导数小题中构造函数的技巧

1、导数小题中构造函数的技巧 程磊 7月10日(一)利用/(紛进行抽象函数构造(1) 利用/(x)与X构造:(2) 利用/(X)与b构造；(3) 利用 /(x)与 sinx,cosx 构造.(-)构造具体函数关系式构造 (1)构造具体函数解决不等式及求值问题: (2)构造具体西数解决导数儿何意义问题.(一)利用/(X)进行抽象函数构造1、利用广任)与匸构造；常用构造形式有莎(x),型 ；X【例1】/(x)是定义在R上的偶函数，当XV0时，f(x) + xf (x) <0 ,且/(-4) = 0 ,则不等式xf(x) > 0的解集为主【例2】设/是定义在尺上的偶函数，且/(1) = 0

2、,当xvO时，有>0恒成立，则不等式/(x)>0的解集为空【例3】己知偶函数/(x)(x 0)的导函数为/(X),且满足/(-I) = 0 ,当x>0时，2/(x)>xf'(x),则使得/(x) > 0成立的x的取值范围是【变式提升】设函If (x)满足 xV (x) + 3x2/(x) = 1 + 111X则x>0 时，/(x)()A、有极大值，无极小值C、既有极大值乂有极小值B、有极小值，无极大值D、既无极大值也无极小值空【例4】设/'(x)是定义在R上的奇函数，在(-叽0)上有2xf '(2xf(2x)<Q9且/(-2)

3、= 0 ,则不等式xf(2x)<0的解集为.2、利用/(X)与*构造.(° /(x)±f(x)类型：主i【例5已知/(x)是定义在(-s,+s)上的函数，导函数/'(X)满足/ (x) </(x)对于xeR恒成立，则()A、/(2) >e(2) c"门土 f (x)类型：乡二【例6】若定义在尺上的函数/(x)满足/'(x)-2/(x)>0,/(0) = l,则不等式f(x)>e2x的解集为*二【变式提升】若定义在尺上的函数/(X)满足/(x)-2/(x)-4>0,/(0) = -l,则不等式/(x) >日_

4、 2的解集为壬一【例门已知函数/(X)在R上可导，其导函数为广(x),若/(X)满足：(1)广(x)-/(x)>0 , /(2-x) = f(x)e2'2 则下列判断一定正确的是()Av /(1)</(0)B、门2)>叭0)C、/ >e2f(O)D、/(4)</(0)3、利用/仕)与sinx.cosx关系构造空【例8】已知函数y = f(x)对于任意的re满足 2r(x)cosx + /(x)siiix>0 (其中广(打是函数.广(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()A、2/(-) < /(-)B、V2/(- -) < /(-)英

5、434/(0)，7(2014) >e2014/(0)B、/(2) <e2/(0),/(2014) >e2014/(0)C、/(2) >e2/(0),/(2014)<e2017(0) D、/(2) <e2/(0),/(2014) ce2014/)C、/(0) <4D、/(0) < 2/(y)畠【变式提升】定义在(0,上的函数，函数是它的导函数，且恒有2/(x)</(x)tanx 成立，则()A、>/3/() > >/2/(|)B、/(l)<2/(-)sinlC、) > /(才)D、>/3y"()

6、< /()二、构造具体的函数关系式空【例9】«,/?-,-,且asina-0siii0>O,则下列结论正确的是()2 2A、a> p B. a2 > p2 C、a<pD、a + p >0»ix*< o »tyA utC、/(0) <4D、/(0) < 2/(y)»ix*< o »tyA utC、/(0) <4D、/(0) < 2/(y)A、26B. 29 C. 212 D、215例 10】等比数列%中，q = 2 , = 4 ,函数 f (x) = x(x- aj)(x-a2).(x-a8),则 /(0)=()空【例11】已知实数a,b,c满足= = 1,其中w是自然对数的底数, b d -1那么(a -c)2 + (b-d)2的最小值为()A、 8 B、