太原理工大学高等数学习题册下册答案

1、 x2 + y 2 4 投影域： Dxy : z = 0 zds = 2 ( x Dxy 1 2 + y 2 1 + x 2 + y 2 dxdy = = = 2 2 1 1 1 3 2 2 2 d r + r dr = d r 2 d (1 + r 2 3/2 1 0 0 0 0 2 2 3 3 r 2 (1 + r 2 3/ 2 2 0 (1 + r 2 0 2 3/2 2rdr 2 1 20 5 5 5 3 3 5 2 = (25 5 + 1 15 4解：先求 p 点处的切平面及 ( x, y, z ，再求曲面积分，由于 在 p 点处 的法向量 n = x, y, 2 z ，故 在 p

2、点处的切平面为： x( x + y ( y + 2 z ( z = 0 即 x + y + 2 z ( x 2 + y 2 + 2 z 2 = 0 或 x + y 2 z 2 = 0 从而 = 0+0+02 x + y + 4z 2 2 2 = 2 4 x2 y 2 1 x2 + y 2 2 投影域 Dxy : z = 0 x2 y2 x y 4 4 这里 ： ， z = 1 ds = 2 2 2 x y2 1 2 2 2 2 z ds = x2 + y 2 2 4 x y 2 2 2 1 x y 2 2 2 2 4 x2 y 2 2 dxdy x2 y2 1 2 2 = = 2 4 x2 y

3、2 1 2 dxdy = d (4 r 2 rdr 0 0 4 4 x2 + y2 2 2 2 0 r4 (4r r dr = (2r 2 4 3 2 2 0 3 = 2 习题二十四 一单项选择题 1.B 二计算题 第一类曲线 2.A 曲面积分的应用 1.解：记 1 ： z = 1 x 2 y 2 ， ds = x2 + y2 1 dxdy ， Dxy : 1 x2 y2 z = 0 1 2 ：z = 0 ，ds = dxdy ， 投影域为 Dxy ， 、1 、 2 的质量分别记为 M 、 M 1 、 M 2 ，那么 M = M 1 + M 2 ，而 M 1 = x 2 + y 2 + z 2

4、 ds = 1 Dxy 1 1 x2 y2 1 0 dxdy = d 0 2 1 rdr 1 r 2 0 = 2 1 r 2 = 2 2 1 2 M 2 = x 2 + y 2 + z 2 ds = x 2 + y 2 dxdy = d r 2 dr = 0 0 3 2 Dxy 2 8 故 M = M 1 + M 2 = 2 + = 3 3 2.解：设抛物面的壳的重心为 ( x , y , z ，而 x = y = 0 ，只需求 z 由公式 z = z ds 2 zds 2 而 zds = 3 ( x Dxy + y 2 1 + 4( x 2 + y 2 dxdy 2 2 = d 3r 1 + 4r 2 dr d r 3 1 + 4r 2 dr 0 0 0 0 2 2 = 13 9 + 2 242 241 = 60 30 2 z ds = 3 ( x D 2 2 0 0 2 + y 2 2 1 + 4( x 2 + y 2 dxdy = d r (3 r 2 2 1 + 4r 2 dr =