多自由度自由振动ppt课件

1、工程中的构造有些可简化为单自在度体系分析工程中的构造有些可简化为单自在度体系分析单层工业厂房单层工业厂房水塔水塔有些不能作为单自在度体系分析，需简化为多自在度体系有些不能作为单自在度体系分析，需简化为多自在度体系进展分析进展分析多层房屋、高层建筑多层房屋、高层建筑不等高厂房排架和块式根底不等高厂房排架和块式根底10-5 10-5 多自在度体系的自在振动多自在度体系的自在振动 按建立运动方程的方法，多自在度体系按建立运动方程的方法，多自在度体系自在振动的求解方法有两种：刚度法和柔自在振动的求解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度法

2、通过建立位移协调方程求解，二者柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各有其适用范围。多自在度体系自在振动各有其适用范围。多自在度体系自在振动的问题，主要是确定体系的全部自振频率的问题，主要是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。及其相应的主振型。1 1、刚度法：建立力的平衡方程、刚度法：建立力的平衡方程两个自在度的体系两个自在度的体系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2质点动平衡方程:即:设:)sin()()sin()(2211tYtytYty22ym.002221212221211111ykykymykykym.0

3、, 0222111rymrym.11ym.构造位移形状坚持不变的振构造位移形状坚持不变的振动形式称为主振型或振型动形式称为主振型或振型. .y1(t)y2(t)r2r1乘 y1(t)k11k21乘 y2(t)k12k2211fr1=k11y1+k12y2f r2=k21y1+k22y2kij表示使表示使j点产生单位位移点产生单位位移(其它点位移其它点位移=0)时时,在在i点点需施加的力需施加的力(称为刚度系数称为刚度系数).振型计算公式频率计算公式频率方程)sin()()sin()(2211tYtytYty002221212221211111ykykymykykym.振型方程0)(0)(222

4、2212121211211YmkYkYkYmk0222221121211mkkkmkD2121122211222211122211122, 12121mmkkkkmkmkmkmk与与2相应的第二振型：相应的第二振型：12211122212mkkYY因为因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值只能求出其比值 求与求与1相应的第一振型：相应的第一振型：12111122111mkkYY 2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk212112222211122211122121mmkk

5、mkmkmkmk2 的两个根均为实根；的两个根均为实根；212221121121yykkkkrr2122211211212121yykkkkyyrryy02211ryryyykijjiij矩阵矩阵k为正定矩阵的充沛必要条件是：它的行列式的顺序主为正定矩阵的充沛必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。子式全部大于零。故矩阵故矩阵k为正定矩阵。为正定矩阵。k11k22-k12k2102 的两个根均为正根；的两个根均为正根；与与2相应的第二振型：相应的第二振型：212211122212mkkYYf求与求与1相应的第一振型：相应的第一振型：112111122111mkkYY多自在度体系可以按某个

6、主振型自在振动的条件是：初始位移和多自在度体系可以按某个主振型自在振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。初始速度应当与此主振型相对应。)sin()sin()()sin()sin()(2222211211222122111111tYAtYAtytYAtYAty几点注意：几点注意： 12必具有相反的符号。必具有相反的符号。 多自在度体系自振频率的个数多自在度体系自振频率的个数= 其自在度数，自振其自在度数，自振频率由特征方程求出。频率由特征方程求出。 每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自在度每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自在度体系可以按单自在度体系振动时所具有的特定形式

7、。体系可以按单自在度体系振动时所具有的特定形式。 自振频率和主振型是体系自身的固有特性。自振频率和主振型是体系自身的固有特性。一般解：一般解： 在这种特定的初始条件下呈现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。212211122212mkkYY112111122111mkkYY212112222211122211122121mmkkmkmkmkmk212112211122211122211112112121)(mmkkmkmkmkmkmmkm212112211122211122211112212121)(mmkkmkmkmkmkmmkm 0例例m2m1k2k1质量集中在楼层上

8、m1、m2 ， 层间侧移刚度为k1、k2k21k111解：求刚度系数：解：求刚度系数： k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22k121k22=k2 , k12=k20222221121211mkkkmkD0)(222221221kmkmkk1)当当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803. 225322mkmk38197. 025321()()kmkmk02222mkmk61803. 161803. 021 代入频率方程：2121122211222211122211122, 12121mmkkkkmkmkmkmk+1)当m1=m2=m,k11=2k，k12=mkmk61803.

