中值定理(2)ppt课件

1、第三章第三章微分中值定理微分中值定理 与导数的应用与导数的应用 第一节第一节中值定理中值定理 费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理,)(0有有定定义义在在x且且 )(0 xf 存在存在, )()(0 xfxf )( 或或0)(0 xf证证: 设设, )()(, )(0000 xfxxfxxx 那么那么)(0 xf xxfxxfx )()(lim000)0( x)(0 xf )0( x)(0 xf 0 0 0)(0 xfxyo0 x)(xfy 证毕证毕由保号性由保号性罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理)(xfy 满足满足:(1) 在区间在区间 a , b

2、 上连续上连续(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使使. 0)( fxyoab)(xfy 在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点:例如例如322 xxxf)(.)()(13 xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(内可导内可导在在 ,0)3()1( ff且且,)()(12 xxf )3,1(1,1 取取.)(0 f假设假设 M m , 那么那么 M 和和 m 中至少有一个与端点值中至少有一个与端点值不等不等,不妨设不妨设 , )(afM 则至少存在一点则至少存在一点, ),(ba 使使,)(Mf .0)( f则由费马引理

3、得则由费马引理得 证证:，上上连连续续在在因因,)(baxf故在故在 a , b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m .假设假设 M = m , 那么那么, ,)(baxMxf 因而因而.0)(, ),( fba几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC注意注意:1) 定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如, 1,010,)(xxxxfx1yo1 ,1)( xxxf1 ,0)( xxxfx1yo1x1yo例例1. 证明方程证明方

4、程0155 xx,15)(5 xxxf. 3)1(,1)0( ff, 0)(0 xf, )1,0(011xxx )1(5)(4 xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .那那么么)(xf在在 0 , 1 连续连续 , 且且由介值定理知存在由介值定理知存在, )1 ,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根.0 x2) 唯一性唯一性 .假设另有假设另有, 0)(1 xf使使在以在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之之间间在在10, xx至少存在一点至少存在一点,

5、 .0)( f使使但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!设设二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续)(xfy 满足满足:(2) 在区间在区间 ( a , b ) 内可导内可导至少存在一点至少存在一点, ),(ba 使使.)()()(abafbff xyoab)(xfy abafbfk )()(几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧设设: -连接两端点弦的斜率连接两端点弦的斜率AB )( 思路思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数利用逆向思维找出一个满足罗尔定

6、理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然 ,)(x在在 a , b 上连续上连续 ,在在 ( a , b ) 内可导内可导, 且且证证: 问题转化为证问题转化为证 )(x )(xfkx )(a 由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba ,0)( 使使即定理结论成立即定理结论成立 ., )(b abbfaafb )()(abafbfkf )()()( 即要证即要证: : 0)( kf ,0)( )( kf 拉格朗日中值定理的其它形式拉格朗日中值定理的其它形式:abafbff )()()( (1)( )()(abfafbf ),(ba 比如比如: ablnln)(1ab 11

7、e),(ba e)1 , 0( abarctanarctan )(112ab ),(ba )10()(0 xxxfy,00 xxbxa (2)令令那那么么 )( )()(00 fxfxxf x(3)介于介于00 xxx与与 之间之间. 介于介于00 xxx与与 之间之间, 必有必有 10 , 使使 xx 0拉格朗日中值定拉格朗日中值定理的有限增量公理的有限增量公式形式式形式:)( )()(abfafbf xx 210 xx 0 xxx 540 推论推论: (1)若函数若函数在区间在区间 I 上满足上满足,0)( xf那那么么)(xf在在 I 上必为常数上必为常数.)(xf证证: 在在 I 上任

8、取两点上任取两点, )(,2121xxxx 上上用用拉拉在在,21xx日中值公式日中值公式 , 得得0 )()(12xfxf )(12xxf )(21xx )()(12xfxf 由由 的任意性知的任意性知, 21,xx)(xf在在 I 上为常数上为常数 .(2)假设假设kxf )( ,那么那么)()(常常数数Ckxxf 证证: 令令 ,)()(kxxfx kxfx )( )( 而而 0Ckxxfx )()( 所以所以即即Ckxxf )(3)假设假设)( )( xgxf ,那么那么)()()(常常数数Cxgxf )( )( xgxf 0)( )( xgxf0)()( xgxfCxgxf )()(

