不等式知识点划分

1、不等式知识点划分付高生一、不等式的地位不等式是中学数学的主干内容之一, 它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用。不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。在近年的高考中,有关不等式的试题都占有较大的比重(如2008年江西省高考理科数学试卷，考查知识性的试题就有20分，考查工具性的试题有20多分),试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,还

2、考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力等数学素养。 二、基本内容和考试要求本章基本内容包括不等式的基本性质、不等式的解法、不等式的证明和含有绝对值的不等式等。要求：（1）理解不等式的性质及其证明；（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；（3）掌握用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；（4）掌握二次不等式、简单的绝对值不等式和简单的分式不等式的解法；（5）理解不等式 |a|-|b|a+b|a|+|b|。除此以外，对于不等式的解法，还要掌握简单的高次不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法。这似乎超出了高考的范围，事

3、实上，它们是通过等价变形将原不等式的求解归结为一元一次或一元二次不等式（组）来求解的。对于不等式的证明，还要掌握例如换元法（特别是三角换元法）、反证法、构造法和放缩法等方法。三、知识点解析: （一）不等关系： 课程标准要求：通过具体情境，感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。重点、难点：理解不等式的性质及其证明，并进行简单应用。掌握数或式的大小比值的基本方法作差比较法不等式的性质：1. 三个等价关系（两实数大小的比较）（1）（2）（3）2. 不等式基本性质（1）、对称性：如果，那么；如果，那么。（2）、传递性：如果， 那么。（3）、加法单调性：如果，那么。推

4、论1：如果且，那么。（相加法则）推论：如果且，那么。（相减法则）（4）、乘法单调性：如果且, 那么；如果且那么。推论1：如果且，那么。（相乘法则）如果且，那么。（相除法则）推论2：如果, 那么。（5）、性质5：如果，那么。（6）的性质 解题基本方法：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质成立的条件。另外需要特别注意： 若ab>0，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函

5、数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。 中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 经典题：例1 已知，则下面四个结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 解：例2 判断下列命题是否正确，并说明理由。（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则（5）若，则（6）若，则（7）若，则（8），则（9）若，且，则、均为正（10）（，）解：（1），（2）×时，不成立（3）由已知（4）×且时不成立（5）×应为（6）×，时不成立（7） 单调增加（8）×为正数时成立（9）×、可均为负（10）左 左左 例3

6、已知，求、的范围。解： 设 例4 已知：，若，试由大到小排列P、S。解：显然，P （二）不等式的解法1、一元一次不等式：课程标准要求：掌握一元一次不等式的解法。重点、难点：一元一次不等式的解法，注意a的符号。解题基本方法：（1），解为（2），解为（3）经典题：例1 已知不等式与不等式同解，解不等式。解：， 的解为 中 解 由题意 代入所求： 2、一元二次不等式：在高考中的地位：许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问题，如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围，以及二次方程根的分布等。因此解不等式在数学中有着极其重要的地位，是高考的必考内容之一（不一定独立成题，往往与其它问题综合在一起）

7、。课程标准要求：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。    通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。    会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。重点、难点：一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。解题基本方法：和型的不等式的解法。判别式二次函数的图象一元二次方程的根有相异二实根有二相等实根无实根一元二次不等式的解集（设）R（设）一元二次不等式的求 解流程：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出

8、对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.经典题：【例1】 解不等式x23x10>0解：不等式x23x10>0的解集为例2不等式ax2+bx+c0的解集为x|x其中0，求不等式cx2+bx+a0的解集。解由已知条件得a0，原不等式可化为，为方程的两根，a0得c0，不等式cx2+bx+a0可化为，不等式即它的解集.注意：根据解集的形式可以确定a0及c0。3、分式、高次不等式：课程标准要求：掌握简单分式、高次不等式的解法。重点、难点：简单分式、高次不等式划归为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。解题基本方法：类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等

9、式（组）来解，这体现了转化与化归的数学思想。.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解，可用数轴标根法或列表法。解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易.利用不等式的性质可以把分式不等式 高次不等式因式分解，序轴标根曲线在轴上方的部分的对应的点的横坐标是不等式的解。简单的高次不等式、分式不等式的求解问题还可采用“数轴标根法”.数轴标根法操作过程： (1)把不等式变形为一边是一次因式的积,另一边是0的形式; (2)各因式中x的系数全部变为1,约去偶次因式; (3)把各个根从小到大依次排好标出,从右上方向左下方“穿针引线”;(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的

