专题八 带电粒子在复合场中的运动

1、专题八 带电粒子在复合场中的运动带电粒子在组合场中的运动带电粒子在组合场中的运动问题，关键是要按顺序对题目给出的运动过程进行分段分析，把复杂问题分解成一个一个简单、熟悉的问题来求解，对于由几个阶段共同组成的运动还应注意衔接处的运动状态.解决带电粒子在组合场中运动问题的思路方法是：【例1】(2015·苏锡常镇三模)如图所示，在xOy平面0<x<L的区域内有一方向竖直向上的匀强电场，x>L的区域内有一方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场.某时刻，一带正电的粒子从坐标原点以沿x轴正方向的初速度v0进入电场；之后的另一时刻，一带负电的粒子以同样的初速度从坐标原点进入电场.正、

2、负粒子从电场进入磁场时速度方向与电场和磁场边界的夹角分别为60°和30°，两粒子在磁场中分别运动半周后恰好在某点相遇.已知两粒子的重力以及两粒子之间的相互作用都可忽略不计.求：(1) 正、负粒子的比荷之比.(2) 正、负粒子在磁场中运动的半径大小.(3) 两粒子先后进入电场的时间差.【解析】 (1) 设粒子进磁场方向与边界夹角为，vy=，vy=t，t=，=13.(2) 磁场中圆周运动速度v=，v1=v0，v2=2v0，qvB=m，R=，=，y=·t，两粒子离开电场位置间的距离d=y1+y2=L.根据题意作出运动轨迹，两粒子相遇在P点，由几何关系可得2R1=dsin

3、 60°，2R2=dsin 30°，R1=L，R2=d=L.(3) 两粒子在磁场中运动时间均为半个周期t1=，t2=.由于两粒子在电场中运动时间相同，所以进电场时间差即为磁场中相遇前的时间差t=t1-t2=.【答案】 (1) 13(2) LL(3) 【变式训练1】 (2015·南京、淮安三模)如图所示，x轴上方有竖直向下的匀强电场，x轴下方有垂直纸面向外的匀强磁场.矩形OACD的边长分别为h和2h. 一个带正电的粒子质量为m，电荷量为q，以平行于x轴的某一初速度从A点射出，经t0时间粒子从D点进入磁场，再经过一段时间后粒子又一次经过A点(重力忽略不计).(1) 求

4、电场强度大小E.(2) 求磁感应强度大小B.(3) 若仅改变粒子初速度的大小，求粒子以最短时间由A运动到C所需的初速度大小vx.【解析】 (1) 由h=a，得a=.Eq=ma，E=. (2) 由vx=，vy=at0=vx，得v=.由R=，得=2h，则B=.(3) 设速度大小为vx，运动轨迹与x轴交点处速度方向与x轴夹角，第一次与x轴相交时，vy=，合速度为v，交点坐标为x2=vxt0，sin=，R=vt0，Rsin=vt0·=2h，与初速度大小无关.运动轨迹与x轴另一交点坐标为x1=x2-2Rsin=vxt0-4h，根据对称性x1=-h，x2=3h，粒子以最短时间由A运动到C所需速率

5、vx=.【答案】 (1) (2) (3) 【变式训练2】(2015·海安、南外、金陵三校联考)如图所示，L1、L2为两平行的直线，间距为d.L1下方和L2上方的空间有垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度均为B.现有一质量为m、电荷量为+q的粒子，以速度v从L1上的M点射入两线之间的真空区域，速度方向与L1成=30°角.不计粒子所受的重力.(1) 粒子从M点出发后，经过多长时间第一次回到直线L1上?(2) 若在直线L1、L2之间的平面内，存在与图示速度方向垂直斜向上、场强为E的匀强电场，则粒子经过多长时间第一次到达直线L2? (3) 若直线L1、L2之间无电场，v满足什么条

6、件时，粒子恰好能回到M点?【解析】 (1) 粒子运动轨迹如下图所示，由图可知粒子在无磁场区域做匀速直线运动的时间为t1=.粒子在磁场中做圆周运动，圆弧对应的圆心角为300°，故偏转的时间为t2=T=·=，所求时间为t=t1+t2=+.(2) 粒子在电场中运动的轨迹如图所示，沿场强方向的加速度为a=，位移y=at2，沿速度方向的位移x=vt，由几何关系有tan30°=，整理得t2+vt-2d=0，解得t=(负值舍去).(3) 由下图几何关系可知，粒子在磁场中的轨道半径正好等于弦长.要使粒子在L2上方的磁场中经过n次偏转能回到M点，粒子在磁场中的轨道半径必须满足：R=