9、yox例例2. 证明等式证明等式. 1,1,2arccosarcsin xxx 证证: 设设,arccosarcsin)(xxxf 上上则在则在)1,1( )(xf由推论可知由推论可知Cxxxf arccosarcsin)( (常数常数) 令令 x = 0 , 得得.2 C又又,2)1( f故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立. 1, 1211x 211x 0 经历经历: 欲证欲证Ix 时时,)(0Cxf 只需证在只需证在 I 上上, 0)( xf,0Ix 且且.)(00Cxf 使使例例3. 证明不等式证明不等式证证: 设设, )1ln()(ttf 上满足拉格朗日上满足拉格朗日在

10、在则则,0)(xtf中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故. )0()1ln(1 xxxxx )0()(fxf)1ln(x xx 0,1 1x xx1x)0()1ln(1 xxxxxxxf 0, )0)(因此应有因此应有 )01ln()1ln(xx 11三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理)(xf及及(1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续上连续(2) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内可导内可导(3)在开区间在开区间 ( a , b ) 内内至少存在一点至少存在一点, ),(ba 使使.)()()()()()( FfaFbFafbf 满足满足 :)(xF0)( xF

11、考虑考虑: 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabFaFbF 两个两个 不不一定相同一定相同错错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. 要证要证令令)()()()(aFbFafbfk 即证即证kFf)()(0)( )( fFk即即0|)()( xxfxkF证证: 作辅助函数作辅助函数)()()(xfxkFx )()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa ,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续在在则则babax 且且, ),(ba 使使, 0)( 即即由罗尔定理知由罗尔定理知, 至少存

12、在一点至少存在一点.)()()()()()( FfaFbFafbf 0)( )( fFk即即柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()( FfaFbFafbf )(F)(aF )()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy 注意注意:xyo弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率)0()1(ff )0() 1 (FF例例5. 设设).0()1(2)(fff 2)(01)0()1(fff xxxf)()(2,)(2xxF ,)1 ,0(,1 ,0)(内可导内可导在在上连续上连续在在xf至少存在一点至少存在一点),1,0( 使使证证: 结论可变形为结论可变形为设设那

13、么那么)(, )(xFxf在在 0, 1 上满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件, 因此在因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点内至少存在一点 , 使使)( f )(F012即即)0()1(2)(fff 证明证明0)( fxyoab)(xfy )()()()()()( FfaFbFafbf abafbff )()()( xyoab)(xfy小结小结,Rolle.1定定理理水水平平弦弦!切切线线的的曲曲线线必必有有与与弦弦平平行行的的处处处处可可切切,Lagrange.2定定理理倾倾斜斜弦弦.Cauchy)(.3定理定理参数方程参数方程倾斜弦倾斜弦 )()(tfytFxxyoab441

14、2 3412思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数函数4)(xxf在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值._2) 设设有有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间341530)( xf)4, 3(, )2,1(, )3,2(上上., )4)(3)(2)(1()( xxxxxf方程方程提示提示:dcba题题13. )(111nnf题题15. )(nxxf)0(f 0)0(f0 bcad :.5证明不等式证明不等式例例, |tanarctanarc|. )(baba1.,1. )2(xeexx 时时当当,tanarc)(. )1(.xxf

15、设设证证:Lagrange,中中值值定定理理得得上上应应用用在在ba.,11tanarctanarc2之间之间和和介于介于bababa ,1tanarctanarc, baba所所以以. |tanarctanarc|baba.1, )1(:. )2(exeexeeexx 分分析析:Lagrange,1,)(中中值值定定理理上上应应用用在在令令xexfx exeex11.e, )1( xeeex所以所以.xeex)(x 1*.,1. )2(xeexx 时时当当,),(,)(, )(.6内内可可导导在在上上连连续续在在设设例例babaxgxf,)()()()()(,)()()()()(.xgagxfafxFxgagxfafxF 则则令令证证使使存存在在中中值值定定理理上上应应用用在在, ),(,Lagrange,baba )()()()(abFaFbF ) .0)(:( aF注意注意.)()()()()()()()()( gagfafabbgagbfaf 得得.:BCADDCBA 行行列列式式.)()()()()()()()()(,),(: gagfafabbgagbfafba 使使内有一点内有一点在在证明证明.)(xexf 则则内内满满足足关关系系式式在在若若函函数数证证明明例例),()(:.7 xf,1)0(, )()( fxfxf且且xexfxf)()(,)()(.xex