一般周期函数的傅里叶级数ppt课件

1、第八节第八节 一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、以一、以 2l 2l 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数二、正弦级数与余弦级数二、正弦级数与余弦级数回忆：函数展开成傅里叶级数回忆：函数展开成傅里叶级数定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 则有则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理) 设设 f (x) 是周期为是周期为2 的

2、的周期函数周期函数, 并满足狄利克雷并满足狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 那么那么 f (x) 的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛 , 且且有有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中其中nnba ,为为 f (x) 的傅里叶系数的傅里叶系数 . x 为连续点一、以一、以2l 2l 为周期的傅氏级数为周期的傅氏级数定理定理 设周期为设周期为 2l 的周期函数的周期函数 f (x) 满足

3、满足Dirichlet 充分条件，那么充分条件，那么 f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级数 10)sincos(2nnnxlnbxlnaa 在每点处收敛在每点处收敛. 且当且当 x 是是 f (x) 的连续点时的连续点时 , 级数收敛于级数收敛于 f (x) .当当 x 是是 f (x) 的间断点时的间断点时, 级数收敛于级数收敛于.2)()( xfxf其中其中), 2 , 1 , 0(,dcos)(1 nxxlnxflalln ), 2 , 1(,dsin)(1 nxxlnxflblln 证明证明,lxz 令令lxl , z, )()()(zFlzfxf 设设.2)(为为周周期期以以 zF)

4、,sincos(2)(10nzbnzaazFnnn .dsin)(1,dcos)(1 znzzFbznzzFann其中其中)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn ), 3 , 2 , 1(.dsin)(1), 3 , 2 , 1 , 0(,dcos)(1 nxxlnxflbnxxlnxflallnlln 其中其中)()(,xfzFlxz ,)()1(为为奇奇函函数数如如果果xf则有则有,sin)(1 nnxlnbxf ,dsin)(20 xxlnxflbln 其其中中系系数数), 2 , 1( n,)()2(为为偶偶函函数数如如果果xf则有则有,cos2)(10 nnxlna

5、axf xxlnxflalndcos)(20 其其中中系系数数), 2 , 1 , 0( nk2 xy2044 解解., 2 满足狄里克雷充分条件满足狄里克雷充分条件 l 20020d21d021xkxa,k 20d2cos21xxnk , 0 20d2sin21xxnkbn )cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf),2;(Zkkxx na), 2 , 1( n二、正弦级数与余弦级数二、正弦级数与余弦级数1、周期奇函数和偶函数的傅里叶级、周期奇函数和偶函数的傅里叶级数数( (1 1)

6、 )当当周周期期为为 2的的奇奇函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数时时, ,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ), 2 , 1(dsin)(2), 2 , 1 , 0(00 nxnxxfbnann 定理定理 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.(2)(2)当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅展开成傅里叶级数时里叶级数时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ),

7、 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(dcos)(20 nbnxnxxfann 定义定义如果如果)(xf为偶函数为偶函数, , 傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数. . 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数,它在它在), 上的表达式为上的表达式为xxf )(,将将)(xf展开成展开成傅氏级数傅氏级数. 2 2 3 3xy0例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数,它在它在), 上的表达式为上的表达式为xxf )(,将将)(xf展开成展开成傅氏级数傅氏级数.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利

8、克雷充分条件.,), 2, 1, 0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx2)0()0( ff收收敛敛于于2)( , 0 ),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 ,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx), 2 , 1 , 0(, 0 nan 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)4sin413sin312sin21(sin2)( xxxxxf(;(21) ,)xxkkZ 例例 2 2 设设)(xf是是周周期期为为 2的的周周期期函函数数,它它

9、在在), 上上的的表表达达式式为为|)(xxf ,将将)(xf展展开开成成傅傅氏氏级级数数. 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.xy0 2 2 ,2)(周期的偶函数周期的偶函数为为是以是以 xf), 2 , 1(, 0 nbn 00d)(2xxfa 0d2xx, 0dcos)(2xnxxfan 0dcos2xnxx)1(cos22 nn 1)1(22 nn , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk xxxxf5cos513cos31cos42)(22 )( x), 2 , 1( n 02cossin2nnxnnxx 2、非周期函数展

