32正态总体均值与方差的假设检验ppt课件

1、第8.2节 正态总体均值与方差的假设检验一、单个总体参数的检验一、单个总体参数的检验二、两个总体参数的检验二、两个总体参数的检验三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验(t 检验检验)四、小结四、小结一、单个正态总体均值与方差的检验)U ,检验的检验关于为已知(.21),( 2 N体体在在上上节节中中讨讨论论过过正正态态总总: ,02的的检检验验问问题题关关于于为为已已知知时时当当 ; :H , :H 00 10假设检验)1 , 0(/00NUHnXU成立时，成立时，当当，选择统计量选择统计量 对于给定的对于给定的检验水平检验水平 10 由标准正态分布分位数定义知，由标准正态分布分位数定义

2、知， 2/uUP因此，检验的拒绝域为因此，检验的拒绝域为 :,2211 uuxxxWn 其中其中 u为统计量为统计量U的观测值。这种利用的观测值。这种利用U统计量统计量来检验的方法称为来检验的方法称为U检验法。检验法。，或或者者记记为为21 uuW 例例1 1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, , 切割每段金属棒切割每段金属棒的平均长度为的平均长度为10.5cm, 10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 0.15cm, 今从今从一批产品中随机的抽取一批产品中随机的抽取1515段进行测量段进行测量, , 其结果如其结果如下下: :7 .102 .107 .105 .108 .1

3、06 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定切割的长度假定切割的长度X服从正态分布服从正态分布, 且标准差没有且标准差没有变化变化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?).(10 解解 0.15, , ),( 2 NX因为因为 , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要检检验验假假设设 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 则则,516. 0 查表得查表得,645. 105. 0 u645. 1516. 0|/|05. 00 unx于于是是 . , 0认为该机工作正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15

4、n,48.10 x,05. 0 )( ,. 22检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t . , , ),(22 显显著著性性水水平平为为未未知知其其中中设设总总体体NX . : , :0100 HH检检验验假假设设 , , 21的样本的样本为来自总体为来自总体设设XXXXn , 2未未知知因因为为 . / 0来来确确定定拒拒绝绝域域不不能能利利用用nX , S n的无偏估计是因为22*, S n来取代故用* . / *0来来作作为为检检验验统统计计量量即即采采用用nSXTn ),(/*100 ntnSX ,Hn为真时当 )1(/2/*0ntnSXPn根据第六章根据第六章3定理定理6.8的推

5、论的推论1知知,由由t分布分位数的定义知分布分位数的定义知)1(/2/*01 ntnsxtWn拒拒绝绝域域为为 在实际中在实际中, 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, 所以所以我们常用我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验法来检验关于正态总体均值的检验问题检验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法. 如果在例如果在例1 1中只假定切割的长度服从正态分中只假定切割的长度服从正态分布布, , 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化? ?)05. 0( 解解 , , ),( 22均为未知

6、均为未知依题意依题意 NX , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要检检验验假假设设,15 n,48.10 x,05. 0 ,.*2370 ns nsxtn15237051048100/./* ,327. 0 查表得查表得)14()1(025. 02/tnt 1448. 2 ,327. 0 t . , 0无无显显著著变变化化认认为为金金属属棒棒的的平平均均长长度度故故接接受受 Ht t分布表分布表例例2 2 , , ),( 22均均为为未未知知设设总总体体 NX , : , : 20212020 HH要检验假设要检验假设: , ,21的样本的样本为来自总体为来自总体 XXXXn . 0

7、为为已已知知常常数数其其中中 ,:22*的的无无偏偏估估计计是是分分析析 nS , 设设显显著著水水平平为为)( ,.检检验验的的检检验验关关于于为为未未知知223 ),1()1(2202* nSnn根据第六章根据第六章3知知,0为真时为真时当当H.)1(202*2作作为为统统计计量量取取 nSn分分布布分分位位数数的的定定义义知知由由为为真真时时当当20, H,2)1()1(22/1202* nSnPn,2)1()1(22/202* nSnPn指它们的和集指它们的和集拒绝域为拒绝域为: )1( 202 sn)1(22/1 n )1( 202 sn或或. )1(22/ n )02. 0( 解解

8、 ,5000:,5000: 2120 HH要检验假设要检验假设,26 n,02. 0 ,500020 ,314.44)25()1(201. 022/ n例例3 3 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池, , 其寿命长期其寿命长期以来服从方差以来服从方差 =5000 ( =5000 (小时小时2) 2) 的正态分布的正态分布, , 现有一批这种电池现有一批这种电池, , 从它生产情况来看从它生产情况来看, , 寿命的寿命的波动性有所变化波动性有所变化. . 现随机的取现随机的取2626只电池只电池, , 测出其测出其寿命的样本方差寿命的样本方差 =9200( =9200(小时小时2)