9、 225322mkmk38197. 025321求振型：求振型：618. 1138197. 02kkk12k12111mk2111YY1第一主振型：第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型第一主振型618. 0161803. 22kkk12k12211mk2212YY2第二主振型：第二主振型：Y22=0.618Y12=1第二主振型第二主振型0)(222221221kmkmkk 2)当m1=nm2 , k1=nk2k11=1+nk2，k12=k20)() 1(22222222kmknmkn求频率：求频率：求振型：求振型：如如n=90时时1101121YY191222YY当上部质量和刚度

10、很小时，顶部位移很大。鞭梢效应2192112YY第一振型：第一振型：第二振型：第二振型：特征方程：特征方程：222214122112mknnn+4121)4121() 1() 1(222212121112nnnnknmknkmkYY+2121122211222211122211122, 12121mmkkkkmkmkmkmk+例例 试求图示体系的频率和振型试求图示体系的频率和振型1k21k116i/l6i/l12i/l12i/l6i/l6i/l1k22k126i/l6i/l3i/l3i/lEI1=m1EI1=m2ii2i2illikl11248解解(1)求刚度系数求刚度系数ikkl 21122

11、12ikl22215(2)求频率求频率.,.EIEImlml12332 7617 093解得解得,kkkkk kk kmmmmm m2211221122112212211 21212121122将将=1代入振型方程代入振型方程,得得.YkYkm 1112221111113 365第一振型第一振型将将=2代入振型方程代入振型方程,得得.YkYkm 1212222112110 198第二振型第二振型(3)求振型求振型3.36513.36510.19810.1981例例 求图所示两层刚架的自振频率和振型。知横梁为刚性，求图所示两层刚架的自振频率和振型。知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不

12、计，横梁的质量各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1= m1= m2=5000 kgm2=5000 kg，每层的高度，每层的高度5 m5 m。解：两个自在度体系，设解：两个自在度体系，设m1的位移为的位移为y1，m2的位移为的位移为y2113312484EIEIkll12213312484EIEIkkll 223312726EIEIkll213336012 17(60 12 17)EIEIEImlmlml223336012 17(6012 17)EIEIEImlmlml13(60 12 17)10.050 8 (1/s)EIml23(60 12 17)32.418 8 (1/s)

13、EIml112122212110.7808cckkm12222122222111.2809cckkm1.28091第二主振型第二主振型10.7808第一主振型第一主振型2 2、柔度法、柔度法y1(t)y2(t)建立振动微分方程：建立位移协调方程建立振动微分方程：建立位移协调方程 m1、m2的位移的位移y1(t)、 y2(t)应等于体系在当时惯性力应等于体系在当时惯性力作用下所产生的静力位移。11ym.22ym.)(),(2211tymtym.222221112122211111)()()()()()(tymtymtytymtymty.柔度法建立的振动柔度法建立的振动微分方程微分方程1121P1

14、=11222P2=10222211122111mmmmD频率方程频率方程振型方程：其中：振型方程：其中：=1/2Y1 ，Y2不能全为零。不能全为零。2)(4)()(2121122211222211122211112mmmmmm22111,1求得频率：求得频率：2222221112212222111121)()()()(YmYmYYmYmY0)(0)(2222121121221111YmYmYmYm频率方程和自振频率：频率方程和自振频率：设各质点按一样频率和初相角作简谐振动设各质点按一样频率和初相角作简谐振动)sin()()sin()(2211tYtytYtyY1 Y1 ，Y2Y2是质点位移幅值

15、是质点位移幅值222221112122211111)()()()()()(tymtymtytymtymty.振动微分方程体系频率的数目总体系频率的数目总等于其自在度数目等于其自在度数目主振型主振型(normal mode shape)0222211122111mmmmD频率方程频率方程振型方程：其中：振型方程：其中：=1/2Y1 ，Y2不能全为零。不能全为零。0)(0)(2222121121221111YmYmYmYm不能有振型方程求出不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它们的比值。的解，只能求出它们的比值。第一主振型第一主振型 11112122111mmYY第二第二 主振型主振型 2

