矩阵初等变换的若干应用

1、. . . . 矩矩阵阵初初等等变变换换的的若若干干应应用用SomeSome applicationsapplications ofof elementaryelementarytransformationtransformation ofof matrixmatrix 专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二一 . . . . I / 15摘摘 要要本文介绍了矩阵初等变换在高等代数中的一些应用, 总结了其在求矩阵和向量组的秩、求逆矩阵、化二次型为标准形、求解矩阵方程以与求一元多项式最大公因式中的应用.关键字: 初等变换; 秩; 逆矩阵; 标准形; 矩阵方程; 最大公因式 . . . .

2、II / 15AbstractAbstractIn this paper, we introduce some applications of elementary transformation of matrix in algebra, and summarizes theapplications of elementary transformation of matrix in the rank of a matrix and vector, the inverse matrix, changing quadratic form as the standard form, solving

3、the matrix equation and the monadic polynomial greatest common factor.Keywords:Keywords: elementary transformation; rank;inverse matrix;standard form; matrix equation; greatest common factor . . . . 1 / 15目 录摘 要 IABSTRACTII0 引言 11 矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 12 用初等变换求矩阵和向量组的秩 23 用初等变换法求逆矩阵 34 用初等变换化二次型为标准形 45

4、 用初等变换求解矩阵方程 55.1 当,B可逆时线性矩阵方程BAX 的解 5A5.2 当A,B不可逆时线性矩阵方程BAX 的解 66 用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法 8参考文献 11. . . . 1 / 150 引言矩阵理论是代数的主要容之一, 在数学与其它科学领域中有着广泛的应用. 在矩阵的应用中, 矩阵的初等变换起着关键作用. 关于矩阵初等变换的应用, 前人已经得出了很多有价值的结论, 本文在前人理论的基础上对矩阵的初等变换在代数中的若干应用进行了一些讨论. 归纳了初等变换在求矩阵和向量组的秩, 矩阵的逆, 化二次型为标准形, 线性矩阵方程的解以与求一元多项式的最大公因式等方面

5、的应用.1 矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 我们先来看看有关矩阵初等变换和初等矩阵的相关知识:(1) 对矩阵施以以下三种变换, 称为矩阵的初等变换: (i) 交换矩阵的两行(列);(ii) 以一个非零数乘矩阵的某行(列);k(iii) 矩阵的某行(列)加上另一行(列)的倍.k(2) 矩阵的初等变换用如下形式表示: (i) 交换矩阵的第 行(列)与第行(列): 或;ijjirr jicc (ii) 非零常数乘矩阵的第 行(列): 或; kiikrikc(iii) 矩阵的第 行(列)加上第行(列)的倍: 或.ijkjikrr jikcc (3)初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初

6、等矩阵, 共 3 类:E(i)交换的第 行与第行(或第 列与第列)得到的初等矩阵;),(jiPEijij(ii)（或）用数域中的非零数乘的第 行(或第列)( kiP)(kjPPkEij得到的初等矩阵;(iii)把的第行的倍加到第 行(或第 列的倍加到列)得)(,(kjiPEjkiikj到的初等矩阵. . . . 2 / 152 用初等变换求矩阵和向量组的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩, 且任意一个矩阵均可以经过一系列行初等变nm换化为梯形矩阵; 因此, 我们要确定一个矩阵的秩, 首先要用行初等变换将其化nm为梯形矩阵, 然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩.例 1 设, 求矩阵的秩.033414

7、31210110122413AA解 03341431210110122413A 022404222001101211102423213rrrrrr000008620021110011014321141342rrrrrrrr因此矩阵的秩为 3.A如果我们要求向量组的秩, 可以把每一向量作为矩阵的一行, 从而向量组就转化为了一个矩阵, 使求向量组的秩转化成求矩阵的秩, 自然使问题简单化了.例 2 求向量组, , , , )4 , 2 , 0 , 1(1)2 , 1, 3 , 1 (2)4 , 5, 1 , 3(3)0 , 2 , 1, 1 (4)3 , 5, 1 , 2(5的秩. 解 以为列, 构