9、. 2). 问根据这问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化的有显著的变化? ?2 2*ns,524.11)25()1(299. 022/1 n )( * 2021nsn,524.11拒绝域为拒绝域为: )( * 2021nsn或. 4.3144 46)( * 50009200251202nsn因为 , 4.3144 , 0H所以拒绝所以拒绝 可认为这批电池的寿命的波动性较以往的可认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化有显著的变化.二、两个正态总体均值与方差的检验1.已知方差时两正态总体均值的检验已知方差时两正态总体均值

10、的检验,),( , 的样本为来自正态总体设211211NXXXn , : , : 211210HH需要检验假设需要检验假设:两样本独立两样本独立的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体 ,NYYY222n211),(, , 21均为未知均为未知又设又设, ,2221已已知知,上述假设可等价的变为上述假设可等价的变为 0, : 0, : 211210HH 利用利用u检验法检验检验法检验.,),(),(独独立立且且由由于于YXnNYnNX22221211),(22212121nnNYX故故222121nnYXU/ )(取检验的统计量为取检验的统计量为),(,100NUH统统计计量量成成立立时时当当

11、 . 取显著性水平为取显著性水平为故拒绝域为故拒绝域为|/ )(|2/222121 unnyx |/ )(|2/222121unnYXP由标准正态分布分位数的定义知由标准正态分布分位数的定义知?,.,:):(,有有显显著著差差异异烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量是是否否问问两两种种取取种种的的方方差差为为种种的的方方差差为为互互独独立立且且相相均均服服从从正正态态分分布布两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量据据经经验验知知分分别别为为单单位位测测得得尼尼古古丁丁的的含含量量化化验验例例进进行行的的中中各各随随机机抽抽取取重重量量相相同同从从含含量量是是否否相相同同化化验验尼尼古古丁丁的的两

12、两种种烟烟草草卷卷烟烟厂厂向向化化验验室室送送去去例例050852631232827242126272451BABAmgBABA,两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量分分别别表表示示和和以以解解BAYX.,(),()独立独立且且则则YXNYNX222211211210:,:HH欲检验假设欲检验假设由由所所给给数数据据求求得得现现已已知知.,585212221nn27424yx,.6121585527424222121./ )(nnyxu.,.|,.,./029616121961050Huu故故接接受受原原假假设设由由于于查查正正态态分分布布表表得得对对2.未知方差时两正态总体均值的检验未知

13、方差时两正态总体均值的检验 利用利用t检验法检验具有相同方差的两正态总检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设体均值差的假设. . ,NYYY,N XXX nn注意两总体的方差相等且设两样本独立样本的为来自正态总体的样本为来自正态总体设),(,),(,2221212121 , ,SS ,YX 1均为未知方差是样本分别是总体的样本均值又设222221,*211210 ：，：检检验验假假设设HH . 取显著性水平为取显著性水平为统统计计量量引引入入 t,11)(21nnSYXTw .)()(*21121222211 nnSnSnS 2w其中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt根据第

14、六章根据第六章3定理定理6.8的推论的推论2知知,对给定的对给定的 )2(11)(212/21nntnnSYXPw使得使得).2(212/ nntt分分布布的的分分位位表表可可查查得得由由 故拒绝域为故拒绝域为)2(11)(212/211 nntnnsyxWw例例2 2 有甲、乙两台机床加工相同的产品有甲、乙两台机床加工相同的产品, , 从这两从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件台机床加工的产品中随机地抽取若干件, , 测得产测得产品直径品直径( (单位单位:mm):mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙

15、机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态假定两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方差相等.解解 , ),(),( ,2221 NNYX和和分别服从正态分布分别服从正态分布和和两总体两总体依题意依题意 , 221均为未知均为未知 )05. 0( . : , : 211210 HH需需要要检检验验假假设设, 81 n,925.19 x,.*216021 s, 72 n,000.20 y,

16、.*397022 s,.)()(*5470278171822212 sss w且,160. 2)13( 05. 0 t查查表表可可知知|7181| wsyxt,160. 2265. 0 , 0H所以接受所以接受即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异. ,),( , 的样本为来自正态总体设211211NXXXn , 222121均均为为未未知知又又设设 , : , : 222222 1110HH需要检验假设需要检验假设: ,),(,的样本为来自正态总体222211NYYYn ., ,*2221SS其修正样本方差为且设两样本独立3.两正态总体方差的检验两正

