北邮版概率论答案(二)

1、习题二1 .一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解】X=3,4,51P(X=3)=K3=0.1C53P(X=4)=0.3C5C2P(X=5)=0.6C5故所求分布律为X345P0.10.30.62 .设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：(1) X的分布律；(2) X的分布函数并作图；133PX-,P1:二X-,P1三X-,P1:X:2.word资料可编辑X=0,1,2.P(XP(XC3C13c3 一c15_ 12c2c132235P(XC3

2、51235C= 2)UC15135X012P22121353535故X的分布律为(2)当 x0 时，F (x) =P(Xwx) =0 22当 0今1 时，F (x) =P (XWx) =P(X=0)=3534当 1wx2 时，F (x) =P (Xx) =1故X的分布函数0, 22 匚 /、 j35 HR35 、1,x : 00Mx ： 11 _ x ： 2x-2_1_ 122FF,3334p弓(=3534 0353312P(1-X-)P(X=1)P(1:二X-)=2235341P(1：二X:二2)=F(2)-F(1)-P(X=2)=1_=0.35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击

3、中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.解】设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.P(X=0)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C130.8(0.2)2=0.096P(X=2)=C3(0.8)20.2=0.3843P(X=3)=(0.8)=0.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,x00.008,0x1F(x)=0.104,1x:二20.488,2x31,x.3P(X_2)=P(X=2)P(X=3)=0.8964.(1)设随机变量X的分布律为PX=k=a,k!其中k=0,1,2,，

4、入0为常数，试确定常数a.(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,k=1,2,，N,试确定常数a.解】（1）由分布律的性质知二二二二1k16P(X=k)=a%=akoyk!故a=e-,(2)由分布律的性质知NNa1=、，P(Xk)=、-ak=1k4N即a=1.5 .甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则Xb(3,0.6),Yb(3,0.7)(1) P(X=Y)=P(X=0,Y=0)P(X=1,Y=1)P(X=2,Y=2)P(X=3,Y=3)33_12_12-(0.4

5、)(0.3)C30.6(0.4)C30.7(0.3)+_22_2233C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3+(0.6)(0.7)=0.32076(2) P(XY)=P(X=1,Y=0)P(X=2,Y=0)P(X=3,Y=0)P(X=2,Y=1)P(X=3,Y=1)P(X=3、=2)_123_223=C30.6(0.4)(0.3)C3(0.6)0.4(0.3)33_22_12(0.6)(0.3)+C3(0.6)0.4C30.7(0.3)+(0.6)3c30.7(0.3)2(0.6)3C2(0.7)20.3=0.2436 .设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻BI落的概率设为

6、0.02,且设才能保证某一时刻飞机需立即各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02),设机场需配备N条跑道，则有P(XN)0.01200即CCk00(0.02)k(0.98)200*3)=ZC5(0.3)k(0.7)=0.16308k3(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Yb(7,0.3)7kk7kP(Y之3)=工C7(0.3)(0.7)=0.35293k=310 .某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分

7、布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.35解】(1)P(X=0)=e/(2)P(X之1)=1P(X=0)=1e”kk2_k11 .设PX=k=C2P(1p),k=0,1,2PY=m=C：pm(1-p)45，m=0,1,2,3,45分别为随机变量X,Y的概率分布，如果已知PX1=-,试求RY1.954解】因为P(X之1)=,故P(X1)=.99而P(X：二1)=P(X=0)=(1-p)2.一c4故信(1-p)=,9r1即p.3465从而P(Y-1)-1-P(Y-0)-1-(1-p)

8、4=0.802478112 .某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算np=20000.001=2e25P(X=5)：-=0.00185!13 .进行某种试验，成功的I率为-,失败的概率为1.以X表示试验首次成功所需试验的44次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.BIX=1,2,川,k,|1kJ3P(X=k)七尸二44P(X=2)P(X4)|lP(X-2k)|l13.(1)33.(1严3.444444= 3L1-(4)14.有2500名同

9、一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求:(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.解】以年”为单位来考虑.(1)在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.设1年中死亡人数为X,则Xb(2500,0.002),则所求概率为P(2000X30000)=P(X15)=1-P(X-14)由于n很大，p很小，A=np=5,故用泊松近似，有14e-55kP(X.15)：10.000069kmk!（2）P（

