212曲线方程(2)

1、 一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线线C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程 f(x，y)=0的实数的实数解建立了如下的关系：解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解；的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.曲线曲线C上的点的坐标构成集合为上的点的坐标构成集合为A二元方程二元方程 f(x，y)=0的解集为的解集为BBAAB 那么这个方程叫做曲线的方程；那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。这条曲线叫做方程的曲线（图形）。BA例例

2、1： 设设A、B两点的坐标是两点的坐标是（-1，-1）、（）、（3，7），求线段），求线段AB的垂的垂直平分线的方程直平分线的方程.整理得，整理得，x+2y-7=0 由此可知，垂直平分线上每一点的坐标由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程都是方程的解的解 解：（解：（1）设）设M（x,y）是线）是线段段AB的垂直平分线上任意一点的垂直平分线上任意一点则则MA=MB2222)7()3() 1() 1(yxyx设点的坐标设点的坐标化简整理化简整理坐标代换坐标代换列出几何关系列出几何关系即即即即x1+2y1-7=0, x1=7-2y1点点M1到到A、B的距离分别是的距离分别是M1A=（2）设点）

3、设点M1的坐标的坐标(x1,y1)是方程是方程的解的解2121) 1() 1(yx. )136( 5)7()24()7() 3(; )136( 5) 1()28(1212121212111212121yyyyyxBMyyyy证明结论证明结论M1A=M1B,即点即点M1在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.由（由（1）（）（2）可知，方程）可知，方程是线段是线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. 点点M的轨迹就是与坐标轴的的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数距离的积等于常数k的点的集合：的点的集合：P=MMRMQ=k,(其中其中Q、R分别是分别是点点M到到x轴、轴、y轴的垂线的垂

4、足）轴的垂线的垂足）因为点因为点M到到x轴、轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，横坐标的绝对值，xy=k, 即即xy=k例例2点点M与互相垂直的直线的距离的与互相垂直的直线的距离的积是常数积是常数k(k0)，求点，求点M的轨迹的轨迹.解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系直角坐标系.建立适当的坐标系，建立适当的坐标系，设点的坐标设点的坐标设点设点M的坐标为的坐标为(x,y)，化简整理化简整理坐标代换坐标代换列出几何关系列出几何关系(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程由求方程的过程可知，曲

5、线上的点的坐标都是方程的解；的解； 由（由（1）、（）、（2）可知，方程）可知，方程是所求轨迹的方程是所求轨迹的方程. （2）设点）设点M1的坐标的坐标(x1,y1)是方程是方程的解，那么的解，那么x1y1=k,即即x1y1=k.而而x1、y1正是点正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此到纵轴、横轴的距离，因此点点M1到这两条直线的距离的积是常数到这两条直线的距离的积是常数k，点，点M1是曲线上的是曲线上的点点.证明结论证明结论1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x,y）表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；2）写出适合条件）写出适合条件P

6、的点的点M的集合：的集合：P=MP(M);3）用坐标表示条件）用坐标表示条件P（M），列出方程），列出方程f(x,y)=0;4）化方程）化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点线上的点. 小结小结:求曲线（图形）的方程，一般有下求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：面几个步骤：（二）列式换标（二）列式换标（一）建系设标（一）建系设标（四）特殊说明（四）特殊说明（三）化简整理（三）化简整理例例定长为的线段，其两端点定长为的线段，其两端点分别在轴和轴上滑动，求该线段中分别在轴和轴上滑动，求该线段中点

7、所形成的曲线方程点所形成的曲线方程（二）列式换标（二）列式换标（一）建系设标（一）建系设标（三）化简整理（三）化简整理（四）特殊说明（四）特殊说明【练习】：【练习】：1、已知线段、已知线段AB的长为的长为10，动点，动点P到到A、B的距离的平方和为的距离的平方和为122，求动点，求动点P的轨迹的轨迹方程。方程。.2| MBMAMP2)2(22yyx281xy 281xy 例例4 已知一条曲线在已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一轴的上方，它上面的每一点到点点到点A（0，2）的距离减去它到）的距离减去它到x轴的距离的差轴的距离的差都是都是2，求这条曲线的方程，求这条曲线的方程.解：设点解：设点M（x,y）是曲线上任意一点，）是曲线上任意一点，MBx轴，垂足轴，垂足是是B（图（图731），那么点），那么点M属于集合属于集合由距离公式，点由距离公式，点M适合的条件可表示为：适合的条件可表示为：将将式移项后再两边平方，得式移项后再两边平方，得 x2+(y2)2=(y+2)2,化简得：化简得：因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0,虽然原点虽然原点O的坐标（的坐标（0，0）是这个方