弦振动分析王文璞

1、辽宁工程技术大学力学与工程学院振动力学综合训练（三）题目乐器弦振动问题分析班级 工力12级2班姓名李大为刘怡李凤飞王文璞王先明指导教师 张智慧成 绩 辽宁工程技术大学力学与工程学院制目录第一章 综合训练要求 错 误!未定义书签。第二章 模型的建立及振动方程的求解 错 误!未定义书签。第三章 影响弦振动物理量分析 63.1.弦的长度对其振动的影响 6.3.2.弦的张力对其振动的影响 7.3.3 弦的粗细对其振动的影响 9.第四章 结论与分析 11参考文献 12第一章综合训练要求进行以下规定内容的建模、计算与分析工作，具体思考如下问题：1. 为什么吉它上的六根弦在弦长一致的情况下所发出的音调（声音

2、的频率） 不同？2. 在演奏时依靠什么来改变弦的音调？3. 为什么仅通过调整弦的张力就能进行校音？教学过程：教师布置任务，学生课外查资料、计算、分析，形成材料，集中 讨论、答辩、教师总结。成果形式：撰写计算分析报告并进行分组汇报。吉他弦图片第二章 模型的建立与振动方程的求解1.横波运动分析由于弦乐器是靠弦的振动发声的，而弦振动产生的声波属于横波，因而，要 了解弦振动规律应从横波模型的运动分析入手。设弦上有一向右传播的横波，如图1所示.现具体分析弦上各点的运动规律。当波沿工轴方向前进时，弦上各质 点沿y轴上下振动，其位移可表示为y x, t Asin kx wt 0图1横波及其质点的运动示意图其

3、中A为振动的振幅,k为波矢量，3为圆频率，巾为初位相。弦上各质点振动的 速度为v dy A cos kx t 0dt式表明，各质点上下振动的速度在随位置、时间不断变化。图 1标出了部分质 点振动的速度，其中A C E处质点振动的速度最大（3 A）,而B、D处质点振动 速度最小（0）.显然，弦上各质点的振动方向并非波的传播方向。为得到波动沿弦传播时波速的表达式，现取波峰处一小段长度的弦作研究对象分 析其受力情况，如图2所示.相对于弦内张力TI,弦的重力可以忽略.此时，两个张 力合力的方向竖直向下成为使弦回到平衡位置的回复力F,.由牛顿第二定律得Fy mayx ay图2波峰附近绳子的受力分析式中产

4、为弦的线密度(即单位长度弦的质量),这段弦的加速度a,可由下式得到乙fdVy2ayA si n kx t 0dt2由于波矢量k,波速v f ,所以kv故这段弦在波峰D处对应的加速度为ay2Ak2v2A进而由牛顿第二定律可得弦的回复力为2 2Fy x ay k v A x现从受力角度讨论弦的回复力.因两张力竖直向下的分力合成弦的回复力，故Fv 2T； sin由于x ,角度 应非常小.按照小角近似条件应有sin tan，代换(7)得,由于Fy2TtSin2Tt tan可表示弦在x 0处的斜率,而这段弦的振动方程为y Acoskx ,故按斜率公式可得tankAsin由于口很小,按照小角近似理论,si

5、n ，于是式变为tankAk2x字，代入回复力的表达式即得Fy2T；tank2A x现比较、两式可得Fyk2v2A xk2AT； x于是弦上传播的横波的波速表达式为v2.弦模型中的驻波以上讨论了正弦波的振动与传播规律对于实际的弦乐器，因弦的两端固定，当弦 被拨动时振动传播到弦两端会产生反射，而反射波和入射波在一定条件下叠加会 形成驻波。驻波振动的位移，由两个振幅相等、圆频率相同的反向传播正弦波叠 加,则D x,t a sin kx ta sin kx t2asin kx cos t考虑到驻波特点一弦的两端（即x 0,xL）弦振动位移为零，因而上式必须满足2 L2asin kL 0，或 kLn

6、， (n=1,2,3,.为波腹数）。所以.n 1,2,3. n由于频率f与波长又以及波速v满足关系式f -,所以有fnn丄2L对于n 1, f1其振动频率很低，叫做基频或基音，此时对应1 2L当n 2时，频率表达式形如 式,对应频率较高，叫做泛音,其对应的频率别为基频的n倍.基音与泛音统称谐 音。上述结果表明，对于弦长、张力、线密度、材料性质一定的弦，两端固定时其 自由振动频率不止一个，而是n个,并且仅与弦的固有力学参量有关，所以该频率 也称为固有频率.每一个n对应于一种驻波，图3表示弦的三个驻波模式。图3 一维横驻波中的基频与泛频第三章影响弦振动物理量分析3.1.弦的长度对其振动的影响根据以

7、上建立的力学振动模型，令弦的张力To=4ON,令弦为钢丝这一材料， 故密度1850Kg/m3，分别取弦的直径为：d=0.30inch,弦的长度L=0.5m、0.6m、0.7m、0.8m、0.9m、1.0m，针对不同长度的弦振动，利用 MATLAB求解，编写 程序如下：format Io ngL=0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0;% L 表示弦长，单位 mTo=input('To=');% To表示弦张力，单位 Np=input('p=');% p表示钢丝的密度，单位Kg/m3d1=input('d仁')；% d1表示弦的直径，单位i

