不等式的证明方法论文

1、重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：不等式的证明方法院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范类） 年 级 2009级 学生姓名 杨家成 学生学号 200906034134 指导教师 向以华 完成毕业设计（论文）时间 2013 年 5 月目录摘要IAbstractII引言1第一章 不等式的基本知识11.1 不等式的概念11.2 实数运算的性质（符号法则）11.3 不等式的性质1第二章 证明不等式的常用方法22.1 比较法22.2 公式法2第三章 微分在证明不等式中的应用43.1 利用函数的单调性53.2 利用微分中值定理7第四章 积分在证明不等式中的应用84.1利用积分性质84.2 利

2、用积分中值定理94.3 利用二重积分证明不等式10第五章 概率在证明不等式中的应用11致谢13参考文献13不等式的证明方法杨家成（重庆三峡学院 数学与统计学院 数学与应用数学专业2009级 重庆万州 404100）摘要：无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容. 而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分. 在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法. 在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等. 在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、

3、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 关键词：不等式；中值定理；证明A Lot of Methods about Inequality ProofYANG Jia-cheng(Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science,Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404100 )Abstract: In ele

4、mentary mathematics and higher mathematics, inequalities are very important elements. Inequality is an important component in the inequality proof. In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Inequality in elementary mathematical proof commonly use in comparative law, for

5、 commercial, analysis, synthesis, mathematical induction, the reduce- tion to absurdity, discriminant, function, Geometry, and so on. Inequality in higher mathematics proof often use the intermediate value theorem, the Lagranga function and some famous inequality, such as : mean inequality, Kensen i

6、nequality, Johnson in- equality, Helder inequality, and so on. Inequality proof methods get more efficient and help us further explore and study the inequality proof.Key words：inequality; mean value theorem; proof 引言不等式是数学中的重要内容之一，它反映了各个变量之间很重要的一种关系. 它的证明在数学中起着重要作用，既能丰富数学知识，又能发展数学逻辑思维能力. 证明不等式没有固定的模

7、式，方法因题而异，灵活多变，技巧性强.运用初等数学知识能证明一些不等式，但对于另一些不等式的证明，比如积分不等式，以及简化一些不等式证明，则需要借助高等数学知识. 作为高等数学的核心 微积分就是一种实用的证明不等式的方法.第一章 不等式的基本知识1.1 不等式的概念不等式的定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子.1.2 实数运算的性质（符号法则） （1）. （2）. （3）. （4）.1.3 不等式的性质（1）对称性: .（2）传递性：.（3）可加性：.（4）可乘性：， .第二章 证明不等式的常用方法2.1 比较法 证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒等不等式进行合乎逻辑的等

8、价变换.具体的方法很多，下面着重介绍最基本两种比较法、公式法.欲证， (1) 只要证明； (2) 如果，只要证明例1 已知， 求证：证明： .说明：作差后为了判断符号，需要恒等变形，而证本题关键正在于联想二次三项式的因式分解.例2 设，求证：.证明：因为， 所以， 而， 故.说明：当式子为指数式时，联想到指数性质，故常用比值法.比较法是最简单明了的方法，为进一步研究，接下来看另一种方法，用公式法，即利用常用不等式来证明不等式.2.2 公式法2.2.1 柯西不等式定理1.1 设，则，当且仅当时，等号成立例1 已知都是正数，求证：证明：构造两个数组：，由柯西不等式，得，即 ，所以2.2.2 均值不

9、等式定理1.2设是个正数，则称为均值不等式.其中 ，.例2 已知，求证：证明：由，得，从而 ，故只要证明，即即可，等号在（这时）时取得，所以2.2.3 排序不等式定理1.3 设则有 （倒序积和） （乱序积和） （顺序积和）其中是的一个排列，即 倒序积和乱序积和顺序积和例3 设是个互不相同的自然数，证明：证明：设是的一个排列且，因，所以由排序不等式，得，又因为，故 ，即说明：排序不等式适用于与数的排列相关的问题.从应用中，可看出在利用重要不等式来证明不等式时必须注意重要不等式所需要的条件，以及有时需要变形等适当处理，凑成重要不等式的形式.除了已介绍的二种方法，分析法、综合法、反证法、换元法、构造

10、法、放缩法、数学归纳法等也能解决初等数学中多数不等式证明问题，但对于一些不等式的证明，单靠初等方法是不够的，因此，需要借助高等数学知识微积分来更进一步扩广加深证明不等式的研究. 接下来就探讨微积分在证明不等式中的应用.第三章 微分在证明不等式中的应用微分证明不等式的主要方法有函数的单调性法、函数极值与最值法、微分中值定理法、函数凹凸性法、泰勒公式法等.下面就结合例题分别阐述以上方法.3.1 利用函数的单调性在证明不等式中最常见，最有用的方法之一就是函数单调性法，先来看相关定理.定理 3.1设函数在区间上可导，则在上递增(减)的充要条件是：证明:若为增函数，则对每一个当时有令即得 若在区间上恒有