10、开成正弦或余弦级数、非周期函数展开成正弦或余弦级数非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓).()2(2,) , 0( , 0)(xFllxf为为周周期期的的函函数数或或延延拓拓成成以以上上或或定定义义在在设设 ,0)(0)()( xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况. 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓1) 奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x2) 偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅氏余弦级数的傅氏余

11、弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 定义在定义在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数,0),(xxf)(xF周期延拓周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0, 上展成周期延拓周期延拓 F (x)余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓xOy正弦级数正弦级数 f (x) 在 0, 上展成Oxy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0),(xxf)0,(),(xxf例例 3 3 将将函函数数)0(1)( xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数. .解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .x

12、y0 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 则有则有),2,1,0(0 nan 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn当当当当 4sin43sin)2(312sin2sin)2(21 xxxxx (0)x 02cossincos2nnxnnxnnxx (2)(2)求余弦级数求余弦级数. .将将 f (x) 作偶周期延拓作偶周期延拓, 则有则有xy0 1 00d)1(2xxa,2 0dcos)1(2xnxxan)1(cos22 nn , 5 , 3

13、, 14, 6 , 4 , 202nnn当当当当 xxxx5cos513cos31cos412122 )0( x),2,1(0 nbn例例4. 4. 把把 展开成展开成)20()( xxxf(1) 正弦级数正弦级数; (2) 余弦级数余弦级数.解解: (1) 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 2oyx),2,1,0(0 nan 20d2sin22xxnxbn nncos4 ),2,1()1(41 nnn 24sin4123sin3122sin212sin4)(xxxxxf )20( x2oyx(2) 将 f (x) 作偶周期延拓,),2,1(0 nbn 200d22xxa2 20d

14、2cos22xxnxan 1)1(422 nn xxf )(),2,1( k 25cos5123cos312cos81222xxx )20( x kn2,0 ,)12(822 k12 kn当函数定义在任意有限区间上时当函数定义在任意有限区间上时,方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数)(zF周期延拓周期延拓将将2abxz)(xf在在,ba代入展开式代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其展开方法为其展开方法为:xab2ba方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxf

15、zF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓奇或偶式周期延拓将将 代入展开式代入展开式axz)(xf在在,ba即axz上的正弦或余弦级数上的正弦或余弦级数 xab例例3. 将函数将函数)155(10)(xxxf展成傅里叶级数.解解: 令令,10 xz设)55( )10()()(zzzfxfzF将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由于F(z) 是奇函数, 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n则它满足收敛定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(

16、10101xnnxnn)155( x)(zFz55O ,处收敛于练习练习1.)(xf0 x,1 x0,12x则它的傅里叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为xyO11xyO11)(xf练习练习. 写出函写出函数数)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:三、小结三、小结1. 验证是否满足狄氏条件验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它

17、在何处收敛于并注明它在何处收敛于).(xf以以 2l 为周期的傅里叶系数；奇函数和偶函数的为周期的傅里叶系数；奇函数和偶函数的傅里叶系数；正弦级数与余弦级数；非周期函傅里叶系数；正弦级数与余弦级数；非周期函数的周期性延拓数的周期性延拓 .求傅里叶级数展开式的步骤：求傅里叶级数展开式的步骤：将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形其图形? ?答答: : 易看出奇偶性及间断点易看出奇偶性及间断点, , 从而便于计算系数和写出收敛域从而便于计算系数和写出收敛域 . .考虑考虑需澄清的几个问题需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确误认为以下三情况正确)1) 只有周期函数才能展成傅氏级数只有周期函数才能展成傅氏级数;2, 0)2的的傅傅里里叶叶级级数数唯唯一一展展成成周周期期为为上上在在 . )(,)3xf级数处处收敛于级数处处收敛于值点时值点时上连续且只有有限个极上连续且只有有限个极在在 一、一、 设周期为设周期为2的周期函数的周期函数)(xf在一个周期内的表达式在一个周期内的表达式为为 121,1210,101,)(xxxxxf, ,试将其展开成傅里叶级试将其展开成傅里叶级 数数 . .二、二、 试将函数试将函数 lxlxllxxxf2,20,)(展开成