10、保险公司获利不少于10000）二P(30000-2000X-10000)=P(X 20000) =P(X 5)5 e5k% 0.615961k =0 k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)= Ae |x|OOX+ 8求：(1)A值；(2)P0X1;(3)F(x).qQ解】(1)由Jf(x)dx=1得qQqQ1=Ae4dx=2Ae，x=2A1故A.211e1(2)p(0mxi)=3ie/dx=a(1-e)一，x1x1x(3)当x0时，F(x)=一edx=e22x11101x1当xR时，F(x)=e*dx=-exdx+e-edx-二2-二202

11、x :二 0x - 01xe,F(x)=21-e216.设某种仪器内装有三只同样的电子管电子管使用寿命X的密度函数为100f(x)=0,x.100,x100.求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率(3)F(x)(1)150100P(XH150)=.1。詈xdx=3.P1=P(X150)3=弓)3曝327(2)p2=C31(|)2=4339(3)当x100时F(x)=ff(t)dtJ-aO100=f(t)dtoCix100100二dt=1t2xf(t)dt1001001001,x-100F(x)=x0,x017.在区间0，a上任意投掷一个质点，以

12、X表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数解】由题意知XU0,a，密度函数为1,0-x-af(x)=a【0,其他故当x0时F(x)=0当0今a时，F(x)=1即分布函数18.设随机变量X在2值大于3的概率.解】XU2,5,即0,x:二0xF(x)=一a1,5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测1f(x)=50,2_x_5其他P(X3)=512dx二一333故所求概率为P = c3(2) 32319.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 1X （以分钟计）服从指数分布 E（一）.某顾客在窗5口等待服务，若超过10分钟他就

13、离开他一个月要到银行 5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.x -0x5dx = e1解】依题意知XE（-）,即其密度函数为51_x1e5f(x)=5i,0,该顾客未等到服务而离开的概率为二1P(X10)=1。/5Yb(5,e-)，即其分布律为P(Y=k)=Ck(eN)k(1eN)5Jk=0,1,2,3,4,5P(Y_1)=1-P(Y=0)=1(le/)5=0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N(40,102)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50,42).(1)若动身时离火车

14、开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？解】(1)若走第一条路，XN(40,102),则x-4060-40,P(X60)=PIx(2)=0.97727,1010若走第二条路，XN(50,42),则X-5060-50,P(X:二60)=P:二(2.5)=0.9938+,44故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若XN(40,102),则X-4045-40,P(X45)-P:二=J(0.5)-0.69151010若XN(50,42),则(-1.25)X-5045-50P(X：45)=P:44=1-中(1.25)=0.10

15、56故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN(3,22),(1) 求P2X5,P42,PX3;(2) 确定c使PXc=PXc.2-3X-35-3解】(1)P(2XE5)=P2221=中(1)一中-=0.8413-10.6915=0.5328X -3210 -3012I0.060.06J二1一中(2)：(2)=21-中(2)=0.045623 .一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,d2),若要求P120vXw200=0.8,允许点大不超过多少？解】P(120X200)=Pl120-160-0-1-0.840c_=31.251.2924 .设随机变量X分布函数为F(x)=A

16、Bex,0,x_0,x3;(3)求分布密度f(x).mF(x)=1曰a=i解】(i)由得limF(x)=limF(x)B=-1，_2(2) P(X2)F(2)=1-eP(X3)-1-F(3)-1-(1-e3)-e3(3) f(x)=F(x)= e-x0,25.设随机变量X的概率密度为X,f (x) = 2 -x,0,0 _ x ： 1,1 x :二 2,其他.求X的分布函数F (x),并画出f (x)及F(x)解】当x0时F(x) =0当 0x1时 F(x) = _f (t)dt = 一 f(t)dt f (t)dt-0-od.JtJOxx2=tdt=02当 1x2 时 F(x) = f(t)

17、dt =10,x :二 0F(x)26.设随机变量X的密度函数为(1) f(x)= ae|x|，入0;(2) f(x)=bx, 10 二 x 二 1,2x2x -1,21,x _22，x0,1 x ： 2,其他.试确定常数a,b,并求其分布函数F (x).解】由f (x)dx = 1知1 = -ae-qQ1dX=2al。exdx2ak即密度函数为当 x0时F(x)=f(x)dx=Ydx+eeVdx:2021-x=1e2故其分布函数1-1e-x2，dxxF(x)=2e(2)由1=(f(x)dx=|0bxdx+1b=1即X的密度函数为x,0:x：二11 x ： 2,1f(x)=-2,其他x0,当x

