自考高等数学(一)精讲第六章

1、自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以是z轴的正向。 角度转向正向y轴时，大拇指的指向就空间直角坐标系共有八个卦限北京自考吧 1自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。二、空间中常见图形的方程1、球面已知球

2、心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有称为球面方程。特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。 ， 2、平面 到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。 例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。 【答疑编号11060101】 解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点， 根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。 3、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。3

3、 北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。（1）椭球面北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)椭球面与三个坐标面的交线：22 （2）x+y=2pz的图形是一个旋转抛物面。6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于的点P（x,y）的全体，称为点p0的邻域，记为U（P0, ）,。2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。 北京自考吧 6自考复习

4、资料由北京自考吧整理 高等数学(一)设D是开集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。连通的开集称为区域或开区域。 开区域连同它的边界一起称为闭区域。 3、n维空间的全体为n维空间，而每个n元数组 设n为取定的一个自然数，我们称n元数组称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标说明：n n维空间的记号为R；n维空间中两点间距离公式：设两点为北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。二、多元函数的概念1、多元函数的定义设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P（x,y）D

5、，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z=f（x,y）（或记为z=f（P）.类似地可定义三元及三元以上函数。当n2时，n元函数统称为多元函数。多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。例1、求【答疑编号11060102】 的定义域。北京自考吧 8自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)解：所求定义域为 .2、二元函数z=f（x,y）的图形设函数z=f（x,y）的定义域为D，对于任意取定的P（x,y）D，对应的函数值为z=f（x,y），这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M（x,y,z），当x取遍D上一切点时，得一个空间

6、点集，这个点集称为二元函数的图形。 北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)二元函数的图形通常是一张曲面。三、多元函数的极限北京自考吧 10自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例2、求。【答疑编号11060103】北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)解：原式。例3（教材332页习题6.2，2题（1）题）、求【答疑编号11060104】。例4（教材332页习题6.2，2题（2）题）、求【答疑编号11060105】 。北京自考吧 12自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)四、多元函数的连续性1、定义 设二元函数f（P）的定义域为点集D，p0且p0D

7、，如果元函数f（P）在点P0处连续。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。一般地，求在点P0处连续，于是时，如果f（P）是初等函数，且P0是f（P）的定义域内的点，则f（P）。 则称二例5（教材332页习题6.2，3题（1）题）、判断原点是否连续？【答疑编号11060106】在北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)6.3 偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义 设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应地函数有增量。如果存在，则称此极限为函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对x的偏导数，记为。北京自考吧 14自考

8、复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)同理可定义函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对y的偏导数，为，记为。如果函数z=f（x,y）在区域D内任一点（x,y）处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f（x,y）对自变量x的偏导数，记作。同理可以定义函数z=f（x,y）对自变量y的偏导数，记作偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u=f（x,y,z）在（x,y,z）处。22 例1.求z=x+3xy+y在点（1,2）处的偏导数。 【答疑编号11060201】 解：北京自考吧 15自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例2.求z=x（x0，x1）的一阶偏导数【

9、答疑编号11060202】y有关偏导数说明：偏导数是一个整体记号，不能拆分；北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例3.（336例3）求下列函数对x和y的偏导数。4x （1）z=（1+3y）。【答疑编号11060203】（2）z=（lny）。【答疑编号11060204】 xy北京自考吧 17自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例4.（340页2（2）求u=（1+xy），在点（1，2，3）的一阶偏导数。【答疑编号11060205】z18 北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)二、高阶偏导数函数z=f（x,y）的二阶偏导数为纯偏导定义：二阶及二阶以上的偏

10、导数统称为高阶偏导数。 例5.设， 混合偏导求。【答疑编号11060206】解：北京自考吧 19自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例6.（338页例6）设z=xye，求【答疑编号11060207】 2y北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)6.4 全微分一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得二元函数对x和对y的偏增量1.全增量的概念如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的某邻域内有定义，并设意一点，则称这两点的函数值之差的全增量，记为z，即 为这邻域内的任 为函数在点P对应于自变量x，y北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)2.全微分

11、的定义如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的全增量，其中A，B不依赖于x，y而仅与x,y有关，可以表示为，则称函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，Ax+By称为函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分，记为dz，即 dz=Ax+By.函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分。二、多元函数连续、可导、可微的关系如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则函数在该点连续。事上故函数z=f（x,y）在点（x,y）处连续。定理1 如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则该函数在点（x,y）连续，函数在点（x,y）的偏导数必存在，且函数z=f（x,y）在点（x,y）

