高等数学中求极限几种常见方法

1、第13卷第6期呼伦贝尔学院学报No.6Vol.13高等数学中求极限几种常见方法林新和(呼伦贝尔学院数学系内蒙古海拉尔区021008)摘要:极限概念在高数的基本概念中占有重要地位,高数中比较重要而又常见的计算便是求解极限。本文把授课中常见的求极限方法加以归纳,目的使学生学习极限知识时提高学习效率。关键词:极限;概念;方法中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1009-4601(2005)06-0102-031、据极限定义求极限例题:求证limqn=0,(其中|q|<1)n界。2)证明xn单调增加因为+1-n()证明:已知|q|<1,则存在a>0,使|q|=a+1,对任意&

2、gt;0,根据二项式定理:放大、再解x=2xn+xn=不等式|q-0|=|q|=nnxxn,(xn3),所以xn单调,所以存nn(1在极限,设limxn=a=limxn+1,因为xn+1=na2n1+na+a+a2!xn,所以a=3a,a=0(舍去)或a=3,3=3所以limn得n,取N=,对任意>0,总存在自aa然数N=,当nN时,a有|qn-0|,即limqn=0.n3、用乘子法求极限例题:设|x|<1,求lim(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x2n)n解:因为(12x)(1+x)(1+x2)(1+x2n)=12x1-x2n+1用定义求极限虽说是最基本的求极限的方法,但

3、由于证明比较烦琐,故一般不采取这种方法。高数中许多定理、法则给我们提供了很多简单的求极限的方法。2、利用单调有界公理求极限2n+1当|x|<1时,原式=lim=n1-x.4、用有理化分子、分母求极限例题:求lim(nx+x+1-2x-x+1)x-x+1)22例题求limn33,x2=xn3,所以xn有上3,xn=解:原式=lim=lim(x+x+1-2证明:设x1=3有xn=n+x+nx2+-x+x2=11)证明xn有界,显然x1=3,设xn3,则xn+1=xn5、利用夹逼定理求极限收稿日期:2005-05-11作者简介:林新和(1964-),男,呼伦贝尔学院数学系讲师,从事基础数学教育

4、教学研究。102© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 定理:若存在自然数N,当n>N时,总有an<bn<cn,且liman=limcn=l,则有limbn=ln n n x +解:limxx=limexx +lnxx +x +=lime1=limex=)例题1:求lim(3+3+3n n+1n+2n+n解:3+3+3n+nn+1n+23n+nn3+1e=18、利用等价无穷小求极限定义:设f(x)与g(x)都是无穷小,且g(x)=1,则称

5、f(x)与g(x)是等价无穷x ag(x)小,表示为f(x)=o(g(x)。等价无穷小可替换。0,若lim即3n+n3+3+3n+1n+2n+n=0,lim332(n+1)n 2(n+1)arctan例题:求limx 0ln(1-x2)n+1=0,3因为limnsin3xln(1+x)解:当x 0时,sin3x2=o(3x2),arctan2-x2n+13=o(-x2),ln(1+x)=o(x),ln(1所以lim(n +n+23+)=0。n+n322-x)=o(1-x).例题2:求limxn x-1解:任意x0,则xx数性质x-1<x<xx原式=lim,根据取整函若x>0,

6、则x(x-1)xx1,x 03x2x2=.x 1x9x4-2(1-x2)若x<0,则1x而limx(x 0x 0(例题:求limx 0x-)=1,解:因为cosx=1-e-2根据夹逼定理limxx 0x+44!+o(x),5=1.=1-1-6、利用换元法求极限44+o(x)22!4例题:求lim(sinx 0x+cosxx)x原式=lim+4+o(x)-1+x45-o(x4)4x 0解:令x=y,则x 时,y 0.y-4=lim=x 04+o(x)原式=lim(siny+cosy)y 0y 0x4=-12lim(1+siny+cosy-1)siny+cosy-110、利用收敛级数求极限例

7、题:求limnnnlimlimy=ey 0=ey 01=eyn ,Un=解:考虑级数7、利用洛毕达法则求极限n=1nnnnnn.0此方法常用于未定式0,1,0,2,型的求极限运算。例题:求lim解:求limsinxxxnnn+1因为=n=2Un(n+1)n+1(n+1)2n!nx 0x-sinxxxxxxx=2(1+)nn=e<1=lim=limx 0x 01-cosxx 0x-sinxxx由达朗贝尔判别法得级数收敛,故limnnnn =0=limx 0cosxx +=2.11、利用定积分求和式极限例题:求limxx例题:求limna+1n ,>0103© 1994-20

8、10 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 解:原式lim+1nnn k=1na=1xdx=+110=由归纳法知,a2a4a6a2Ka2K-1a3a1,即偶子列a2k单增有上界a1,奇子列a2k-1单减有下界a2,故均收敛。设a2k ,a2k-1 ,所以,a2k=a2k-1a2k-222,(-)=0,所以,=两端取极限=0,所以证an收敛,即存在极限12、利用积分中值定理求极限例题:求lim=n 4cosxdx,nn,cosx,44由积分中值定理得>0,<解:4014、利用斯

9、托兹(Stolz)定理求极限ncosxdx=ncosxdx+n4cosxdx1dx例题:若liman=a,则limn n a1+an=a)cosnCn,+(-4)上不等式+(-4所以,lim=n 证:往证lim+n=an ,cosxdxn40=0根据Stolz定理lima+a+n +n=13、利用数列递推关系求极限例题:设a1a20,a2k+1=a2k=a2k-1a2k-22,=(n -(n-1)+)证an收敛证明:往证a2k1递减且有下界,a2kk-1 limn 1=a所以,原式=a。参考文献:1刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义M.高等教育出版社,2003,第三版.a2a3=a2a4=21,a2

10、a3a3,且a2a4a3a1,类似,a4a3a4a6a5a3,2华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社,2001,第三版.(上接第98页)口语交际能力学习完课文之后,根据课文的特点,教师可以组织学生通过双人、小组或全班活动的形式,进行简单的讨论,戏剧表演,扮演角色等以提高学生的学习兴趣。(三)运用课文培养学生的书面表达能力教师在教学过程中应努力使学生高度重视英语写作,引导学生树立提高英语写作能力的信心。让学生对已学的课文进行缩写、改写、续写、模仿写或对课文中的某个人物、事件、观点进行简单的评析。这样既能巩固所学的知识,又能培养学生综合运用知识的能力。总之,培养阅读能力,掌握阅读方法是教学中应该长期坚持的,只有经过不懈努力才能取得好的104效果。作为教师,要不断地更新教育观念,不断研究,学习教育学理论,不断地进行教改尝试,以新的教学理论为指导,以21世纪对人才的要求为目标,从远处着眼,从近处着手,切实通过课堂教学这条主渠道,认真地指导学生的学习方法,培养学生的创新意识,提高他们的创新能力。参考文献:1杭宝桐.中学英语教学法M.华东师范大学出版社出版,1988.2英语教育专业教学大纲M.东北师范大学出版社,1992.3外语教育心理学M.安徽教育出版社,1986.4AlbertJ.Harris.HowtoIncreaseRea