极限导数积分计算

1、函数的极限的计算1)初等函数f (x)在定义区间内处处连续：若f (a)存在,则有 lim f (x) f (a)x a2)变量代换:设lim g(x) b( g(x) b),x a右 lim f(u)u bA,则有lim fg(x) lim f(u) Ax au b3)lim f (x)a的充要条件为：lim f (x)lim f (x)a .X xx xxX。4)lim f(x)xa的充要条件为：lim f (x)xlim f(x)xa.5)极限的四则运算6)“ 0 ”，“一 ”型洛必达法则0例1. 设f (x)、1x x21 x x2 ,则 f (x)为()A.有界函数；B.偶函数；C.

2、 lim f(x)x1； D.lim f(x) 1.x解题提示：1)f (x)为奇函数.3)| f (x) | | f(|x|)|2|x|2.1 |x|x2 J |x| x2例2.下列各式中不正确的是().111A. lim ex； B.lim ex；C. lim ex0； Dx 01x 0x 02 e，sin x例3.求 lim (4.x 0_|x|1 ex解题提示:计算左右极限1lim ex 1.x洛必达法则是计算极限的有效方法 例4.计算下列极限：tan x 11) lim; 2)x - sin4x414) lim (x 0 x十);解题提示：5)令xln(1 lim - x5)tsin

3、3x例5.右 lim 一3x 0 xsin3x解题提示:3 -x0 In xlimxx或 ln(1f(x)2 x f(x)2丄)乂 ；3)x2丄)xln(10,计算sin 3x 3x!呼21 nX；丄).x1 12 x2limWx 02x3 f(x)极限计算中无穷小的处理：“0根在乘除运算中，极限值不为0的因子先算出，“0因子”作等价无穷小代换 式”有理化例6.ex计算lim x 0 1. 1 sinsinx cosx (sin x cosx2x例7.lim ex 0limx211 sin2 xX esin xcosx2 sin xX esin xcosxn02 XX ecosxsin xXX

4、 esin xcosx(1(x(x叫xm0xx0代入,此式为1 sin2 x)(乘除运算中“非“0根式”有理化）因子”先算出，“0因子”作等价无穷小代换）洛必达法则）1) limx1(计算下列极限：3x25.1. 2)sin . 2)x3洛必达法则）初等函数在定义区间内处处连续例8.5x 3lim x 2 2x 24x 1g).x计算limxx2(.x 22.X 13lim x2 ( x 22 x 1xx)lim 1 2U 21 U 1u 0f (x)sin x 12 ,求 lim f (x).x 0例9. 已知lim3xx 0e3x 1解题提示：利用等价无穷小代换计算左式极限计算中无穷大的处

5、理：“根式”有理化.“三角无穷大”的导数仍然为无穷大，“三角无穷大”要先变.求x 时的极限，分子，分母同时除以分子，分母中的最高次幕（“抓大头”方法 中的“大头”）.所谓“抓大头”就是抓住关于 x的最高次的项，而把其余的项略掉.如nnanX6X a。广 anXlim 匚-lim 匚.x bmX0X b x bmX例10.计算下列极限：1)tan3xlim;2)x tanx2limXx( x25.X21)4x2 x1 X 13)lim ( . x210x x); 4)lim:2XXXsin x计算limx在计算极限时，洛必达法则不要“滥用”例11.解题提示：用洛必达法则，观察会出现怎样的情形x

6、sin x 例 12. lim().x x sin xA. 1 B.不存在 C. 0 D. 1解题提示：1)分析以下错误运算：x sinx limx x sinx2)分析以下错误运算：limxx sin x limx x sinxlimx1cosx1cosx1sin -1sin -0.lim 也 1.x sin -例13.求lim-解题提示：1)n2) lim 7x exxeexxeex先多次用洛必达法则，观察会出现怎样的情形ln xlim 0 ( n为正数),当xx时，可认为ex为x的无穷大次幕，In x为-的0次幕.3) 分子，分母同时除以分子，分母中的最高次幕1e.-试用洛必达法则看看.