7、n·2dcot30°(n=1，2，3，)，根据qvB=m，联立以上两式得到v=(n=1，2，3，).【答案】 (1) +(2) (3) (n=1，2，3，)带电粒子在复合场中的运动带电粒子在复合场中运动的分析方法【例2】(2015·苏锡常镇二模)如图甲所示，在xOy平面的第象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1；第、象限内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直纸面的匀强磁场B，E2=2.5N/C，磁场B随时间t周期性变化的规律如图乙所示，B0=0.5T，垂直纸面向外为磁场正方向. 一个质量为m、电荷量为q的带正电液滴从P点(0.6m，0.8m)处以速度v0=3m/s沿

8、x轴负方向入射，恰好以指向y轴负方向的速度v经过原点O后进入x0的区域. 已知m=5×10-5kg，q=2×10-4C，t=0时液滴恰好通过O点，取g=10m/s2. (1) 求电场强度E1和液滴到达O点时速度v的大小.(2) 液滴从P点开始运动到第二次经过x轴所需的时间.(3) 若从某时刻起磁场突然消失，发现液滴恰好以与y轴正方向成30°角的方向穿过y轴后进入x>0的区域，试确定液滴穿过y轴时的位置.甲乙【解析】 (1) 液滴在x>0的区域内受竖直向下的重力和水平向右的电场力的作用.液滴在竖直方向上做自由落体运动，y=gt2，v=gt，v=4m/s.

9、液滴在水平方向上做匀减速运动v0=at，E1q=ma，E1=1.875N/C.(2) 液滴进入x<0的区域后，由于E2q=mg，液滴运动轨迹如图甲所示，其做圆周运动的大、小圆半径分别为r1、r2，运动周期分别为T1、T2，则qvB0=，2qvB0=，r1=2m，r2=1m，T1=，T2=，T1= s，T2= s，液滴从P点到第二次穿过x轴经过的时间t总=t+=s.(3) 情形一：若磁场消失时，液滴在x轴上方，甲乙如图甲所示，OM1=+r2(1-sin30°)=(2-1) m，OM2=+r2(1-sin30°)=(6-1) m.根据周期性可得，液滴穿过y轴时的坐标yn满

10、足：yn=+r2(1-sin30°)，yn=2(2n-1)-1 m(式中n=1，2，3，).情形二：若磁场消失时，液滴在x轴下方，如图乙所示：ON1=-r2(1-sin30°)=(2+1)m，ON2=-r2(1-sin30°)=(6+1)m.根据周期性可得，液滴穿过y轴时的坐标yn满足：yn=-r2(1-sin30°)，yn=2(2n-1)+1m(式中n=1，2，3，).【答案】 (1) 1.875 N/C4 m/s(2) s(3) 见解析【变式训练3】(2014·重庆)如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，且该区域上、下部分的

11、磁场方向分别为垂直于NSTM平面向外和向内，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT的边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h.现有一质量为m、带电荷量为+q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g.(1) 求电场强度的大小和方向.(2) 要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值.(3) 若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值.【解析】 (1) 设电场强度大小为E，由题意可知mg=qE，得E=，方向竖直向上.(2) 如图甲所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应

12、的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，两圆心的连线与NS的夹角为.由r=，有r1=，r2=r1.由(r1+r2)sin =r2，r1+r1cos =h，解得vmin=(9-6).甲乙(3) 如图乙所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下两区域的运动半径分别为r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x.由题意知3nx=1.8h(n=1，2，3，).xr2=.x=.得r1=，解得n<3.5.即n=1时，v=；n=2时，v=；n=3时，v=.【答案】 (1) 方向竖直向上(2) (3) 可能的速度有三个为、带电粒子在周期性变化的电磁场中运动的问题解决这类问题首先要注意交变电场和交变磁场

13、的特点，弄清在各个过程中受到哪些力的作用，带电粒子在周期性变化的电场或磁场中处于何种状态、做什么运动，确定带电粒子的运动过程，然后选择物理原理和规律按运动过程列式求解.解题步骤如下：【例3】(2014·海安中学)如图所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向的电场强度为正).在t=0时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子.已知v0、t0、B0，粒子的比荷为，不计粒子的重力.求：(1) 当t=t0时，求粒子的位置坐标.(2) 若t=5t0时粒子回到原点，求05t0

14、时间内粒子距x轴的最大距离.(3) 若粒子能够回到原点，求满足条件的所有E0值.思维轨迹：【解析】 (1) 由粒子的比荷=，则粒子做圆周运动的周期T=2t0.则在0t0内转过的圆心角=.由牛顿第二定律qv0B=m，得r1=，位置坐标.(2) 粒子在t=5t0时回到原点，轨迹如图所示，r2=2r1，r1=，r2=，得v2=2v0.又=，r2=.粒子在t02t0时间内做匀加速直线运动， 2t03t0时间内做匀速圆周运动，则在5t0时间内粒子距x轴的最大距离hm=t0+r2=v0t0.(3) 如图所示，设带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r1，在x轴下方做圆周运动的轨道半径为r2，由几何关系可