18、VQ时F(x)=0当0x1时F(x)=f(x)dx=f(x)dx，if(x)dx:一:0x=xdx0x01x1当1x2时F(x)=Jf(x)dx=f0dx+xxdx+2=dx二一二一01x31=2x当x/时F(x)=1故其分布函数为0,F(x)=x-00:x：11ZQ)=0.003得1-:：J(z.)=0.003即；，(z-)=0.997查表得z.2.75由P(Xza/2)=0.0015得1-：J(z./2)-0.0015即(z：./2)=0.9985查表得z：./2=2.9628.设随机变量X的分布律为X21013Pk1/51/61/51/1511/30求y=X2的分布律.解】Y可取的值为0

19、,1,4,91P(Y=0)=P(X=0)=_5一一一117P(Y=1)=P(X=-1)P(X=1)=615301P(Y=4)=P(X=.2)511P(Y=9)=P(X=3)二30故Y的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/301,.29.设PX=k=()k,k=1,2,，令2vri,当x取偶数时Y二-1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律.mP(Y=1)=P(X=2)+P(X=4)+|+P(X=2k)+|1o1,1o,.242k(二)仁)(二)222111=(/(1一/=3P(Y-1)=1-P(Y=1)=230.设XN(0,1)(1)求Y=eX的概率密度；(2) 求Y=2X2

20、+1的概率密度；(3) 求Y=|X|的概率密度.解】(1)当ywo时，Fy(y)=P(Y0时，Fy(y)=P(YWy)=P(exy)=P(XIny)lny-fx(x)dxfY(y)=dFY(y)dy1二一 fx(ln y)二 y11n2y/2yZ e一_一2(2)P(Y=2X1-1)=1当y1时FY(y)=P(Y1时FY(y)=P(YEy)=P(2X2+1Wy)上2(y)/2Lj(y1)/2fx(x)dxd12fY(y)FY(y)fxdy4y-11P(Y-0)=1当yq时FY(y)=P(YEy)=0当y0时FY(y)=P(|X区y)=P(-yXy)y=yfx(x)dx故 fY(y) =-dFY

21、(y)=dyfx(y)fx(-y)2.y2/2二百e31.设随机变量XU(0,1),试求：(1) Y=ex的分布函数及密度函数；(2) Z=2lnx的分布函数及密度函数.解】(1)P(0x1当yE1时FY(y)=p(yy)=0当1ye时FY(y)=P(eXWy)=p(xe时FY(y)=P(exMy)=1即分布函数0,y1I%(y)=iny,iye1,y之e当 yW0 时，FY(y) = P(Y M y) =0word资料可编辑故Y的密度函数为工fY(y)=y,d1：y二e其他(2)由P(0X1)=1知P(Z0)=1当z0时,Fz(z)=P(Zz)=P(2nXz)-P(lnX三-1)-P(X1/

22、2-e)1/oz/2dx=1-e”e-即分布函数0,Fz=1-ez/2Z0z0故Z的密度函数为1fZ(z)=2e0,z032.设随机变量X的密度函数为2xf(x)=2,0,其他.试求Y=sinX的密度函数.解】P(0Y1)=1当0y1时，FY(y)=P(YMy)=P(sinXMy)=P(0XWarcsiny)+P(冗一arcsinyXt)arcsiny2x.2dx、0/；Tt_arcsiny2xdx冗1/、2/1/.、2(arcsiny)+1-(兀-arcsiny)冗2=arcsiny冗7t当yE时，Fy(y)=1故Y的密度函数为0二y0.9即(0.9)n22即随机数字序列至少要有22个数字。

23、x : 0,-10 x ,2x 1x236.已知0,_1F(x)=x+,21,则F(x)是()随机变量的分布函数(A)连续型；(B)离散型；(C)非连续亦非离散型解】因为F(x)在(oo,+oo)上单调不减右连续，且limF(x)=0xlimF(x)=1，所以F(x)是一个分布函数。x但是F(x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)37.设在区间a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在a,b外，f(x)=0,则区间a,b等于()(A)0,卅2;(B)0,叱(C)兀/2,0；3(D)0，2兀.解】在0,，上sinxR“2且卜