11、，则对任意的应用拉格朗日中值定理，存在，使得由此得到在上为增函数定理 3.2 设函数在上连续,在内可导， 若在内，那么函数在上严格单调增加； 若在内，那么函数在上严格单调递减.例1 求证：当时，证明：设， ，由，可知，即在上严格递减，又由于在处连续，故例2 已知都是正整数，且，证明：不等式证明：原不等式等价于，令，则即在上严格递减，所以，即成立说明：对幂指式情况，常取对数，作辅助函数来帮助证明.由以上例题可总结出函数的单调性法的证明不等式步骤： 移项（或其它等价变形）使不等式一端为0，另一端为所作的辅助函数；讨论 符号来确定在指定区间的增减性，根据函数的单调性及区间端点处的函数值即可得证.其中

12、步骤 是关键，作出适当辅助函数，值得注意的是步骤讨论符号，有时一阶导的符号不能判断，这就需要判断二阶导数的符号，若仍旧不能判断，再求三阶导数，重复上述过程.例3 求证：证明：即证明，即设，则，而，命题得证例4 求证：当时，证明：设，则，故在上递增当时，得，即；当时，得，即，综上，结论命题得证利用函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，与之类似的是利用函数的极值与最值，但是这里比较的是极值与端点值，而不是0与端点值.3.2 利用微分中值定理微分中值定理主要有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，其中应用最广泛的是拉格朗日中值定理.定理3.3 (拉格朗日中值定理 ) 函数满足如下条件： (

13、) 在区间上连续，() 在区间内可导，则在上至少存在一点使得 证明: 作辅助函数显然且在上满足罗尔中值定理的条件，故存在使得，移项即得 由拉格朗日公式特点看出，拉格拉日中值定理适用于证明含有函数及其导数，且出现函数之差，自变量差及的表达式的不等式.例1 证明： 对一切成立不等式证明：设，在区间上满足拉格朗日中值定理，则，当时，由可推知，当时，由可推知，从而得到所要证明的结论例2 求证：.证明：设 ，则， 故.由以上二例可总结出应用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤：构造函数，并确定对应区间；对在上运用拉格朗日中值定理；利用与 之间大小关系，题中所给条件，放大或缩小 ，从而推得不等式.步骤中关键是

14、第一步，构造适当的函数，确定区间 ，使 在上满足定理条件；而第三步中，如何放大或缩小，有时也需善于借助其它相关知识.第四章 积分在证明不等式中的应用4.1利用积分性质性质4.1 设为区间上的可积函数，若，则推论4.1.1 若与为上的可积函数，且，则有推论 设为上的可积函数，其最大值为，最小值为，则例1 设在上二阶可导，且，证明：证明：因为，所以为凸函数，故对上任意两点，有，令，得 故有例2求证：证明：设，则，令，而，即，说明：当证明某积分不等式大于等于或小于等于定数时，往往利用转化为求原函数最值较为简单.除了积分性质，积分中值定理也常用于证明不等式.4.2 利用积分中值定理积分中值定理包括积分

15、第一中值定理、积分第二中值定理，最常用的是积分第一中值定理.定理4.1 若函数在上连续，则至少存在一点使得例1 求证：证明：，其中，于是由，即获证例2 设在上连续，且严格单调递减，求证：证明：设，则，依题意，得， 在上单调递减，得，即，运用积分中值定理，可将积分不等式转化为函数不等式来证明，同样的思路也应用到变限积分法中.4.3 利用二重积分证明不等式有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题，会给解题带来方便.定理4.2 若在上可积，在上可积，则二元函数在平面区域上可积，且例1 设函数与在上连续，证明Cauchy-Schwarz积分不等式证明：记积分区域，利用定积分与积分变量符号无

16、关的性质等，有 以上就是要介绍的积分在证明不等式的几种方法，从应用中，可看出运用积分与微分证明不等式方法类似，都主要是利用相关的性质，公式.由以上可以看出，微积分对证明不等式起到了重要作用. 对于某些初等方法无法证明的不等式，适当地利用微积分知识就可以证明. 在具体证明中要依据题设和待证不等式的结构特点，内在联系，选择适当的证明方法.至于如何选择方法，这就得熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点，通过摸清问题本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题.第五章 概率在证明不等式中的应用根据实际问题，构造适当概率模型，再利用有关结论解决实际问题，一方面沟通不同学科之间的联系.另一

17、方面也可简化证明. 对任意事件，有证明不等式例1 证明：若，则.证明：设两事件与相互独立，且， 则有， ， ， .随机实验中，必然事件的概率为1，利用这一结论可证明一些不等式.例2 证明：.证明：设随机试验只有两个基本事件和，将独立重复地做次，在第次试验中，出现的概率为，不出现的概率为.又令表示次试验中，首次出现的概率，则 记， 则， 从而的充要条件为， 现取， 则， 而， ， .分析：欲证此不等式，可从考虑相应的级数入手，若能证明级数收敛且即可.由上可看出要利用概率论的方法对不等式进行证明，关键在于针对不等式的具体形式，构造相应的概率模型，再利用概率论的相关性质、定理加以证明，从而可以使一些不等式的证明大大简化.致谢 论文即将完成，回顾这篇论文的完成，是单单靠自己完成不了的，从选题到研究方法，从资料查询到写稿，从初稿到修改，直至最终定稿，无不受到向以华老师的悉心指导，深深关切.整个书写论文过程中，向老师的治学严谨，平易近人深深地影响了我，让我在收获专业知