7-3抽样分布及其上分位数ppt课件

1、概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计7.3 7.3 抽样分布及其上分位数抽样分布及其上分位数 为了进一步研讨未知参数的统计为了进一步研讨未知参数的统计推断问题，本节引见几个重要的抽样推断问题，本节引见几个重要的抽样分布及其定理分布及其定理. .概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计一一 抽样分布抽样分布 统计量是随机变量，它的分布称为统计量是随机变量，它的分布称为“抽样分布抽样分布 . . 研讨统计量的性质和评价一个统计推断研讨统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，取决于其抽样分布的性质的优良性，取决于其抽样分布的性质. .抽样分布抽样分布准确抽样分布准确抽样分布渐近分布渐

2、近分布概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计22111,()1nnniiniiXXSXXnn = = 1 1 分别表示样本均值和样本方差分别表示样本均值和样本方差.时，也称时，也称 是来自总体是来自总体的样本，仍用的样本，仍用 假设假设 是来自总体是来自总体X的样本，当的样本，当12,nXXX2( ,)XN 12,nXXX2( ,)N 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计统计上的三大分布统计上的三大分布2( )n 记为记为定义定义3.1: 3.1: 假设随机变量假设随机变量 有概率密度有概率密度 分布分布( (卡方分布卡方分布) )1、2 12221( ),02(2)nunp

3、 uueun 称称 服从自在度为服从自在度为n n的的 分布分布. .2来定义来定义. .其中伽玛函数其中伽玛函数 经过积分经过积分10( ),0 xxedx ( )概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计分布的密度函数图形自在度依次分布的密度函数图形自在度依次为为n=1,3,5,7n=1,3,5,72( )n n=1n=3n=5n=7概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计分布的性质分布的性质2 定理定理3.1: 3.1: 假设假设 是来自是来自总体总体N(0,1)N(0,1)的样本的样本, , 那么平方和那么平方和12,nXXX222212( )nnXXXn 概概 率率 论论

4、与与 数数 理理 统统 计计22(2)(1)(1)nSn2nXS和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,那么那么有有2(1).nXS和独立定理定理3.2: 3.2: 假设假设 是来自是来自总体总体N(0,1)N(0,1)的样本，的样本，12,nXXX概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计推论推论3.3: 3.3: 假设假设 ，那么，那么22( ),( )nm2(2)()nm当和独立时，有 (1)( ),Var( )2Enn这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性. .2概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计12,(0,1)nX XXN证证明明：( ( 1 1设

5、设是是来来自自总总体体的的) )样样本本，则则2422Var()() ()3 12,1,2,iiiXE XE Xin 2211( )()().nniiiiEEXE Xn 所所以以2211Var( )Var()Var()2 .nniiiiXXn 22E()0, E()Var() (E()1iiiiXXXX 2222123.1( )nXXXn 根根据据定定理理 ，有有 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计12,(0,1)n mX XXN 设设是是来来自自总总证证明明：( ( 2 2体体) )的的样样本本2222221212()()nmnnnn mXXXXXX 令令 则则 与与.同同分分布

6、布nm .因因此此结结论论成成立立那么那么有有2nm （n n+ + m m ）概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 定理定理 3.422221(1)1(2)()(1)njnjnSXXn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2nXS和和 分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,那么那么有有2(1).nXS和和独独 立立概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 t 分布又称学生氏分布又称学生氏(student)分布分布.记做记做Tt(n). 定义3.2: 假设随机变量T具有概率密度称称T服从自在度为服从自在度为 n的的 t 分布分布

7、.2、t 分布分布12212( )1,(,)2nnnup uunnn 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计外形外形: :中间高中间高, ,两边低两边低, ,左右对称左右对称. .当当n n充分大时，充分大时，t t 分布近似分布近似N (0,1)N (0,1)分布分布. . 但对于较小的但对于较小的n n，t t分分布与布与N (0,1)N (0,1)分布相差很大分布相差很大. .t分布的图形分布的图形(红色的是规范正态分布红色的是规范正态分布)n = 1n=20-3-2-110.4概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 t(2)与与N(0,1)概率密度

8、曲线的对比概率密度曲线的对比 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 t(20)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密度曲线的对比 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 22,1lime( )2unnnpuu 特特别别, 当, 当时时 有有 33, ( )(0,1).33,( )nt nNnx 当当时时分分布布的的密密度度和和的的密密度度几几乎乎没没有有差差别别 而而且且当当时时对对标标准准正正态态密密度度函函数数有有sup( )( )0.0041nxpxx 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计t分布的性质分布的性质 ( )Zt nn 定理3.5: 假设ZN(0,

9、1) , 且Z与 相互独立，那么有2( ),n 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 定理定理 3.6 假设假设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2nXS和和 分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, ,那么那么有有 (1)nXt nSn 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计222(1)(0,1),(1)./nXnSZNnn 且它们独立且它们独立. 那么由定理那么由定理3.5得到得到22(1)(1)/(1)nXZnSnnn 证明：由定理证明：由定理3.4 (1)/nXt nSn 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 具