10、根)是否在解集内. 经典题： 【例1】 解不等式1.思路分析一：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.解法一：原不等式变为10，即01x1或2x3.原不等式的解集是x1x1或2x3.思路分析二：经移项通分后，右边变为零，将左边化为几个一次因式的积（商）的形式，可用数轴标根法求解。解法二：原不等式变为10，0由数轴标根法画示意图如右图，可得不等式的解集为：x|1x1或2x3.注意：利用数轴标根法解高次不等式或分式不等式时，如果出现重因式，若n是奇数，则该因式可视为x-a来解，若n为偶数，则先将因

11、式去掉，最后讨论x=a是否为原不等式的解。【例2】不等式0的解集是_.解析：数轴标根法.答案：(-1,1)2,34、含参数一元二次不等式解法：在高考中的地位：参数的不等式恒成立问题是高考热点题型之一.此类问题往往涉及面广，题目难度大，综合性强，解决此类问题所需的数学思想、方法较多,是考查考生综合能力的一类重要问题课程标准要求：初步掌握含参不等式的解法。培养学生对数学知识的化归能力和运算能力。重点：会用分类讨论的方法解含参不等式。难点：确定参数的分类标准。解题基本方法：解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有：

12、1、讨论a 与0的大小；2、讨论与0的大小；3、讨论两根的大小；经典题：例1解关于的不等式：解： ，此时两根为，.（1）当时，解集为()()；（2）当时，解集为()()；（3）当时，解集为；（4）当时，解集为()()；（5）当时，解集为()().例2解关于的不等式：解：若，原不等式若，原不等式或若，原不等式 其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当时，式的解集为；（2）当时，式；（3）当时，式.综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.例3解关于的不等式：解： （1）时，（2）时，则或，此时两根为，.当时，；当时，；当时，；当时，.综上，可知当时，解集

13、为(,)； 当时，解集为； 当时，解集为()(); 当时，解集为()().上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解，其共同点是二次项系数含参数，故需对二次项系数的符号进行讨论.上面三个例子，尽管分别代表了两种不同的类型，但它们对参数都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个很好的规律：原来参数的分类是根据一元二次不等式中二次项系数等于零和判别式时所得到的的值为数轴的分点进行分类，5、指数不等式与对数不等式课程标准要求：能利用指数、对数函数的单调性解不等式。培养学生对数学知识的化归能力和运算能力。重点

14、、难点：会用指数、对数函数的单调性解指数、对数不等式。解题基本方法：化为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性。 常见题型及等价转化： (1) (a>0,a1)。当0<a<1时，f(x)<g(x)；当a>1时，f(x)>g(x)。 (2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0。令ax=t(t>0)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合。 (3)logaf(x)>logag(x) (a>0, a1)。 当0<a<1时， 当a>1时， (4) 。 令logaf(x)=

15、t (tR)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合。 经典题： 例1解不等式。 解：，所以x2-2x-3<3-3x，所以x2+x-6<0, 所以-3<x<2。 所以原不等式的解集为（-3，2）。 例2解不等式。 解：原不等式可化为，设2x=t(t>0), 则t2-12t-640。 所以-4t16，因为t>0。所以0<t16, 故0<2x16, 从而x4。 所以原不等式的解集是（-，4。 例3解不等式 解：原不等式可化为： 所以所以所以1<x<5。 所以原不等式的解集为（1，5）。 注意：(1)解对数不等式

16、要考虑原不等式中的定义域；(2)如出现，往往将此项移项，这样可以避开分式运算；(3)如出现以2和4为底数的对数，最好统一成4为底的对数，这样可以避开无理式运算。 6、含绝对值的不等式在高考中的地位：绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。课程标准要求：1使学生掌握axbc与 axbc(c0)型的不等式的解法2使学生能够利用数形结合，分类讨论，方程与化归的思想解一些简单的绝对值不等式 重点：掌握axbc与 axbc(c0)型的不等式的解法难点：能够利用数形结合，分类讨论，方程与化归的思想解一些（两个绝对值）简单的绝