8、造矩阵, 再对进行行初等变换, 化为梯形矩阵:54321,AA30424525121113021311),(54321A. . . . 3 / 15 1141660141101113021311141342rrrr1720100014110413200213113432163rrrrr 3785000413200141102131134325rrrr因此, 矩阵的秩是 4, 从而向量组的秩也是 4.A54321，3 用初等变换法求逆矩阵 如果是阶可逆矩阵, 我们将与并排放到一起, 形成一个的矩阵AnAEnn2, 因为, 所以对矩阵作一系列行初等变换, 将其左)|(EA)|()|(11AEEAA

9、)|(EA半部分化为单位矩阵, 这时右半部分就是.1A例 3 设，求.111142251A1A解 )|(EA100111010142001251 10114001236000125113122rrrr13231100061312110065322101212325461rrrrr. 1323110021616101021212100132312121rrrr. . . . 4 / 15因此, .132312161612121211A同理, 如果是阶可逆矩阵, 我们将与并列放到一起, 形成一个 的AnAEnn2矩阵, 因为, 所以对矩阵作一系列列初等变换, 将其上半部分EA11AEEAAEA化为

10、单位矩阵, 这时下半部分就是. 用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的1A方法. 正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题.4 用初等变换化二次型为标准形对任意二次型一定存在可逆非退化线性替换将其化AXXxxxfn),(21CYX 为标准形, 即为对称矩阵找一个可逆矩阵, 使得为对角矩阵, 而可逆矩ACDACC阵可以写成若干个初等矩阵的乘积, 所以存在初等矩阵有， sPPP,21sPPPC21从而有是一个对角矩阵.DPPAPPPPss2112由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下:首先, 写出二次型的矩阵, 构造矩阵, 然后对矩阵每进行一次行初nn2EAEA等变换后,

11、 就对进行一次同样的列初等变换, 当矩阵化为对角矩阵时, 单位矩阵EAA将化为可逆矩阵, 此时, 最后得到可逆矩阵和非退化线性变换ECDACCC, 在这个变换下二次型化为标准形.CYX DYYf例 4 化二次型32312123213216442),(xxxxxxxxxxxf为标准形, 并写出所用的非退化线性替换. . . . 5 / 15 解 题中二次型的矩阵为, 由上面的初等变换法化二次型为标准形232302221A的步骤可知:=EA100100020312320221131312122222ccrrccrr100100222110104001,10041102321470004000123

12、234141ccrr40011062128000400013344cr从而非退化线性替换为, 原二次型化为.321xxx321400110621yyy232221284yyyf在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键: 对矩阵进行的行初等变换和EA列初等变换必须是一致的.5 用初等变换求解矩阵方程5.1 当,可逆时线性矩阵方程BAX 的解AB我们知道的解为BAX1. 实际上就是计算形如BA1的矩阵乘积, 因为BAX ),(),(11BAEBAA, 所以经过行初等变换可使),(BA化为),(1BAE, 也即对nn2矩阵),(BA作初等行变换, 当A处变成单位矩阵E时, B处得到的矩阵就是BA1

13、. . . . 6 / 15例 5 求解矩阵方程BAX , 其中121011322A，321011324B.解321121011011324322),(BA 3301103023400110111312212rrrrrr, 9122100330110011011323234rrrrr 91221006920106830012132rrrr因此 91226926831BAX.5.2 当,不可逆时线性矩阵方程的解ABBAX 当, ,不可逆时我们将要用到新的初等变换法来解这种矩阵方程.AB定理 5.2.1 如果矩阵方程有解, 且可逆矩阵使, 那BAX QP和000rEPAQ么该矩阵方程的通解为, 其

14、中为的前 行组成的矩阵, 中的元素可1XBPQXPPr1X以任意取值. （证明见参考文献5）以上定理可给出求解矩阵方程的具体方法:BAX （1）把, , ,放到一起, 组成一个矩阵, 然后对其做初等行变换, 使ABE),(EBA得经过行变换后得到矩阵, 其中是上阶三角矩阵, 从而可确定矩阵和矩),(11PBA1AA阵的秩, 判断方程是否有解, 同时取的前面 行作成, 它满足, 且),(BAPrP1APA 为的前 行. BP1Br（2）如果上述方程有解, 则对作初等列变换. 经过列变换后变成其中EA1QD. . . . 7 / 15, 必有.000rEDDPAQ （3）从而由定理 5.2.1 可

