高等数学函数、极限和连续

1、第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).y=f(x)xD2.分段函数: 1g(x)xD23.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x1、x2D 当x1x2时,若f(x

2、1)f(x2),则称f(x)在D内单调增加( )；若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内单调减少( )；若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加( )；若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少( )。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c为常数)2.幂函数： y=xn , (n为实数)3.指数函数： y=ax , (a0、

3、a1)4.对数函数： y=loga x ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot xy=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极限: limynn=A称数列或称数列ynynyn以常数A为极

4、限; 收敛于A. 定理: 若的极限存在yn必定有界.2.函数的极限：当x时，f(x)的极限：limf(x)=Ax-limf(x)=Ax limf(x)=A x+当xx0时，f(x)的极限：limf(x)=A xx0左极限：xx0lim-f(x)=A右极限：xx0lim+f(x)=A函数极限存的充要条件：定理：xx0limf(x)=Alim-f(x)=lim+f(x)=Axx0xx0无穷大量和无穷小量1 无穷大量：limf(x)=+f(x)为无穷大量。x+,x,xx,xx,xx0称在该变化过程中 X再某个变化过程是指： x-,无穷小量：-0+02 limf(x)=0f(x)为无穷小量。 称在该变

5、化过程中3 无穷大量与无穷小量的关系：1limf(x)=0lim=+,(f(x)0)定理： f(x)4 无穷小量的比较：lim=0,lim=0lim=0 若,则称是比较高阶的无穷小量； lim=c 若 （c为常数），则称与同阶的无穷小量； 若lim=1，则称与是等价的无穷小量，记作：；若lim=,则称是比较低阶的无穷小量。定理：若：11，22；则：lim12=lim12两面夹定理1 数列极限存在的判定准则：设：ynxnznnn （n=1、2、3） limy=limz=ann 且：limx=an 则： n2 函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域内的一切点（点x0除外）有：g(x)f(

6、x)h(x)且： xx0limg(x)=limh(x)=Axx0则：xx0limf(x)=A极限的运算规则若：limu(x)=A,limv(x)=B则：limu(x)±v(x)=limu(x)±limv(x)=A±Blimu(x)v(x)=limu(x)limv(x)=AB u(x)limu(x)Alim=(limv(x)0) v(x)limv(x)B推论：limu1(x)±u2(x)± ±un(x)=limu1(x)±limu2(x)± ±limun(x)limcu(x)=climu(x)limu(x)

7、=limu(x)nn两个重要极限sin(x)sinxlim=1lim=1 1x0 或 (x)0 (x)x1xlim(1+)=elim(1+x)=e 2x x0x§1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性 1x1. 函数在x0处连续：f(x)在x0的邻域内有定义，x0 1ox0limy=limf(x0+x)-f(x0)=02oxx0limf(x)=f(x0)左连续：xx0lim-f(x)=f(x0)右连续：2. 函数在xx0lim+f(x)=f(x0)x0处连续的必要条件：定理：f(x)在x0处连续f(x)在x0处极限存在x0处连续的充要条件：xx0xx03. 函数在limf(x)=f

8、(x)limf(x)=limf(x)=f(x)00-+ 定理： xx04. 函数在a,bf(x)a,b在上连续： 上每一点都连续。在端点xaxba和b连续是指： limf(x)=f(a) 左端点右连续； + limf(x)=f(b)- 右端点左连续。a0 b x5. 函数的间断点：若f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点。间断点有三种情况：1o)x(fx0在处无定义；2oxx0limf(x)不存在；3o)x(fx0在处有定义，且xx0limf(x)。 存在， 但xx0limf(x)f(x0)两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：xx0lim-f(x)lim+f(x)和xx0都存在

9、。 可去间断点：xx0limf(x)存在，但xx0limf(x)f(x0)，或)x(f在x0处无定义。2o第二类间断点：特点：xx0lim-f(x)lim+f(x)和xx0至少有一个为， 或xx0limf(x)振荡不存在。 无穷间断点：xx0lim-f(x)lim+f(x)和xx0至少有一个为 函数在1. x0处连续的性质 连续函数的四则运算：设xx0limf(x)=f(x0)limg(x)=g(x0)，xx0 1oxx0limf(x)±g(x)=f(x0)±g(x0)2o xx0limf(x)g(x)=f(x0)g(x0)3o2. f(x)f(x0)lim=xx0g(x)

10、g(x0)复合函数的连续性： limg(x)0 xx0y=f(u),u=(x),xx0y=f(x) lim(x)=(x0),xx0u(x0)limf(u)=f(x0) 则：3. limf(x)=flim(x)=f(x0)xx0反函数的连续性：y=f(x),xx0x=f(x),yy0-1y0=f(x0) -1-1 limf(x)=f(x0)limf(y)=f(y0)a,b上连续的性质 函数在1.最大值与最小值定理：f(x)在a,b上连续f(x)在a,b上一定存在最大值与最小值。x2. 有界定理：f(x)在a,b上连续f(x)在a,b上一定有界。f(x)在a,b上连续在(a,b)内至少存在一点 3