17、对值不等式。基本定理：|a|-|b|a±b|a|+|b| 当且仅当ab0时，等号成立。解题基本方法： 讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式。几何法：绝对值在几何上表示的是距离，所以有的时候可以用几何图形（如数轴）去解释含有绝对值的不等式。常见题型及等价转化：(1)一般地，不等式xa(a0)的解集是：xaxa(2)不等式xa(a0)的解集是xxa或xa（3)其推论为：axbc(c0)的解为：caxbcaxbc(c0)的解为axbc或axbc 经典题：例1解不等式12x15思路一：这是一个双连不等式，利用绝对值在数轴上的意义可以得出12x15或

18、52x11，从而求出不等式的解解：原不等式等价于12x15或52x11，即：22x6或42x0 解得：1x3或2x0故原不等式的解集为x2x0或1x3思路二：将原不等式转化为进而求出与不等式解集的交集解：原不等式等价于即或不等式组的解为1x3 不等式组的解为2x0故原不等式的解集为x2x0或1x3误区点评：在进行原不等式等价转化时，容易发生以下失误在第一种解法中，将不等式转化为12x15或12x15，在第二种解法中，将不等式转化为含有两个或两个以上的绝对值号的不等式的解法例2解不等式x3x38思路一：这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，应进行分类讨论解：

19、令x30，x30，得x3或3，解得：x4，解得：，解得：x4取的并集得原不等式的解为x4或x4点评：解这类绝对值符号里是一次式的不等式如：xaxbc或xaxbc，xaxb或xaxb常用“零点分段法”其一般步骤为：(1)分别求出每个绝对值为零的根，称之为零点；(2)将各零点在数轴上标出来，它们将数轴分成若干段；(3)依次对各段上的x进行讨论，求出相应所得不等式的解集；(4)取这些不等式解集的并集即得原不等式的解集 思路二：利用函数的图象解题解：分别画出y1x3x3与y28的图象 由图象观察可知：要使y1y2，只须x4或x4原不等式的解集为xx4或x4思路三：利用绝对值的几何意义解题解：x3x38

20、图113表示数轴上与A(3)，B(3)两点距离之和大于8的点，而AB6，如图112因此，要找与A、B距离之和为8的点，只须由点B右移1个单位，或点A左移一个单位，如图113由图象可得：原不等式的解集为xx4或x4点评：对于形如xaxbc，xaxbc，或xaxb的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左右两边的图象去解不等式，更为直观，简捷7、无理不等式课程标准要求：初步掌握简单无理不等式的解法。培养学生对数学知识的化归能力和运算能力。重点：会用转化、划归的方法解简单无理不等式。难点： 无理不等式划归为有理不等式解题基本方法：解含无理不等式的基本途径是转化、划归。(1)> (2)>g(

21、x) 或 或 (3) <g(x) 经典题：例解不等式x-2。 解法一： 即 ，所以x5。所以原不等式的解集为5，+）。 解法二：设=t (t0)。 则x=。所以原不等式化为t-2,所以t2-2t-30, 即t-1或t3。因为 t0, 所以t3, 所以x5。 解法3：令y1=, y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围。在同一坐标系中分别作出两个函数的图象（图4）。设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-2>0。解之，得x0=5或x0=1（舍）。所以原不等式解集为5，+）。 评述：解法1是通法，要求必须熟练掌握，解法2是换元法，由于不等式两边次数恰是倍

22、数关系，故换元后变为二次不等式，但最终还要解x的方程。解法3是数形结合法，用图象解题，一般比较简捷、形象、直观，但要注意作图的正确和表达的清晰和完整。 （三）不等式的证明方法作用地位： 证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础，特别是在微积分中，不等式是建立极限论的理论基础。高考中，主要涉及基本不等式，以及运用不等式性质所能完成的简单的不等式的证明。用数学归纳法证明的与自然数有关的不等式命题难度较大。 课程标准要求：通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法重点、难点：不等式的基本证明方法：比较法、综合法、分析法解题基本方法：（1）比较

23、法：作差比较： 作差比较的步骤： 作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 （3）分析法：执果索因。基本步骤：要证只需证，只需证 （4）反证法：正难则反。 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有： 添加或舍去一些项，将分子或分母放大（或缩小） 利用基本不等式，（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数

24、换元。（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 典型题：1、比较法：（做差、做商）这是最常用的证明不等式的方法。【例1】：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：。证明：都是正数，并且<，> 0，> 0 即：。【例2】：设a, b Î R+，求证：。证明：作商得，当a = b时，当a > b > 0时，当b > a > 0时， ，。2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式。【例3】：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a