17、态总体方差的检验 , 0为为真真时时当当H),()(*22222121SESE , 1为真时为真时当当H),()(*22222121SESE , 1为真时为真时当当H 有有偏偏大大或或偏偏小小的的趋趋势势观观察察值值2*22*1SS, *2222112221ksskss 或故拒绝域的形式为 :的值由下式确定和此处21kk).,(,*112122210 nnFSSH 为真时当根据第六章根据第六章3定理定理6.8的推论的推论2知知 22*22*112*22*1kSSkSSP为了计算方便为了计算方便, 习惯上取习惯上取,212*22*1 kSSP222*22*1 kSSP . ),( , ),( /

18、2/111121212121 nnFknnFk故得或),(/*112122221 nnFssF检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为上述检验法称为上述检验法称为F检验法检验法.),(/*1121212221 nnFssF解解 某砖厂制成两批机制红砖某砖厂制成两批机制红砖, 抽样检查测量砖抽样检查测量砖的抗折强度的抗折强度(公斤公斤), 得到结果如下得到结果如下:;.,., :;.,., :*83530846327102211 SynSxn第二批第二批第一批第一批已知砖的抗折强度服从正态分布已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验试检验:(1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异两批红砖的抗折强度

19、的方差是否有显著差异? (2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异异?)05. 0( 均取均取(1) 检验假设检验假设:2221122210:,: HH例例3 3, 检验法检验法用用F, 0为真时为真时当当H),( *11212221 nnFSSF统统计计量量查表查表7-3知拒绝域为知拒绝域为)1, 1(212/ nnFF ),1, 1( 212/1 nnFF 或或,.,., *44149640810222121 SSnn由由,82. 4)7 , 9(025. 0 F,283. 0)9 , 7(1)7 , 9(025. 0975. 0 FF,837

20、. 244.1496.40 F得得,82. 4837. 2283. 0 显显然然. , 0有有显显著著差差异异认认为为抗抗折折强强度度的的方方差差没没所所以以接接受受 H(2) 检验假设检验假设:211210:,: HH, 检检验验法法用用t, 0为真时为真时当当H),2(11 2121 nntnnSYXtw统统计计量量.)()( *221121222211 nnSnSnSw其其中中查表查表7-3知拒绝域为知拒绝域为)2(212/ nntt ,1199. 2)16()2810( 025. 0025. 0 tt由由,418. 5,3575.291644.14796.4092 wwSS245. 1

21、474. 0418. 55 .303 .2711 21 nnSYXtw得得,1199. 2 . , 0显显著著差差异异认认为为抗抗折折强强度度的的期期望望无无所所以以接接受受 H三、基于配对数据的检验三、基于配对数据的检验t t检验）检验） 有时为了比较两种产品，两种仪器，或两有时为了比较两种产品，两种仪器，或两种试验方法等的差异，我们常常在相同的条种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件下做对比试验，得到一批成对配对的件下做对比试验，得到一批成对配对的观测值，然后对观测数据进行分析。作出推观测值，然后对观测数据进行分析。作出推断，这种方法常称为配对分析法。断，这种方法常称为配对分析法。 例例

22、7.9 比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从甲，乙两种轮胎中各随机地抽取从甲，乙两种轮胎中各随机地抽取8个，其中各个，其中各取一个组成一对。再随机选择取一个组成一对。再随机选择8架飞机，将架飞机，将8对对轮胎随机地搭配给轮胎随机地搭配给8家飞机，做耐磨性实验家飞机，做耐磨性实验飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量单飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量单位：位：mg数据如下：数据如下：轮胎甲：轮胎甲：4900，5220，5500，6020 6340，7660，8650，4870轮胎乙；轮胎乙；4930，4900，5140，5700 6110，6880，7930，

23、5010试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？解：用解：用X及及Y分别表示甲，乙两种轮胎的磨损量分别表示甲，乙两种轮胎的磨损量假定假定 ，其中，其中 ，欲检验假设，欲检验假设2221），（），（222211NYNX211210：，：HH下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1实验数据配对分析：记实验数据配对分析：记 ，那么，那么 ，由正，由正态分布的可加性知，态分布的可加性知，Z服从正态分布服从正态分布 。于是，对于是，对 与与 是否相等的检验是否相等的检验YXZ2212 ）（，）（ZDddefZE)2 ,(2 dN12t就变对就变对 的检验，这时我们可采