11、.介值定理：，使得：f()=c，其中：mcMxx推论：f(x)a,b在上连续，且f(a)与f(b)异号在(a,b)内至少存在一点，使得：f()=0。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1导数：y=f(x)在x0的某个邻域内有定义，f(x0+x)-f(x0)yli=li x0 xx0xf(x)-f(x0)=lim xx0x-x0dyy'x=x0=f'(x0)=dxx=x02左导数：f(x)-f(x0)f-'(x0)=lim- xx0x-x0f(x)-f(x0)f+'(x0

12、)=lim+ xx0x-x0右导数：定理：f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：f-'(x0)=lim-f'(x)xx0 （或：f+'(x0)=lim+f'(x)xx0）3.函数可导的必要条件：定理：f(x)在x0处可导f(x)在x0处连续4. 函数可导的充要条件：定理：y'x=x0'(x0)=f+'(x0)， =f'(x0)存在f- 且存在。5.导函数： y'=f'(x), x(a,b)y f(x)在(a,b)内处处可导。 y f'(x0)6.导数的几何性质：f'(x0)

13、 是曲线y=f(x)上点 x0 M(x0,y0)处切线的斜率。 o x 求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1o2o （u±v)'=u'±v' （uv)'=u'v+uv'u'v-uv'u =2 3 (v0) vvo'3.复合函数的导数：y=f(u),u=(x),y=f(x)dydydu=''' ，或 f(x)=f(x)(x) dxdudx''注意f(x)与f(x)的区别：f(x)'表示复合函数对自变量x求导；f'(x)表示复合函数对中间变

14、量(x)求导。f''(x),f'''(x),或f(3)(x) 4.高阶导数：f(n)(x)=f(n-1)(x)',(n=2,3,4 ) 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。微分的概念1.微分：f(x)在x的某个邻域内有定义，y=A(x)x+o(x)其中：A(x)与x无关，o(x)是比x较高o(x)lim=0 阶的无穷小量，即：x0 x则称y=f(x)在x处可微，记作：dy=A(x)xdy=A(x)dx (x0)f(x) 在 2.导数与微分的等价关系： 定理：x处可微f(x)在x处可导，且：3.微分形式不变性： f'(x)=A(x)dy=

15、f'(u)dudy都具有相同的形式。 不论u是自变量，还是中间变量，函数的 微分§2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理: f(x)满足条件:1在a,b上连续；在(a,b)内至少2在(a,b)内可导;存在一点,0 '3.f(a)=f(b).使得f()=0.o0.0.2. 1在a,b上连续，在一点，使得：02在(a,b)内可导；f(b)-f(a)f'()=b-a 0在(a,b)内至少存罗必塔法则：（,0定理： 型未定式） f(x)和g(x)满足条件：limf(x)=0(或）1olimg(x)=0(或）； xaxa2o在点a的某个邻域内可导，

16、且g'(x)0；f'(x)3oxlima()g'(x)=A,（或）f(x)f则：xlima()g(x)=xlim'(x)a()g'(x)=A,（或） 注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件，不能使用法则。0即不是0型或型时，不可求导。3o应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4o若f'(x)和g'(x)还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即：f(x)f'(x)f''xlima()g(x)=xlima()g'(x)=xlim(x)a()g

17、''(x)=A5o若函数是0,-型可采用代数变000形，化成0或型；若是1,0,型可0采用对数或指数变形，化成0或型。导数的应用1 切线方程和法线方程：设：y=f(x),M(x0,y0)切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)）（或1y-y0=-(x-x0),(f'(x0)0)法线方程： f'(x0)2 曲线的单调性：f'(x)0x(a,b)f(x)在(a,b)内单调增加；f'(x)0x(a,b)f(x)在(a,b)内单调减少 f'(x)>0x(a,b)在(a,b)内严格单调增加；f'(x)<0x(a,b)

18、在(a,b)内严格单调减 少3.函数的极值：极值的定义：设f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的一点；x0的某个邻域内的任意点若对于xx0，都有：f(x0)f(x)或f(x0)f(x)则称 f(x0)f(x)是的一个极大值（或极小值），x0f(x)称为的极大值点（或极小值点）。极值存在的必要条件：定理：1.f(x)存在极值f(x0)f(x)=0002.f'(x0)存在。0x0称为f(x)的驻点极值存在的充分条件：定理一：1.f(x)在x0处连续；f(x0)是极值；02.f'(x0)=0或f'(x0)不存在；x是极值点。00'3.f(x)过x0时变号。

