第1节 n维向量及其线性相关性ppt课件

1、第四章第四章 向量及向量空间向量及向量空间 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性 向量空间向量空间 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 向量组的秩向量组的秩1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义4.1.14.1.1：n个有次序的数个有次序的数a1 1, ,a2 2,an所组成的数组称为所组成的数组称为n 维向量维向量，这，这n个数称为该向量的个数称为该向量的n个个分量分量，第，第i个数个数ai称为第称为第i 个分量。个分量。p 分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量。p 分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量。p n维向量写成一行的称为维向

2、量写成一行的称为行向量行向量( (或或行矩阵行矩阵) )。p n维向量写成一列的称为维向量写成一列的称为列向量列向量( (或或列矩阵列矩阵) )。备注：备注：本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）。本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）。行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。列向量。本书中，列向量用黑色小写字母本书中，列向量用黑色小写字母a, ,b, , ,等表示，行向量等表示，行向量则用则用aT T, ,bT T, ,T T, ,T T表示。表

3、示。ni ik 定义定义4.2.2：设设 ， ( (i=1, 2, , m) )，则向量组，则向量组k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组称为向量组a1 , a2 , , am在实数域上的一个在实数域上的一个线性组合线性组合，k1, k2, , km称为该称为该线性组合的系数线性组合的系数。 若记若记 = =k1a1 + k2a2 + + kmam，则称则称 可由向量组可由向量组a1, a2 , , am线性表示。线性表示。 向量向量 可由向量组可由向量组a1, a2 , , am线性表示，也即方程组线性表示，也即方程组 x1a1 + x2a2 + + xmam = 有解。有解。

4、向量加法和数乘运算称为向量加法和数乘运算称为向量的线性运算向量的线性运算。定义定义4.1.34.1.3 若对若对m个个n维向量维向量 ，有，有m个不全为零的个不全为零的实数实数 ，使，使,1212m ,1 12 2mkkk1 11 12 22 20 0mmkkk 成立，则称成立，则称 线性相关线性相关；否则，则称其；否则，则称其线性无关线性无关。,1212m 备注：备注：p 给定向量组不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一；给定向量组不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一；p 向量组向量组a1, a2, , am线性相关，通常是指的情形；线性相关，通常是指的情形；p 若向量组只包含一个向量

5、：当若向量组只包含一个向量：当a是是零向量零向量时，线性相关；时，线性相关；当当a 不是不是零向量零向量时，线性无关；时，线性无关；p 向量组向量组a1, a2, , am(m2)线性相关，也就是向量组中，至线性相关，也就是向量组中，至少有一个向量能由其余少有一个向量能由其余m1 1个向量线性表示个向量线性表示,1212m 定理定理4.1.14.1.1 若向量组若向量组 线性相关的充分必要线性相关的充分必要条件是条件是 中至少有一个向量可由其余中至少有一个向量可由其余m-1-1个向量线性个向量线性表示表示. .,()12122 2mm 等价命题等价命题 向量组向量组 线性无关的充要条件是线性无

6、关的充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。,()12122 2mm 向量组向量组A：a1, a2, , am线性相关线性相关m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax = 0有非零解有非零解R(A) m向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵

7、矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的判定向量组线性无关性的判定（重点、难点）（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关线性无关如果如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量（零向量），则必有），则必有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 只只有零解有零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数

8、 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个

9、向量能由其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关线性无关如果如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），则必有（零向量），则必有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 只只有零解有零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示例例1 1 设设n维向量维向

10、量 ，即第个，即第个分量为分量为1 1，其余分量为，其余分量为0 0，则，则 是线是线性无关的性无关的. .即即则必须则必须 故故 线性无关线性无关. .( , , , , )00 1 0000 1 00Ti ,1 12 2n 证证 设存在设存在n个数个数 使使,1 12 2nk kk1 11 12 22 20 0nnkkk (,)12120 0Tnk kk 1 12 20 0nkkk ,1212n 注：注： 中任一个向量中任一个向量 都可由都可由 线性表示，即线性表示，即 n(,)1 12 2Tna aa ,1212n 1 11 12 22 2nnaaa 例例2 2如果向量组如果向量组 中有

11、一部分向量线中有一部分向量线性相关，则这个向量组也线性相关性相关，则这个向量组也线性相关. .证证 不妨设不妨设 线性相关，于是有线性相关，于是有不全为零的数不全为零的数 使使等价命题：等价命题：如果如果 线性无关，则任一线性无关，则任一部分都线性无关部分都线性无关. .,1 12 2m ,()1 12 2jjm ,1 12 2jk kk1 11 12 22 20 0jjkkk 从而有不全为零的数从而有不全为零的数 使使故故 也线性相关也线性相关. ., ,1 12 20 00 0jk kk1 11 12 22 21 10 00 00 0jjjmkkk ,1212m ,1 12 2m 定理定理

12、4.2.24.2.2 设设n维向量组维向量组 ，其中，其中则向量组则向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组组 （4.14.1）有非零解，有非零解，其中其中 ， . .,1212r (,) ,(,) ,(,)1 11 11 12 21 11 12 21 12 22 22 22 21 12 2TTTnnrrrnraaaaaaaaa ,1 12 2r 0 0Ax (,)1 12 2rA (,)1 12 2Trxxxx 等价命题：等价命题：向量组向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组（线性方程组（4.14.1）只有零解）只

13、有零解. .,1212r 定理定理3 3 若向量组若向量组 线性无关，而线性无关，而线性相关，则线性相关，则 可由可由 线性表示，且表示法唯一线性表示，且表示法唯一. . ,1212r ,1 12 2r ,1 12 2r 例例3 3 设设问：（问：（1 1） 是否线性相关？（是否线性相关？（2 2） 是否由是否由 线线性表示？如能表示求其表示式性表示？如能表示求其表示式. .1234(1, 1,1),(1,2,0),(1,0,3),(2, 3,7). 123, 123, 4 推论推论 如果如果 中的中的n个向量个向量 线性无关，则线性无关，则 中的任中的任一向量一向量 可由可由 线性表示，且表

14、示法唯一线性表示，且表示法唯一. .n,1212n ,1 12 2n n解解 根据定理根据定理4.1.24.1.2，作矩阵，作矩阵123111(,)120103TTTA 由由| |A| |=7，得，得A可逆，从而方程组可逆，从而方程组AX=0只有零解，故只有零解，故线性无关。线性无关。123, 解解 根据推论，根据推论， 可由可由 线性表示，且表示法唯一，设线性表示，且表示法唯一，设123, 4 1122334xxx 即即123(1, 1,1)(1,2,0)(1,0,3)(2, 3,7)xxx 于是得于是得1112322331112(,)1 2031037TTTxxxxxx 即即 ，解此方程组

15、得唯一解：，解此方程组得唯一解： ，故故4TAx 1231,1,2xxx 41232 例例4 4设向量组设向量组 线性无关，又线性无关，又 ， .证明线性相关证明线性相关. .证证 设设 即即解得此方程组有非零解（解得此方程组有非零解（-1-1，-1-1，2 2）. .因此，有因此，有不全为零的使成立，故不全为零的使成立，故 线性相关线性相关. .由于由于 线性无关，上式系数必须全为零，于线性无关，上式系数必须全为零，于是得是得123, 112322123131122330 xxx1123212313(2)()()0 xxx1231122133()()(2)0 xxxxxxx123, 1231213