7、,即用“抓大头”方法.例14.求limx解题提示：1)12)令tlim uv(其中的“1。,0。”型，也可用配型)极限计算法：ln(lime法：uv) lim vin u .0, lim v(x)设 lim u(x)例15.计算下列极限：1lim(1 u)v lim( 1 u)uuvlim uve1) lim (sin 仝 cos-)n; 2)n n nlim (1x1x)l 3)xm (2 arctanx)lnx利用导数定义式计算极限例16.设f(x)在x a处可导,f(x)0,1求 lim f (a )/ f (a)n. nnf (a解题提示：利用配e法，计算limnn1-)nf (a)例

8、17.设f(X)在点xo处有二阶导数,求极限f (Xo h) 2f (Xo) f (Xo h) lim2h 0h2解题提示：先用一次洛必达法则注意：因二阶导数f (x)在点Xo处连续性不知，不可再次用洛必达法则oXfmoH hh) 2f (Xo)f (Xo h)X/V -TmoHhx0lim 1陛h o2hh) f (Xo) f (Xoh) f(Xo) f (Xo).利用中值定理计算极限 例18.计算下列极限：21) lim x In arctan(x 1) In arctanx;Xx 2cx2) lim arcta nxdx.x x x 1解题提示：1) 对函数f (t) ln arctan

9、t在x,x1 arctanIn arctan(x 1) In arctanx1上用拉格朗日中值定理112 , (XX 1).2)利用积分中值定理，x 2 xarcta n xdxx x 1arcta n,(x2).利用麦克劳林公式计算极限 例19.计算下列极限：2-；2)1) lim coSX 4ex o sin x解：1) sincosxlim (1x o21 212X4X24ln22o(x4),cosx2X221疋244X122O(x4),O(X4),112 .x.ln(1 )2e.4 sin xx ln(1 xW)22 213一 X 12丄2cosx limx 02) ln -2fo(x

10、3)o(x3)O(x3),Xmo(112 x尹厂)Xmo1112o(x3)31112导数与微分的计算1) 四则运算求导公式2) 复合函数求导公式：f(g(x) f (g(x) g(x).3) 微分计算公式：df (x) f (x)dx .注意：微分等式中变量x可用任意可导函数 g(x)作代换.24) 参数方程求导公式：巴dy dx,g_yg(3)dx.dx dt / dtdx2dt dx / dt5) 隐函数求导法：方程两边同时对x求导，注意f (y)中y为中间变量6) 幕指函数求导公式： f(x)g(x)f(x)g(x) g(x)ln f(x).7) 取对数求导法：设y fi(x) l(x)

11、 fn(x) n(x),则有In y i(x)ln fi(x)n(x)ln fn(x)pl8) 设f (x)为连续函数，则有一 f(x)dx f (x).dx9) 设f(x)为连续函数，u(x),v(x)可导，则有变限积分函数求导公式d u(x)f(t)dt fu(x) u (x)fv(x) v(x)dx v(x)例1. 设 f (x) sin x2 则 df (仮).dx例2. 设 y f (u)可导，yfef(x)，则 dy .例3. 设 y lnx，当 x 2 , x 0.01 时，dy .解题提示：自变量的微分等于自变量的增量，即dx x./x211例4.设 f(x)dx In C，求

12、 f (x).Jx2 1 1ln x例5. 设f (x)为连续函数，且F (x)1 f (t)dt，则F (x)xdx2 2例6. 求x f (t)dt,其中f(t)为已知的连续函数.dx 0x2x2解题提示:o x f (t)dtx2 0 f (t)dt.例7.求xf (xdx 0t)dtx2,其中f(t)为已知的连续函数.x x2解题提示：令ux t ,0f(xt)dtxf (u)du.例8.设f(x)x(x1)(x2)(x n),则f (0)解题提示：f (x)(x1)(xn) x(x 1)(xn).例9.若f( x)f(x),在(0,)内 f (x)0, f(x)0,则 f(x)在(,

13、0)内().(A) f (x)0, f(x)0;(B)f (x)0,f(x)0;(C) f (x)0, f(x)0;(D)f (x)0, f(x)0.解题提示：f (x)为偶函数.试证明:1) 可导偶函数的导数为奇函数；2) 可导奇函数的导数为偶函数.例10.设函数y y(x)由方程xef(y)ey确定,其中f具有二阶导数,且f 1 ,求dx2 .例11.x.：ex :sin1 x解题提示：In例12.设1 .ln x4 ：f(u2)du f(t2)2丄 In sin1.16 x其中f (u)具有二阶导数，且f (u)0 ,求韭.dx高阶导数与泰勒公式n1)莱布尼兹公式：(uv)(n) Cn