15、知，要使粒子经过原点，则必须满足n(2r2-2r1)=2r1(n=1，2，3，).r1=，r2'=，联立以上方程解得v=v0.又由于v=v0+，得E0=(n=1，2，3，).【答案】 (1) (2) v0t0(3) E0=(n=1，2，3，)【变式训练4】(2015·扬泰南三模)在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场实现对带电粒子运动的控制.如图甲所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图象如图乙所示，周期为7t0，y轴正方向为E的正方向，垂直纸面向外为B的正方向.在t=0时刻从坐标原点由静止释放一个质量为m、电荷量为+q的粒

16、子，当B0=时，粒子沿某轨道做周期性运动，图中E0、t0已知，不计粒子的重力.(1) 求t0时刻粒子位置的纵坐标y1及3t0时刻粒子的速度大小v.(2) 改变B0的大小，仍要使粒子做周期性运动，求B0的可能取值.(3) 在(2)的情况下，求粒子速度沿y轴负方向时横坐标x的可能值.甲乙【解析】 (1) 0t0时间内，粒子做匀加速直线运动，设加速度为a，则qE0=ma，y1=a，解得y1=.粒子在磁场中做匀速圆周运动，则T=，由于B0=，则有t0=T.在t02t0时间内，粒子做匀速圆周运动，运动了四分之一周期；在2t03t0时间内，粒子在+x方向做匀速直线运动，在-y方向做初速度为零的匀加速直线运

17、动，设t=3t0时+x方向的速度为vx，-y方向的速度为vy，则vx=at0， vy=at0，v=，解得v=，方向与+x和-y方向的夹角均成45°.(2) 在3t04t0时间内，粒子做匀速圆周运动，运动了四分之一周期；4t05t0时间粒子在-x方向做匀速直线运动，在-y方向做匀减速直线运动，t=5t0时在y方向速度为零；5t06t0做匀速圆周运动，运动了四分之一周期，6t0粒子运动到y轴，速度沿+y方向.改变B0的大小，仍要使粒子做周期性运动，则应满足t0=T(n=0，1，2，3，)，解得B0=(n=0，1，2，3，).(3) 在t=t0时粒子进入磁场做匀速圆周运动，设运动速度为v1

18、，则v1=at0，qvB0=.粒子的运动轨迹如图，速度沿y轴负方向时可能的位置有M、N、P点，M、N点对应的横坐标x1=2r，解得x1=(n=1，2，3，).P点对应的横坐标x2=r+v1t0+r'，由于qvB0=，解得x2=(n=0，1，2，3，).【答案】 (1) (2) (n=0，1，2，3，)(3) 见解析带电粒子在复合场中的实际应用无论是速度选择器、回旋加速器，还是质谱仪、电磁流量计，其实质都是带电粒子在电磁场中的应用实例，解决这类问题思路主要有：(1) 力和运动的关系.根据带电体所受的力，运用牛顿第二定律并结合运动学规律求解.(2) 功能关系.根据场力以及其他外力对带电粒子

19、做功引起的能量变化或全过程中的功能关系解决问题.这条线索不但适用于均匀场，也适用于非均匀场.【例4】(2015·江苏)一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为+q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零.这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上. 已知放置底片的区域MN=L，且OM=L.某次测量发现MN中左侧区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧区域QN仍能正常检测到离子. 在适当调节加速电压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到.(1) 求原本打在MN中点P的离子质量m.(2) 为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加

20、速电压U的调节范围.(3) 为了在QN区域将原本打在MQ区域的所有离子检测完整，求需要调节U的最少次数.(取lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699)【解析】 (1) 离子在电场中加速qU0=mv2，在磁场中做匀速圆周运动qvB=m，解得r=.代入r0=L，解得m=.(2) 由(1)知，U=，离子打在Q点，r=L，U=，离子打在N点，r=L，U=，则电压的范围为U.(3) 由(1)可知，r.由题意知，第1次调节电压到U1，使原本Q点的离子打在N点=，此时，原本半径为r1的打在Q1的离子打在Q上，=，解得r1=L.第2次调节电压到U2，原本打在Q1的离子打在N点，原本半径为r2

21、的打在Q2的离子打在Q上，则=，解得r2=L.同理，第n次调节电压，有rn=L，检测完整，有rn，解得n-12.8，最少次数为3次.【答案】 (1) (2) U(3) 3次【变式训练5】(2015·重庆)如图为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场.其中MN和M'N'是间距为h的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O和O'，O'N'=ON=d，P为靶点，O'P=kd(k为大于1的整数).极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U.质量为m、带电荷量为q的正离子从O点由静止开始加速，经O'