16、1112122212mmYY11121221mmYY频率的数目总等频率的数目总等于其自在度数目于其自在度数目主振型是体系由此主振型惯性力幅值主振型是体系由此主振型惯性力幅值所引起的静力位移。所引起的静力位移。),(222112YmYmY11Y2121221Ym11121YmY12Y2222222Ym12122Ym例例 求简支梁的自振求简支梁的自振 频率和主振型。频率和主振型。l/3l/3l/3解：解：1求柔度系数求柔度系数 P=1 P=132l32lEIl243432211EIl4867321122)(4)()(2121122211222211122211112mmmmmm2)(4)2(222

17、122112111112mmmmm121112mm121112EImlmm31211148615EImlmm3121124861322311221,69. 51mlEImlEI求得频率：求得频率：求得主振型：求得主振型：1111112122111mmYY1121112122212mmYYmm例例 求简支梁的自振求简支梁的自振 频率和主振型。频率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：假如构造自身和质另解：假如构造自身和质量分布都是对称的，那么主量分布都是对称的，那么主振型不是对称就是反对称。振型不是对称就是反对称。故可取半边构造计算故可取半边构造计算 ：1对称情况：对称情况：EIl1625

18、311311169. 51mlEIml/91反对称情况：反对称情况：EIl4863223222221mlEIm例例 求图求图a a所示体系的自振频率及主振型。梁所示体系的自振频率及主振型。梁EI =EI =常数。常数。 lE Im=mmm( a )( b )( c )反对称l /l /正对称221_ _M111l /_ _M1_ _M2l /38l /31 6l /53 2l /283解解 ：将原构造化成正对称和反对称半构造分别计算图：将原构造化成正对称和反对称半构造分别计算图b b、c c。EIlllllEIsEIMM1925)8318332(22211d3111 EIlllllEIsEIM

19、M7687)3253116332(22211d3222 311151921mlEIm322277681mlEIm， 当当=1=1时，振型为正对称，那么时，振型为正对称，那么12111YY当当=2=2时，振型为反对称，那么时，振型为反对称，那么 12212YY例：求图示体系对称振动情况下的频率。例：求图示体系对称振动情况下的频率。mmmEIEIEI3m3m3m3mm/2m 1210.51M110.8750.252M 1102M01M33EIMM5 . 4:,11011相乘EIMMMM125. 1,2112021012相乘，相乘或EIMM6875. 1:,22022相乘EI5 . 411EI125

20、. 12112EI6875. 1222)(4)()(2121122211222211122211112mmmmmmmEImEI943. 01,596. 012211)125. 16875. 15 . 4(214)6875. 125 . 4()6875. 125 . 4(22212EImEImEIm/125. 1/8125. 21212/825. 2/5 . 2/125. 111112122111EImEImEImmmYY11/125. 1/5 . 2/125. 121112122212EImEImEImmmYY211101) 1() 1 ()2(22221212111mmYYmYYm Yij

21、Yij为正时为正时表示质量表示质量mimi的的运动方向与计运动方向与计算柔度系数时算柔度系数时置于其上的单置于其上的单位力方向一样，位力方向一样，为负时，表示为负时，表示与单位力方向与单位力方向相反。相反。0.5a例例 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI知。知。12aaamm解：解：1 1计算频率计算频率1a1M12MEIaEIaEIa6,4,3223211231112330.967 3.203EIEImama2 2振型振型( )( )( )( )12111222110.2773.61YYYY 10.277第一振型第一振型13.61第二振型第二振型例例 试

22、求构造的自振频率和振型试求构造的自振频率和振型. .1l/41l/21M图图2M图图m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常数常数3331122122184832lEIlEIlEI解解(1)求柔度系数求柔度系数(2)求频率求频率mmDmm1111222211222210131322.6356.653EI mlEI ml(3)求振型求振型. YmYm111222111121110 305. YmYm121222211122111 639第一振型第一振型第二振型第二振型10.30511.639例例 求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解: :EIl31134令令21111m02/18

23、/34/31032/9)2/1)(1 (1637. 0336. 1213231140. 2;749. 0mlEImlEImlEImEIl1y2y12Xm222Xm1X2X11211122211221212112XXmXm2222212212XXmXm02)1 (211121XX0)2(2112211121XXllEIl3211221EIl32231例例 求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解: :令令21111m1221212112XXmXm2222212212XXmXm02)1 (211121XX02/18/34/31032/9)2/1)(1 (1637. 0336. 121323