8、nchd=d1*2.54/100;for i=1:6w1(i)=3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);w2(i)=2*3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);w3(i)=3*3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);endplot(L,w1,'o-')grid onxlabel('L 弦的长度 /m'),ylabel('第一阶固有频率 /(rad/s)')title('不同弦长度时的第一阶固有频率')plot(L,w2,'o-')g

9、rid onxlabel('L 弦的长度 /m'),ylabel('第二阶固有频率 /(rad/s)')title('不同弦长度时的第二阶固有频率')plot(L,w3,'o-')grid onxlabel('L弦的长度/m'),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦长度时的第三阶固有频率')输入以上程序得到不同长度时共振频率如下图所示:0 5506065 QT D75 0B 065 0J 0.«l弦旧样“加不伺弦卜簷眄前鞘二NF1脊特孚D

10、粘 07 OTfi OB OK OJ1L奩的爭跖卞同盘卜 »i1flWIREft-ia5 D5t. OB 0 0507 D 旳 OB OBS 0.1 O.KL1&的 hltfm1EO冋14d1a1cosr 【帀；得既IrgEx川!t图3-1弦不同长度时共振频率32弦的张力对其振动的影响根据以上建立的力学振动模型，令弦为钢丝这一材料，故密度1850Kg/m3，分别取弦的直径为：d=0.30inch,弦的长度 L=0.6m，弦的张力To=10N、20N、30N、40N、50N、60N，针对不同张力的弦振动，利用 MATLAB 求解，编写程序如下：format longL=inpu

11、t('L=');% L表示弦长，单位md仁input('d1=');% d1表示弦的直径，单位inchd=d1*2.54/100;To=10,20,30,40,50,60;% To 表示弦张力，单位 Np=input('p=');% p表示钢丝的密度，单位Kg/m3for i=1:6w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d);w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d);w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d);endplot

12、(To,w1,'o-')grid onxlabel('To 弦的张力 /N'),ylabel('第一阶固有频率 /(rad/s)')title('不同弦张力时的第一阶固有频率')plot(To,w2,'o-')grid onxlabel('To 弦的张力 /N'),ylabel('第二阶固有频率 /(rad/s)')title('不同弦张力时的第二阶固有频率')plot(To,w3,'o-')grid onxlabel('To弦的张力/N

13、9;),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦张力时的第三阶固有频率')输入以上程序得到不同张力时共振频率如下图所示：TP起怖縮一h国吉离:A M 4 -艺？14 E.*9i bOwllDlwfoffie T境*rT.t?也盂科ft 2D ?5 a £ H 453) EE fflbIR的*为皿妙业-lmlio凶 ElcDeu£3 HIW-JUT4图3-2弦不同张力时共振频率3.3弦的粗细对其振动的影响根据以上建立的力学振动模型，令弦长L=0.6m，弦的张力F=40N,令弦为钢丝这一材料，故密度1850Kg/m3

14、，分别取弦的直径为：d=0.10inch、0.14inch、 0.22 in ch、0.30i nch、0.39 in ch、0.47i nch,针对不同粗细的弦振动， 利用 MATLABformat Io ngL=in put('L=');To=i nput('To二');求解，编写程序如下：% L表示弦长，单位m% To表示弦张力，单位Np=input('p=');% p表示钢丝的密度，单位Kg/m3d1=0.10,0.14,0.22,0.30,0.39,0.47;% d1 表示弦的直径，单位 inch d=d1*2.54/100;for i

15、=1:6 w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i);w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i);w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i);end plot(d1,w1,'o-')grid onxlabel('d1 弦的直径 /(inch)'),ylabel('第一阶固有频率 /(rad/s)')title('不同弦直径时的第一阶固有频率')plot(d1,w2,'o-')grid

16、 onxlabel('d1 弦的直径 /(inch)'),ylabel('第二阶固有频率 /(rad/s)')title('不同弦直径时的第二阶固有频率')plot(d1,w3,'o-') grid onxlabel('d1 弦的直径 /(inch)'),ylabel('第三阶固有频率 /(rad/s)')title('不同弦直径时的第三阶固有频率')输入以上程序得到不同粗细时共振频率如下图所示：1.1502125IJS UBfidlS ffO旦琶丽.时T同芒Jii町朗划一“国青苛竽

17、TASS lirfriffEfr 511! « «1A1sol«llJOlzlKIffidRPIII£00.2003035 Od OiS 06di更的1回樺阳nrhBo3D问 5:-T5u-m-HI»图3-3弦不同粗细时共振频率第四章结论与分析通过对弦乐器振动规律的理论推导和分析，可得到如下结论：1. 弦上各质点的振动方向不等于波动的传播方向。2. 增大弦振动的振幅只能增大弦上各质点的振动速度，并不改变波动的传播速度。也就是说，弦振动振幅的改变，改变不了乐曲的音调。3. 决定弦振动频率的物理参量为 L、To、卩,因而弦乐曲的音调就由这三个参量 决定。亦即弦长越短（L小），弦绷得越紧（To大），弦的线密度越小（卩小）,音调也 就越高（f高）o4. 在其他条件（如弦长,松紧程度）相同的情况下，使用不同性质、不同粗细的琴弦 材料（即产不同）,乐器音调也有差别。实际中的弦乐器，这些物理参数都能根据需 要改变,特别是弦的紧张程度最容易改变。理论分析与实验证明：弦乐器