19、当0x渐增通过x0时，f(x)由（+）变（-）；为极大值； 则f(x0)当x渐增通过x0时，f(x0)f(x)由（-）变（+）；则为极小值。定理二：f(x0)是极值；1.f'(x0)=0；0x0是极值点。2.f''(x0)存在。 0若f''(x0)<0f''(x0)>0，则f(x0)f(x0)为极大值； 若，则为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点：若f''(x)>0,x(a,b)；则f(x)在(a,b)内是上凹的（或凹的），（）；f''(x)<

20、0,x(a,b)；则f(x)在(a,b)内是下凹的（或凸的），（）；0若(x0,f(x0)称1.f''(x0)=0，02.f''(x)过x0时变号。为f(x)的拐点。5。曲线的渐近线：水平渐近线：若limf(x)=Ay=A是f(x)x-或limf(x)=A的水平渐近线。x+ 铅直渐近线：若lim-f(x)=x=C是f(x)xC或lim+f(x)=的铅直渐近线。xC第三章 一元函数积分学§3.1 不定积分一、主要内容重要的概念及性质：1原函数：设：f(x),F(x),xD若：F'(x)=f(x)f(x)F(x) 则称是的一个原函数，并称F(x)+

21、C是f(x)的所有原函数,其中C是任意常数。2不定积分：函数f(x)的所有原函数的全体，f(x)的不定积分；记作：称为函数 f(x)dx=F(x)+Cf(x)称为被积函数； 其中：f(x)dx称为被积表达式；x 称为积分变量。3. 不定积分的性质：或：f(x)dx=f(x)df(x)dx=f(x)dx' f'(x)dx=f(x)+C或：df(x)=1f(x)+C 2n f(x)+f(x)+ +f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+ +f12(k为非零常数) n(x)dx 分项积分法 kf(x)dx=kf(x)dxf(x)'(x)dx= 4.基本积分公式： 换元积分法

22、： 第一换元法：（又称“凑微元”法） 凑微元f(x)d(x)令t=(x)=f(t)dt=F(t)+CF(x)+C回代t=(x)常用的凑微元函数有： =1o 11dx=d(ax)=d(ax+b) (a,b为常数，a0) aa11m+1m+1xdx=dx=d(ax+b) m+1a(m+1)m2o（m为常数）1xedx=d(e)=d(ae+b) axxx 3o 1xadx=d(a),(a>0,a1) lna4o 1dx=d(lnx) x5o sindx=-d(cosx)cosxdx=d(sinx)secxdx=d(tanx)cscxdx=-d(coxt)11-x222 6 odx=d(arcs

23、inx)=-d(arccosx)1dx=d(arctaxn)=-d(arcotx)2 1+x2.第二换元法：f(x)dx=反代t=令x=(t)=f(t)d(t) ='(t)f(t)dx=F(t)+C F(x)+C-1-1 (x) 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1o x=t,n为偶数时,t>0n(当被积函数中有x时)22时) 2o x=asint,(或x=acosx),0t2 (当被积函数中有a-x2 3o x=atant,(或x=acott),0t<,(0<t)22(当被积函数中有a+x22时) 4o x=asect

24、,(或x=acsct),0t<,(0<t)22(当被积函数中有分部积分法：1. 分部积分公式： x-a2时)udv=uv-vdu ''uvdx=uv-uvdx2.分部积分法主要针对的类型：P(x)sinxdx,P(x)cosxdxP(x)edxP(x)lnxdxP(x)arcsinxdx,P(x)arccosxdx xP(x)arctanxdx,P(x)arccotxdxesinbxdx,ecosbxdxaxax 其中：P(x)=a0x+a1xnn-1+ +an （多项式）3.选u规律：在三角函数乘多项式中，令P(x)=u，P(x)=u， 其余记作dv;简称“三多选

25、多”。 在指数函数乘多项式中，令其余记作dv;简称“指多选多”。在多项式乘对数函数中，令其余记作dv;简称“多对选对”。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为u，其余记作dv;简称“多反选反”。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为u，其余记作dv;简称“指三任选”。简单有理函数积分： lnx=u，1. 有理函数：P(x)f(x)=Q(x)其中P(x)和Q(x)是多项式。P(x)f(x)=21+x2. 简单有理函数： P(x)f(x)=,1+x P(x)f(x)=(x+a)(x+b)P(x)f(x)=2(x+a)+b§3.2定积分 f(x)一 主要内容（一）.重要概念与性质1. 定积

26、分的定义： O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b xbaf(x)dx=limf(i)x0i=1nn定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x),直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。x轴上方的面积取正号， yx 轴下方的面积取负号。 + +a 0 - b x2. 定积分存在定理：设：y=f(x)xa,b若：f(x)满足下列条件之一:1.f(x)连续，xa,b;2.f(x)在a,b上有有限个第一类间断点;3.f(x)在a,b上单调有界;则：f(x)在a,b上可积。若积分存在，则积分值与以下因素无关：1与积分变量形式无关，即f(x)dx