14、u(n k)v(k).k 02)函数f(x)其中 af (x)在点x a处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式：(n 1)f (a) f (a)(x a)(x a), 0(n)(a)(x a)nn (n 和1,即 介于a与x之间.当a 0时，称麦克劳林公式n 1a)解：4) yxx e cosx e sin x、2ex cos(x3)函数f (x)在点x a处带皮亚诺型余项的 n阶泰勒展开式：f (n) (a)f(x) f(a) f (a)(x a)(x a)n o(x a)nn!例13.求下列函数的n阶导数：1) yln(x 1);2) ycos kx ;x3) yxe ;x4) ye cosx

15、.y(n)( .2)nexcos(x ).4例14.求函数f(x) ln(1 x)在点x0处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式例仆.求函数f (x) x21n(1 x)在点x 0处带皮亚诺型余项的5阶泰勒展开式例 16.设 f (x)解题提示：f (x)x10TV则f(x9(10)/ 、(x)x 1),2 x例17.求函数f(x) x e在x 0处的n阶导数宀a xf (n)(0) (nn!n 1(a x)3).n解题提示：1)利用莱布尼兹公式(uv)(n) cfun k)v(k).2)利用ex1 xn!o(xn)及麦克劳林公式解: exn!0(xn)f(x)(n 2)! OX),(n) (0)

16、n!(n)(0) n(n 1).例18.设f(x)x ，x05求f(0)1,x035(n 12n 1解题提示：x sin x xx1)x3!5!(2n1)!例19.设1 ./a mein xy求(n)(0)1 X2、,求y(0).解题提示：建立递推公式(1x2)y(n1)(2n1)xy(n 2)!sin x(n)o(x2n1).n2y(n1)0三.不定积分的计算：1.常用公式tan xdxIn | cosx | C ；cot xdxIn|sin x |C;In | cscxcotx | C ；dx1+ xarcta naaC;dx1 I2 2 x a2 2 x a2adx.xC ;dxIn-a

17、rcs inC;secxdxIn | secx tanx|cscxdxaln|x|xx2 a2 | C.、a2x22 2 x a2.分项法：通过代数或三角恒等变形把所给不定积分化为基本积分公式中的积分或常 见的积分类型.例1.计算下列不定积分：旦| c；aX411)2dx ；2)一221 xsin xcos-dx ;xx sin x dx.I cos2x3.第一换元法(凑微分法):设F为ff (x) (x)dx f (x)d的原函数，u(x)凑微分:(x)可导，则有(x)dx d (x)f(x)dx F(x)F (x) C.如何确定中间变量u (x)?A) 从被积函数明显的复合部分f (u)去

18、确定u B) 通过凑微分确定u .C) 从被积函数中复杂的部分去确定例2.计算下列不定积分：换元:C中x换为(x)1)tan Vx2 1 r x dx;1-x212)In tan x ,dx；sin xcosx3)xe .4) x dx；e 1dxdx5) x ;2e 1cosx sin x6)4 dx;1 x;8)x dx.x(1 x)cosx (1 e cosx)解题提示：8) (excosx)ex(cosx sin x).7)4.第二换元法(积分变量代换法)：设x (t)单调可导，则有f (x)dx f (t) (t)dt.积分变量代换法常见的有：1)作三角代换asi nt去根式2)作三

19、角代换ata nt去根式22ax22ax3)作三角代换asect去根式x2a24)作根式代换n ： ax b,tcx d5)对三角函数有理式作万能代换xu tan 化为u的有理式，其中有dx2例3.2u1sin x2 , cosx -1 u1计算下列不定积分：2笃.作万能代换计算，时常较繁，不要滥用u1)1 x2 dx;1 x2)dx-.(9 x2)33)dx322x x a4)dx5)e 2xdx;6)dx1 sin x cosx例4.解题提示：(x2xdx1)2、x2 2x2x (x 1)21，作代换sect.5.分部积分法：udv uv vdu.常见类型有:1)P(x)sin(ax b)

20、dx,P(x) cos(ax b)dx,P(x)eaxdx.取 u P(x)2)xn lnP(x)dx,xnarctanxdx等.取 dvnxdx.3)3iax iisec xdx, e sin bxdx,eax cosbxdx.用分部积分法回归”例5.计算下列不定积分1)(x2 x)sin2 xdx;2)(x2 x 1)e ：dx;3)ln x ,dx;(1 x);4)arcta nx (5)eax cosbx dx;6)ln cosx i2 dx;x2 dx;cos x7)x sin 2x , dx;1 cos2x8)arctan x ,9) sinln x dx.22 dx;x (1 x