15、知，的通解公式为.BAX 1XBPQX例 6 设, ,5163312141421021A141028601181321B求矩阵方程的通解.BAX 解 根据求解矩阵方程的步骤, 首先将放到一起, 组成一个矩阵BAX EBA, 如下:),(EBA,10001410251630100860312100101181414200013211021),(EBA然后对其作一系列初等行变换, 使得为上三角矩阵, 即A.）（行变换行变换PBA,1011000000001110000000001254121000001321102111 很明显, 矩阵和矩阵的秩都是 2, 故该方程有解.A),(BA取=, 有=,

16、 接下来对作初等列变换P00001021P B534211EA1, 10002010010012010000000000100001100001000010000100000000210010211列变换EA. . . . 8 / 15经过列变换后我们可得到.1000201001001201Q从而, 由定理 5.2.1 知, 该方程的通解为1XBPQX6352415342111000201001001201xxxxxx,112010012050304020101X其中是任意的矩阵.1X32矩阵方程的通解公式和解法与上面类似（详见参考文献2或5）, 应用BXA 矩阵的初等变换来求解矩阵方程具有很

17、大优点, 不但通俗易懂, 而且容易掌握.6 用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法求一元多项式最大公因式的方法, 目前最常用的方法是辗转相除法和因式分解法. 下面给出用矩阵与其初等变换来求一元多项式的最大公因式, 而且方便快捷.定理 6.1 设, 令, 则对实施一系列)()(21xPxfxf，1001)()()(21xfxfxA)(xA初等列变换后得, 此时, 且是2211*)(*)(0)()(xuxuxdxB)()()()()(2211xdxuxfxuxf)(xd与的最大公因式.)(1xf)(2xf证明 若不全为零, 则必有一个次数相对较低的多项式, 不妨设为)()(21xfxf、, 对进

18、行初等列变换, 第一列乘以一个适当的多项式加到第二列上, 消去)(1xf)(xA. . . . 9 / 15的最高项, 由于的次数有限, 重复上述过程, 必然出现矩阵中第一)(2xf)()(21xfxf、行只有一个非零元, 而其它均为零的情形, 即. 2211*)(*)(0)()(xuxuxdxB以上对所实施的变换, 即存在初等矩阵, 使得)(xA)()()()()(4321xpxpxpxpxP.2211432121*)(*)(0)()()()()(1001)()(xuxuxdxpxpxpxpxfxf因而, , , )()()()()(3211xdxpxfxpxf)()(11xuxp)()(2

19、3xuxp即.)()()()()(2211xdxuxfxuxf设矩阵的逆矩阵为, 显然也是初等矩阵, 由于)(xP)()()()()(43211xqxqxqxqxP)(1xP. 因而, 即)()()(xPxAxB)()()(1xAxPxB,1001)()()()()()(*)(*)(0)(2143212211xfxfxqxqxqxqxuxuxd于是, 从而是与的公因式, 从而可)()()(11xfxqxd)()()(22xfxqxd)(xd)(1xf)(2xf知: 是与的最大公因式.)(xd)(1xf)(2xf例 7 求, , 其中)(xf)(xg的最大公因式, .242)(234xxxxxf

20、22)(234xxxxxg解1001)()()(xgxfxA100122242234234xxxxxxxx. . . . 10 / 1521112223121221xxxxxccxcccc因为, 所以, 且同时还满足)2( | )2(32xxx)(),(22xgxfx.)()2()() 1(22xgxxfxx上述方法可灵活运用,不一定必须用次数最低的多项式去消其它多项式. 也可以用次数较高的多项式去消次数更高的多项式, 以达到逐渐消去各多项式最高项, 使第一行只剩下一个非零元素的目的. 以上方法只讨论了列的情形, 行的情形与列一样, 此时, 行初等变换的结果是第一列只剩下一个非零元素, 该元素即10)(01)()(21xfxfxA为多项式的最大公因式（详见参考文献2）.对于求两个多项式的最大公因式, 辗转相除法是一种比较好的方法, 但对于求多个多项式的最大公因式, 辗转相除法在理论上可行, 在实际操作中