27、=f(t)dt;aabba,b可以任意划分2与在a,b上的划分无关，即;3 与点i的选取无关，即i可以在xi-1,xi上任意选取。3. 牛顿莱布尼兹公式： 积分值仅与被积函数f(x)与区间a,b有关。若F(x)是连续函数f(x)在a,b上的任意一个原函数：则：f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a)a*牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4. 原函数存在定理： bba若f(x)连续，xa,b,则：(x)=f(t)dt,axxa,b (x)是f(x)在a,b上的一个原函数，且：'(x)=(f(t)dt)'=f(

28、x)ax5. 定积分的性质：设f(x),g(x)在a,b上可积，则： 1b bakf(x)dx=kf(x)dx aabb234 aaf(x)dx=-f(x)dx baf(x)±g(x)dx=aabf(x)dx±g(x)dxa b f(x)dx=0cbac5 baf(x)=f(x)dx+f(x)dx(a<c<b)6 1dx=b-aabyb x(ag(x)aa8估值定理：m(b-a)f(x)dxM(b-a)ab其中m,M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值。ym0 b 9使f(x)dx=f()(b-a)a（二）定积分的计算：1. 换元积分 b设f(x)连续，xa

29、,b，x=(t)若'(t)连续，t,且当t从变到时，(t)单调地从a变到b, ()=a,()=b,b '则：f(x)dx=f(t)(t)dt a2. 分部积分3. baudv=uva-vdu a广义积分 bb4. +-f(x)dx=x0-f(x)dx+0f(x)dx 定积分的导数公式 '1（f(t)dt)x=f(x) a2(x)af(t)dt'x=f(x)'(x)32(x)1(x)'(x)-f1(x)1'(x)f(t)dt'x=f2(x)2x=a,x=b,(a<b) (三)定积分的应用 1. 平面图形的面积: 1由y=f(x

30、)>0,与x轴所围成的图形的面积 y f(x) s=f(x)dx ab2由y1=f(x),by2=g(x),(f>g与x=a,x=b s=f(x)-g(x)dxa 3由x1=(y),x2=(y),(>)与y=c,y=d所围成的图形的面积 s=(y)-(y)dycd4.求平面图形面积的步骤： .2. 求出曲线的交点，画出草图； 确定积分变量，由交点确定积分上下限； 应用公式写出积分式，并进行计算。 旋转体的体积1曲线y=f(x)>0,与x=a,x=b及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积：Vx=f(x)dx ab20 a2由曲线x=(y)>0,与得旋转体的体积：V

31、=(y)dyy c第四章 多元函数微积分初步§4.1 偏导数与全微分一. 主要内容：. 多元函数的概念3. 二元函数的定义： d2z=f(x,y)(x,y)D定义域：D(f)4. 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） . 二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。（点(x0,y0)可除外 ）xx0yy0 2limf(x,y)=A则称z=f(x,y)在(x0,y0)极限存在，且等于A。2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。 2limf(x,y

32、)=f(x0,y0)xx0yy0则称z=f(x,y)在(x0,y0)处连续。.偏导数：定义:f(x,y),在(x0,y0)点f(x0+x,y0)-f(x0,y0)fx'(x0,y0)=lim x0xf(x0,y0+y)-f(x0,y0)fy'(x0,y0)=limy0 yfx'(x0,y0),fy'(x0,y0)分别为函数f(x,y)在(x0,y0)处对x,y的偏导数。z=f(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：f(x,y)zfx'(x,y)=z'x xxf(x,y)zfy'(x,y)=z'y yy.全微分：1.定义：z

33、=f(x,y)若z=f(x+x,y+y)-f(x,y)=Ax+By+o()其中，A、B与x、y无关，o（）是比=x+y较高阶的无穷小 量。22则:dz=df(x,y)=Ax+By是z=f(x,y) 在点(x,y)处的全微分。3. 全微分与偏导数的关系定理：若fx'(x,y),fy'(x,y)连续，(x,y)D.则：z=f(x,y)在点(x,y)处可微且'(x,y)dx+fy'(x,y)dy dz=fx.复全函数的偏导数：1.设：z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y) z=fu(x,y),v(x,y)zzuzv=+ xuxvxzzuzv=+yuyvy2. 设y=f(u,v),u=u(x),v=v(x) y=fu(x),v(x)dyyduydv=+dxudxvdx.隐含数的偏导数：1.设F(x,y,z)=0,z=f(x,y),且Fz'0Fy'Fx'zz则=-,=-xFz'yFz'2. 设F(x,y)=0,y=f(x),且Fy'0Fx'dy则=-dxFy&#