21、 )解题提示：1)令x asint.2)分部积分回归法.2x例7. 求dx.(1 x )解题提示：1)分部积分法：-(12x .2、2 dxx )2)令 x tant.xxe .dx.-.ex 1令 tex 1.tan2 xsecxdx.例8. 求解题提示：例9. 求解题提示：1)分部积分回归法.2 sin x丄 2,sin x12) tan xsecxdx3 dxcos xsin xd12cos x注：凑微分是计算积分的首要过程 是积出积分的重要一环 主要手段，灵活多变， 分题，计算当中会出现1;分部积分法是 初学时不易掌握 恰好”之处.,是求导的逆运算，第一换元法是复合求导的逆运算乘积”求

22、导的逆运算，是计算积分的一种过度性的.切记：初等函数并不是都能 积得出”，不常见的积例10. 求解题提示:2)分项(XIn x , rdx.(x In x)2八 1 In x1)x1 In xIn x)2宀).x1 x (In x x)例11.1 sin x例12.(XInx)2x In xx2 (x In x).(x In x)exdx.1 cosx沁 exdx1 cosx1 sin xexdx2cos2 -xxe d ta n 22 x+ x e 求2(x 2)22 xx e ,2 dx(x 2)2x2ex1吨dex2xxe tan-2dx.x(2xex2ex)dxxexdxx2exxxe

23、(x 2)exx 26.特殊积分举例例13. 求x 3rdxx 6x 5解题提示x 32x2 6x 5 x 54x 1例 14.求dx.x2 4x 8解题提示4x 1x2 4x 82(2x 4)922x 4x 8 (x 2)例15. 求x(x411)x(xna)dxx412)x1x111 -2x21x2dx解题提示：例16. 求1解题提示:x dxx212)4xA1a x2x-4xnxnx1 -).a例17.1 sin x解题提示：1)例18. 求例19. 求 dx.111 2x_17(x 1)x_2x(x令 u tan：2-dx,1 cosxsin x2)(x(xXI)2 2x1 sin x

24、 戲dx等.sin x1 sin x.化分母为单项，用此法可计算： xcos2cosxasin xa cosxbcosxbsin xasin xbcosxasin xb cosxasin xb cosx解题提示:dxdxsin3 x cos2 xdx.dx . a si nx bcosxIn| a sinx bcosx | C ,解题提示:sin m x cos2n 1 x sin m x (1 sin2 x)n (sin x).3例20.求co字dx.sin x解题提示：cosm x sin2n例21.求 cos4 xdx.cosmx (1 cos2x)n(cosx) 解题提示：1)降幕法2

25、)分部积分回归法cosn xdx14(1,建立递推公式：n 1cos4cos xxd sinxcos2x)2nsin xcos(n1).2sin xncos2 xdxnsin xcos(n1)n 2 cosxdx(n1)cosn xdx,cosn xdx1 sin xcos ncosx , dx .cos2 xdx.1例22.求23 sin x1解题提示:3 sin x3cos2 x 4 sin2 x1 (tanx).x4ta n四.定积分与广义积分的计算1.设2.牛顿一莱布尼兹公式f (x)在a,b上连续,且F (x)baf(x)dx定积分的分部积分公式f (x),则有F(b)F(a).设u

26、 (x), v (x)在a, b上连续，则有bu(x)dv(x)au(x)v(x)】abv(x)du(x).a3.定积分的换元法设f (x)在a, b上连续,x (t)在a,b上变化,且x (t)在()a,baf(x)dx,上单值连续可导，当t在)b,则有f (t)(t)dt.上变化时,例23.计算下列定积分：1)4 tan2 xdx ;/ 02)dxx J ln2 x1 23) 0x arctanxdx；4)0cosxdx.2i例24.计算 X4 i 4 x2dx.0解题提示：1)令x2sint.nxdx02cosnxdX,则有 In3口I丨n 2n例25.计算 ox(1 x4)2dx.解题提示：令x2sint例26.计算04 ndtan x)dx.解题提示：令例27.已知f (x)sin (x1)2,且 f (0)0,10 f (x)dx.1解：f(x)dx xf (x)2xsin(x 1) dx1xf (x)dx01osin(x1)2dxf (0): xsi n(x 1)2dx10x) si n(x 1)2dx11-cos(x 1)2|0 -(1 22cosl)f(x)dxa0 f