24、1140. 2;749. 0mlEImlEImlEImEIl1y2y12Xm222Xm1X2X1121112221ll23. 214/312111XX897. 014/322212XX 1897. 0;123. 221XXmlEImEIl1y2y12Xm222Xm1X2X1121112221ll例例 求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解: :令令21111m1221212112XXmXm2222212212XXmXm02)1 (211121XX23. 214/312111XX897. 014/322212XX 1897. 0;123. 221XX123. 2 1X1897. 0 2

25、Xy1yiynri动平衡方程：动平衡方程：riy1yiynri 应满足刚度方程应满足刚度方程),.,2 , 1(.2211niykykykrniniiikij是构造的刚度系数，使点是构造的刚度系数，使点j产生单位位移其它点位移为零产生单位位移其它点位移为零时在点时在点i所需施加的力。所需施加的力。iiym.),.,2 , 1(0nirymiii.多自在度体系0.0.0.2211222212122121211111nnnnnnnnnnnykykykymykykykymykykykym.),.,2 , 1(.2211niykykykrniniii或： 设解为：设解为： y=Ysin(t+)得振幅方

26、程：得振幅方程： ( K2 M )Y=0得频率方程：得频率方程： K2 M0可求出个频率可求出个频率与与相应的主振型向量由相应的主振型向量由 ( K2 M )Y=0不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。规范化主振型：令规范化主振型：令Y1i=1，或最大元素，或最大元素=1等。等。)sin(2tYy.),.,2 , 1(0nirymiii.0yKyM.0.00.212122221112112121nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm.例：例：质量集中在楼层上，质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。求自振频率层间侧

27、移刚度如图。求自振频率k11=4k/3解：解：1求刚度系数：求刚度系数：m2mmk3k5kk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5 刚度矩阵K和质量矩阵M：100010002330385052015mMkK11215,03303850522015kmk其中展开得：展开得：234222252250解得：解得：1=1.293， 2=6.680， 3=13.027mk0862. 021mk4453. 022mk8685. 023mk2936. 01mk6673. 02mk9319. 032求频率：代入频率方程：求频率：代入

28、频率方程： K2 M03求主振型：振型方程：求主振型：振型方程：K2 MY0的后两式：的后两式： 令令Y3i=10)3(303)8(5221iiiiiYYYa013303850522021iiiiiYY0)3(303)8(5221iiiiiYYY0707. 130370. 65212111293. 11 YYY1569. 0163. 0) 1 (Y0680. 3303320. 62 YYY1227. 1924. 0)2(Y0027.10303027. 55212313027.133YYY1342. 3760. 2)1(Y10.5690.16311.2270.92413

29、.3422.76 Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向一样，为负时，表示与单位位移方向相反。 IKPKP,利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：由刚度法振幅方程：由刚度法振幅方程： ( K2 M )Y=0前乘前乘K1=后得：后得： ( I 2 M )Y=0令令=1/2 ( M I )Y=0得频率方程：得频率方程： M I =0其展开式其展开式:0)(.)(.)(221122221211212111nnnnnnnnnmmmmmmmmm是关于是关于的的n次代次代数方程数方程,先求出先求出i再求出频率再求出频率i将将i代入代入 ( M i I )Y(i)

30、=0可求出可求出n个主振型个主振型. 可见刚度法、柔度法实质上是一样的，可以互相导出。当可见刚度法、柔度法实质上是一样的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法如梁；当计算体系的计算体系的柔度系数方便时用柔度法如梁；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法如横梁刚度为无穷大的多层刚架。刚度系数方便时用刚度法如横梁刚度为无穷大的多层刚架。例：例： 质量集中在楼层上，质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。层间侧移刚度如图。=1/k11=解：解：1求柔度系数：求柔度系数：m2mmk3k5k 柔度矩阵和质量矩阵M：100010002941441111mMP=12131P=132=422=4P=11

31、3=23=433=912=21,0942442112mmmIM030421523展开得展开得:解之解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151三个频率为：三个频率为：m12936. 01m16673. 02m19319. 033求主振型：求主振型： 令令Y3i=1将将1代入振型方程：代入振型方程： M 1IY0的前两式：的前两式： 0460. 720160. 921112111YYYY2求频率：求频率：1569. 0163. 0) 1 (Y解得：解得：同理可得第二、同理可得第二、第三振型第三振型例例 试求构造的自振频率和振型试求构造的自振频率和振型.EI=.EI=常数常数mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/41M图图2M图图13l/163M图图3