为常数。决定，不再保持为常数。例3 如图如图RC电路，若输入白噪声电压电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关，其相关函数为函数为 RX ( ) = N0 ( ) ，求输出电压，求输出电压 Y (t) 的相的相关函数和平均功率。关函数和平均功率。解RCiH1 , )(其中)()(tuetht0)(FT)(NRGXX02222)()()(NGHGXYeNGRYY2)(IFT)(02)0(0NRPYX (t)Y (t)RC常用线性电路的传递函数和冲激响应常用线性电路的传递函数和冲激响应电路电路H( )h(t)(e1)(/tuRCtRCt j1jRCRC j11RCRC)(e1/tu

12、RCRCtRCRLRL jLRR jjLRL)(e)(/tuLRtLtR)(e/tuLRLtR线性系统输出过程的概率分布n若线性系统输入为高斯过程，则输出也是高斯过程。若线性系统输入为高斯过程，则输出也是高斯过程。n若线性系统输入为非高斯过程，其等效噪声带宽远大若线性系统输入为非高斯过程，其等效噪声带宽远大于系统带宽，则输出近似为高斯过程。于系统带宽，则输出近似为高斯过程。n白噪声通过有限带宽的线性系统，输出为高斯过程。白噪声通过有限带宽的线性系统，输出为高斯过程。n宽带噪声通过窄带系统，输出近似为高斯过程。宽带噪声通过窄带系统，输出近似为高斯过程。3 随机序列通过离散时间LTI系统mmhmn

13、XnhnXnY)()()()()()()()()(e)()(jzHzXzYHXY3.1 时域分析法X (n)Y (n)h (n)LTI系统系统输出序列的均值与相关函数)()()(mhmRmRXYX)()( )()()()()()(mhmRmhmRmhmhmRmRXYYXXY )()()(mhmRmRXXYkXYkhmm)(当输入当输入 X (n) 为为平稳平稳序列时，序列时，3.2 频域分析法)0()(e)(0jHmHmkhmmXXkXY谱密度：谱密度：均值：均值：互谱密度：互谱密度：)(e)()()(e)()(jjHGGHGGXXYXYX)(e)()(e)()()(e)(jj2jHGHGGH

14、GYXXYXYZ变换分析法) 1 ()()(1HmzHmkhmmXzXkXY)/1 ()()()()()()()(zHzGzmRzGzHzGzmRzGXmmXYXYXmmYXYX)/1 ()()()()/1 ()()()()(zHzGzHzGzHzHzGzmRzGYXXYXmmYY3.3 ARMA模型qkkpkkknXbknYanY01)()()(离散时间离散时间LTILTI系统系统: :若输入若输入X(n)为白噪声，方差为为白噪声，方差为 2 ，22)()()(0XXXGmmRm，则输出过程则输出过程Y(n)称为自回归滑动平均（称为自回归滑动平均（ARMA）过程。）过程。ARMA：Auto-

15、Regressive Moving Average（1） AR模型一阶AR模型: AR(1)X(n) Y(n) a z 1)() 1()(nXnaYnY输入输入X(n)为白噪声，为白噪声，方差为方差为 222)()()(0XXXGmmRmjj1e11)(e)()(11)(aHnuanhazzHn22222j1)(cos21)()(e)(0aamRaaGHGmmYXYYp阶AR模型: AR(p)()()(1nXknYanYpkkX(n) Y(n) a1 z 1a2 ap z 1z 1 pkkkzazH111)(pkkkaH1jje11)(e21j2e1)(pkkkYaG)()()(zXzHzY（

16、2） MA模型一阶MA模型: MA(1) 1()()(10nXbnXbnY输入输入X(n)为白噪声，方差为为白噪声，方差为 2)()()( , 022mmRGmXXXj10j10110e)(e) 1()()()(bbHnbnbnhzbbzH)1() 1()()()()cos2()()(e)(0102120210212022jmmbbmbbmRbbbbGHGmYXYYX(n) z 1 b0Y(n) b1q阶MA模型: MA(q)qkknXkhnY0)()()(qkkzkhzH0)()(qkkkhH0jje)()(eqlkklXYqlkklXYlhkhGHGzlhkhzGzHzHzG0,)(j22j0,2e)()()()(e)()()()()/1 ()()()()()(zXzHzY X(n) z 1 h(0)Y(n) h(1)h(2)h(q)h(q 1)z 1z 1MA(