24、用关于一的检验，这时我们可采用关于一个正态总体均值的个正态总体均值的 检验法。将甲，乙两种轮检验法。将甲，乙两种轮胎的数据对应相减得胎的数据对应相减得Z的样本值为：的样本值为：0d-30，320，360，320，230, 780，720，-140计算得样本均值计算得样本均值 81221022007/)(iinZZS3208181 iiZZ83. 2102200/83208/ )0(2 nSZt对给定对给定 ，查自由度为，查自由度为 的的 分布分布表得临界值表得临界值 ，由于，由于 ，因而否定，因而否定 ，即认为这种轮胎的耐磨性，即认为这种轮胎的耐磨性有显著差异。有显著差异。718 05. 0

25、365. 2)7(025. 0 tt0H365. 283. 2 t（2实验数据不配对分析：将两种轮胎的数实验数据不配对分析：将两种轮胎的数据看作来自两个总体的样本观测值，这种方据看作来自两个总体的样本观测值，这种方法称为不配对分析法。欲检验假设法称为不配对分析法。欲检验假设211210 ：，：HH我们选择统计量我们选择统计量）（ 12. 7212121222211)2()1()121nnnnnnSnSnYXTnn （由样本数据及由样本数据及 可得可得5825,6145 yx821 nn7/816339002*11 nS7/810538752*22 nS516. 07 .619/320 t对给定

26、的对给定的 05. 0 ，查自由度为，查自由度为16-2=14的的t分布分布 145.214216025.02/ tt 表，得临界值表，得临界值 ，由于，由于 14145.2516.0025.0tt ，因而接受，因而接受 0H，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。以上是在同一检验水平以上是在同一检验水平 05.0 的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为我们将我们将8对轮胎随机地搭配给对轮胎随机地搭配给8架飞机作轮胎耐架飞机作轮胎耐磨性试

27、验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之间对数据的影响交织在一起，这是样本间对数据的影响交织在一起，这是样本 下采用不同方法下采用不同方法11,nXX 与样本与样本 2,1nYY 实际上不独立，因此，实际上不独立，因此， 用两个独立正态总

28、体的用两个独立正态总体的t检验法是不合适的。检验法是不合适的。有本例看出，对同一批试验数据，采用配对分有本例看出，对同一批试验数据，采用配对分析还是不配对分析方法，要根据抽样方法而定。析还是不配对分析方法，要根据抽样方法而定。 四、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:检检验验检检验验的的检检验验单单个个总总体体均均值值t ;U. 1;tU. 321检检验验检检验验，的的检检验验两两个个总总体体均均值值差差 ;t. 5检验检验基于成对数据的检验基于成对数据的检验正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表 ) ( 显显著著性性水水平平为为

29、 ; .2检检验验法法验验法法单单个个正正态态总总体体方方差差的的检检 2 ; .检检验验法法验验法法两两个个正正态态总总体体方方差差的的检检F4 4)(未未知知22221212121 000)()()(/1222122121 nnttnnttnntt 2211121222211221 nnSnSnSnnSYXtww*)()( 0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(已已知知2000 )(未未知知2000 ),(已已知知2221212121 nXU/0 nSXtn/*0 222121nnYXU 000 000 0002/uuuuuu )()()(/1112 nttnttntt 2/ uuuu

30、uu 32 170H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域),(未知未知21222122212221 )(成对数据成对数据000 DDD nSDtD/0 000 DDD )()()(/1112 nttnttntt )( 未知未知 202202202 20221 *)(nSn 2221*SSF 202202202 222122212221 )()()()(/1111221222221222 nnnn 或或),(),(),(),(/11111111212121221121 nnFFnnFFnnFFnnFF 或或65附表附表7.17.1 40H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(200

31、0未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww)2(21 nntt 321附表7-20H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知),(21222122212221未知)(000成对数据DDD2022) 1(Sn2221SSF nSDtD/0202202202222122212221

32、000DDD) 1() 1() 1() 1(22/1222/221222nnnn或) 1, 1() 1, 1() 1, 1() 1, 1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或) 1() 1() 1(2/nttnttntt)1, 1( )1, 1(212/1212/ nnFFnnFF 或或567第五章3定理5.8的推论1).(/,),(,*12221 ntnSX ,SX,NXXXnnn则有样本方差分别是样本均值和修正的样本是总体设第五章3定理5.8的推论2 21212112222121211211222121111111niiniiniinii21nnYYnSXXnS,

33、YnYXnX,N,NYYYXXX)(,)(,),(),(,*值分别是这两个样本的均设且这两个样本互相独立本的样相同方差的两正态总体分别是具有与设则有则有差差分别是这两个样本的方分别是这两个样本的方, (2);,(/(1)*时当22221212221222111 nnFSS.,)()(),()()(*2212222112212121211211wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX 其中t分布表分布表a )()(ntntP =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.