12、的全微分为。说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，定理2 如果函数z=f（x,y）的偏导数北京自考吧 存在，且在点（x,y）连续，则该函数在点（x,y）22自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)可微分。记全微分为全微分的定义可以推广到三元及三元以上函数。三、例题分析 2x例1.（教材344页例2（3）、求全微分z=xy+esiny。 【答疑编号11060301】例2.（教材344页例2（2）、求全微分【答疑编号11060302】 。北京自考吧 23自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例3.（教材344页习题6.4，1题（2）题）、求全微分【答疑编号11060303】。

13、北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)6.5 多元复合函数求导法则一、链式法则定理 如果函数偏导数，则复合函数都在点t可导，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续在对应点t可导，则：定理 假设函数z=f（u,v）可微，函数u=u（x,y）和v=f（x,y）有偏导灵敏，则它们的复合函数z=f（u（x,y）,v（x,y）作为x,y的函数有偏导数，且，。例1.设，而u=xy,v=x+y,求。【答疑编号11060304】解：北京自考吧 。 25自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例2.（教材348页例2（1）、求导数【答疑编号11060305】例3.（教材348页例2

14、（2）、求导数【答疑编号11060306】北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例4.求导数z=f（xy,x+y）【答疑编号11060307】例5.（教材349页例5）、设z=F（x+y,x-y）。求【答疑编号11060308】 22。北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例6.（教材353页习题6.5，4题）、设【答疑编号11060309】例7.（教材350页例6）、设f（xy,x-y）=x+y。求【答疑编号11060310】 解：u=xy,v=x-y,则 2222x+y=（x-y）+2xy=v+2u 22故f（u,v）=2u+v，或f（x,y）=2x+y

15、28 22。 北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)（这不是变量代换，而是自变量改变文字）。所以。二、全微分形式不变性设函数z=f（u,v）具有连续偏导数，则有全微分、。全微分形式不变性的实质：无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的。北京自考吧 29自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例8.（教材351页例7（3）、求全微分z=（x+y）e【答疑编号11060311】xy例9.（教材351页例7（3）、求全微分z=f（2x+3y,e）【答疑编号11060312】xy6.6 隐函数及其求导法则北京自考吧 30自考复习资料由北京自考吧整理

16、 高等数学(一)例1、siny+e-xy=0,求y对x的导数。【答疑编号11060401】 x2北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例2、xy+lny-lnx=0，求dy。【答疑编号11060402】例3、x+y-1=0，求y对x的导数。【答疑编号11060403】 22北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例4、（357页例3（1）z-3xyz-a=0，求偏导及dz。【答疑编号11060404】 33北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)例5、（357页例3（4）【答疑编号11060405】 求偏导及dz。北京自考吧 自考复习资料由北京

17、自考吧整理 高等数学(一)6.7 二元函数的极值1.二元函数极值的定义设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内有定义，对于该邻域内异于（x0,y0）的点（x,y）： 若满足不等式f（x,y）f（x0,y0），则称函数在（x0,y0）有极大值； 若满足不等式f（x,y）f（x0,y0），则称函数在（x0,y0）有极小值； 极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。2.多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）有偏导数，且在点（x0,y0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0。仿照一元函数

18、，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点。 定理2（充分条件）设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0,y0）=0, fy（x0,y0）=0,令fxx（x0,y0）=A，fxy（x0,y0）=B,fyy（x0,y0）=C,。则f（x,y）在点（x0,y0）处是否取得极值的条件如下：北京自考吧 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)（1）B-AC0时具有极值，当A0时有极大值，当A0时有极小值； 2（2）B-AC0,则不是极值点； 2（3）B-AC =0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。 223例6、（363例1）求f（

19、x，y）=x-2xy+2xy+y极值。 【答疑编号11060406】23.多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。3 例7、（365例3）做一个容积为32米 的长方体无盖水箱，问它的长、宽、高各取何值时用料最省？北京自考吧 36自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)【答疑编号11060407】解：6.8 二重积分一、问题的提出1、曲顶柱体的体积柱体体积=底面积高特点：平顶北京自考吧 37自考复习资料由北京自考吧

20、整理 高等数学(一)柱体体积=？ 特点：曲顶 曲顶柱体 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法.步骤如下：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体北京自考吧 38自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)积，曲顶柱体的体积二、二重积分的概念定义 设f（x，y）是有界闭区域 D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域，其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点作乘积，（i=1，2，n），并求和，如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称函数f（x，y）在闭区域D上可积，此极限为函数f（x，y）在闭区

21、域D上的二重积分，记为，即.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为d=dxdy， 故二重积分可写为北京自考吧 39自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学(一)三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质1：若为D的面积，性质2：线性性质性质3：对区域具有可加性性质4：正性：如果f（x，y）0（），则0。单调性：若在D上，f（x，y）g（x，y）， 则有 特别 设M、m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则（二重积分估值不等式）性质5：使 性质6：设函数f（x，y）在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点得（二重积分中值定理）北京自考吧 40自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学