24、sinxdx=1.故f(x)是密度函数。在0,可上10sinxdx=201.故f(x)不是密度函数。冗一人，,一一一、一，在一,0上sinx0,故f(x)不是密度函数。在0,3句上、“3,一、一当Ttx九时，sinx0,f(x)也不是留度函数。2故选(A)。38.设随机变量XN(0,相)，问：当0a何值时，X落入区间(1,3)的概率最大？一21X3解】因为XN(0,ff2),P(1X3)=P(-)oaa31人=0(一)-6(一)令g(。)cra=利用微积分中求极值的方法，有gd)=(-2)(g)=d)CTCTCTa31_9/2:211/2:2N：三e二2、2T=-FX-eJ/2021-3e/2

25、tf二0_o4得I%=，则ln3又g(二0)02，0)=1，故01e2X1,即P(0Yi时，E(y)=1当0y1时，FY(y)=P(Y1-y)1=P(X-ln(1-y)1.ln(1 -y)022e2xdx即Y的密度函数为1, fY(y)= 0 0,0 :二 y ：二 1其他即 YU (0, 1)41.设随机变量X的密度函数为32f(x)=-90,0 x1,3 x 6, 其他.若k使得PX冰=2/3 ,求k的取值范围.（2000研考）_ _ .2 1解】由P (X被)=知P (Xk)=-33若 k0,P(X k)=0k 1k1若 0wkw1,P(Xk尸dx = 2w，0 33 3，11当 k=1

26、 时 P (Xk)=31 11 k3 时 P (X k) = 1 dx +0dx0 314.11 k22右 3 k6,则 P (X6,则 P (Xk) =1一一，-12故只有当1q3时满足p（X冰）=-.342.设随机变量X的分布函数为F(x)=0,0.4,0.8,1,x - -1,-1 _ x ：: 1,1 x 1)=19知P(X=0)=(1p)3=2727故p=131 f(x)= 5,44.若随机变量X在（1,6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？1x:6其他_2一一一4P(X-4-0)=P(X-2)P(X三-2)=P(X-2)=一545.若随机变量XN(2,),

27、且P2X4=0.3,则PX0=.2-2X-24-2解】0.3=P(2X4)=P(-)-0.5acr故2)=0.8tTX_20-22因此P(X二0)=P(0-)=：，()cracr=1-中(2)=0.22)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求(1)全部能出厂的概率a;(2)其中恰好有两台不能出厂的概率B;(3)其中至少有两台不能出厂的概率0.解】设八=需进一步调试,B=仪器能出厂,则A=能直接出厂,AB=经调试后能出厂由题意知B=AUAB,且P(A)=0.3,P(B|A)=0.8P(AB)=P(A)P(B|A)=0.30.8=0.24P(B)=P(A)P(AB)=0.70.24=0.94

28、令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X6(n,0.94),故二二P(X=n)=(0.94)nP=P(X=n_2)=C2(0.94)T(0.06)2-P(XMn-2)=1-P(X=n-1)-P(X=n)=1-n(0.94)n40.06-(0.94)n47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.解】设X为考生的外语成绩，则XN(72,b2)24=1-：，(一) CT0.023=P(X_96)=PX-72_96-72力(刍=0.97724r查表知一二2,即0=12CTwor

29、d资料可编辑从而XN(72,122)故 P(60c,、c60-72X-7284-7212_84)=PI-121212=.：,(1)_中(_1)=2中一1=0.68248.在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252).试求：(1)该电子元件损坏的概率区(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率(3解】设A1=电压不超过200V,A2=电压在200240V,A3=电压超过240V,B=元件损坏。由XN(220,252)知P(A)=P(X三200)cX-220.2

30、00-220-PI一2525=中(-0.8)=1-中(0.8)=0.212P(A2)=P(200EX240)200-220.X-220.240-220一25-25-25-中(0.8)-中(0.8)=0.576P(A3)=P(X240)=1-0.212-0.576=0.212由全概率公式有3二二P(B)八P(A)P(B|A)=0.0642i4由贝叶斯公式有B：二 P(A2 |B)=P(4)P(B1A2)0.009P(B)2X的概率密度fY(y).49.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量1,1二x:二2外，其他因为P(1X2)=1,故P(e2Ye4)=1当ywe2时Fy(y)=P(Ywy)=0.当e2ye4时，Fy(y)=P(Yy)=P(e2Xy)1=P(1：X_-lny)1-lny12dxlny-112当yR4时，Fy(y)=P(Y