10、有自在度为具有自在度为n的的t分布的随机变量分布的随机变量T的数学期望和方差为的数学期望和方差为: E(T)=0; Var(T)=n/(n-2) , 对对n 2 t分布的性质分布的性质概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计12222( )1,0. 22nnn mn mnnp uuuynmmm 3、 F(n,m)分布分布定义定义3.3 假设随机变量假设随机变量F有概率密度有概率密度称称F服从自在度为服从自在度为(n, m )的的F分布，记做分布，记做 FF(n,m).其中其中n称为第一自在度，称为第一自在度，m称为第二自在度称为第二自在度.概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计图

11、形：图形：m=10m=7m=3m=1F(6,m)的密度图形，的密度图形，m=1,3,7,10概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计F分布的性质分布的性质22( ),( ),nm : : 如如果果定定理理3 3. .和和7 7独独立立，则则( ,)nFF n mm 1( , )mF m nFn概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计1212,. 设是来自总体的样本，是来自总体 的样本如果总体和总体独立，则来自这两个总体的样本也相互独立 于是nmXXXXY YYYXY1212,nmXXXYYY，是相互独立的随机变量.概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计21212122,(,

12、),(,).,2nmX XXNY YYNn m : :设设是是来来自自总总体体的的样样本本，是是来来自自总总体体的的样样本本又又设设这这两两个个总总体体相相互互独独立立定定理理3 3. . 8 8，则则当当时时22(1,1)XYSSF nm 2211221111() ,111() ,1nnXinniiimmYimmiiiSXXXXnnSYYYYmm 其其中中 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计由由定定证证明明： 理理3 3. .4 4222222(1)(1)(1),(1)XYnSmSnm 而而且且 和和 独独立立，根根据据定定理理3 3. . 7 7得得到到22/(1)(1,1)/

13、(1)XYSnF nmSm 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计21212122,(,),(,).nmX XXNY YYN : :设设是是来来自自总总体体的的样样本本，是是来来自自总总体体的的样样本本又又设设这这两两个个总总体体相相互互补补充充定定理理独独立立，则则12() (2)11nmWXYt nmSnm 2222(1)(1),2XYWWWnSmSSSSnm 其其中中 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计2212(,)nmXYNnm 由由已已知知可可得得证证： 明明12()()(0,1)11nmXYZNnm 所所以以2222122212(1)(1)(1),(1),XYn

14、SmSnm 且且 与与 相相互互独独立立. .212(2)nm 则则概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计2WWSS 其其中中 12123.5()()()/(2)1/1/nmWXYZnmSnm 由由定定理理得得 (2)t nm 222(1)(1)2XYWnSmSSnm 记记 123.4Z由由定定理理得得 ， ，独独立立. .概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例例1 设设X 与与Y 相互独立，相互独立， X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与与 Y1, Y2 , Y16 分分别是取自别是取自 X 与与 Y 的简单随机样本的简单随机样本, 求统计

15、量求统计量1292221216XXXYYY 所服从的分布所服从的分布解解129(0,9 16)XXXN 1291() (0,1)34XXXN 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计1(0,1) ,1, 2,163iYNi 216211(16)3iiY 12921611341316iiXXXY (16)t1292221216XXXYYY 从而从而概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例例2 2 设总体设总体(0,1)XN的样本的样本, ,22123456()()YXXXXXX 126,XXX为总体为总体 X X试确定常数试确定常数c c 使使cY cY 服从服从2分布分布. .解

16、解123456(0,3),(0,3)XXXNXXXN 12345611,(0,1)33XXXXXXN 221234561133XXXXXX 故故因此因此13c 21(2)3Y 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计二二 抽样分布的上分位数抽样分布的上分位数概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计(0,1). 设设正正数数()P Zz (0,1),ZNz1 1. .，有有唯唯一一的的使使得得2( )nPn 22( )( ),nnn2 2. .，有有唯唯一一的的使使得得( )nP Ttn ( )( ),nTt ntn3 3. .，有有唯唯一一的的使使得得,( ,)n mP FFn m

17、 ,( ,)( ,),n mFF n mFn m4 4. .，有有唯唯一一的的使使得得概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计22,( )( )( ,)(0,1)( )( )( ,).zntnFn mNnt nF n m 称称，和和 分分别别为为，和和 分分布布的的定定义义3 3. . 4 4: :上上分分位位数数214,( )( )( ,).CCzntnFn m 对对于于某某些些固固定定的的 ，可可以以查查书书后后的的表表得得到到，和和 上上分分位位数数是是 的的减减函函数数. .概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计(0,1).N正态分布的上 分位数1-概概 率率 论论 与与

18、 数数 理理 统统 计计2( ).n分布的上 分位数1-概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计0.0250.051.961.645zz ，例例：解解：()(1.96)P ZzP Z 1(1.96) 1(1.96)P Z 10.9750.025 0.0251.96z 因因此此概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 根根据据定定义义3 3. . 4 4可可以以得得到到例例3 3如如下下结结论论()11()P ZzP Zz 221(1( )()nnPnnP 1()1)nnPnP TTtnt ,( ,1(,)()1nmmnP FF nP FFmmn 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计/2/2(), ()1,P ZzP Zz /2/2( ), ( )1nnP TtnP Ttn 证证明明：/2/2/2()()()P ZzP ZzP Zz /2/2 /2/2()1()1,P ZzP Zz (0,1), ( )nZNTt n 例例 对对4 4，有有概概 率率 论论 与