25、2) + c(a2 + b2) > 6abc。证明：b2 + c2 2bc , a > 0 , a(b2 + c2) 2abc同理：b(c2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abc a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc当且仅当b=c，c=a，a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc3、分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。【例4】：设x > 0

26、，y > 0，证明不等式：。证明：所证不等式即：即：即：只需证：成立， 4、换元法【例5】：求证：。证明： 令 ，即： 5、放缩法这一类型比较灵活，记住一些放缩规则很重要。比如分子不变，分母变大（小），分数变小（大）；相反分母不变，分子变小（大），分数变小（大）。【例6】：，求证证明：6、反证法【例7】：设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于。证明：设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >，则三式相乘：ab < (1 - a)b(1 - b)c(1

27、- c)a < 又0 < a, b, c < 1 ，同理：, ，以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 与矛盾，原式成立。7、构造法（构造函数、构造方程、构造图形）【例8】：求证：证明：设 则，用定义法可证：f (t)在上单调递增，令：3t1<t2 则，。（四）二元一次不等式组与简单的线性规划问题地位与作用：线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。再理解。通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。每年高考必有一题。

28、课程标准要求：会从实际情境中抽象出二元一次不等式组了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决重难点：会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决解题基本方法：解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。典型题：例1下列各点中，与点（1，2）位于直线x+y1=0的同一侧的是 

29、 （c）    A（0，0）            B（1，1）       C（1，3）              D（2，3）例2下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（xy+4）0表示的平面区域内的是  （B）A（0，0）    &#

30、160;       B（2，0）         C（1，0）           D（2，3）例3用不等式组表示以点（0，0）、（2，0）、（0，2）为顶点的三角形内部，该不等式组为_. . 例4甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别是300t和750t.A、B、C三地需要该种产品的数量分别为200t、450t、400t，甲运往A、B、C三地每1t产品的运费分别为6元

31、、3元、5元，乙地运往A、B、C三地每1t产品的运费分别为5元、9元、6元，为使运费最低，调运方案是_，最低运费是_.甲地运往B地300t，乙地运往A地200t，运往B地150t，运往C地400t，5650元;例5画出不等式组表示的平面区域.思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：运用“直线定界，特殊点定域”的方法，先画出直线xy+5=0（画成实线），如下图，取原点（0，0），代入xy+5.00+5=50，原点在xy表示的平面区域内，即xy+50表示直线xy+5=0上及右下方的点的集合，同理可得x+y0表示直线x+y=

32、0上及右上方的点的集合，x3表示直线x=3上及左方的点的集合.  例6一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润?思路分析：这是一个求最大利润问题，首先根据条件设种两种作物分别为x、y亩，根据条件列出不等式组和目标函数画图，即可得到最大利润.    解：如下图所示，设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得而利润P=（3

33、×400240）x+（5×10080）y=960x+420y（目标函数），    可联立得交点B（1.5，0.5）.    故当x=1.5，y=0.5时，    Pmax=960×1.5+420×0.5=1650，    即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大. （五）基本不等式地位与作用：基本不等式不仅是采用综合法时作为出发点的重要定理，也是求有关最值问题的重要工具，在应用的时候不仅要注意成立的条件（正数），还要

34、注意对给出式子的变形。课程标准：了解基本不等式的证明过程会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题【重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【难点】基本不等式等号成立条件解题基本方法：1、在不等式的应用中，经常使用的不等式公式有；若，那么，当且仅当时等号成立。若，那么，当且仅当时等号成立。若，那么，当且仅当时等号成立。推广：如果，那么（当且仅当时取“=”）2、注意：应用公式的条件；取等号的条件；广义地理解公式中的字母、；公式的逆用、变用：。定和定积原理：若个正数的和为定值，则当且仅当这各正数相等时积取到最大值； 若个正数的积为定值，则当且仅当这个正数相等时和取到最小

35、值。3、应用不等式知识解题，关键是建立不等量关系，其途径有： 利用题设中的不等量大小；利用不等式基本性质；利用所涉及对象的概念内涵外延所赋予的不等量大小；利用变量的有界性；利用几何意义；利用判别式；利用不等式基本公式等等经典例题：例1. （1）求的最小值。（2）求的最小值。（3）若0<x<, 求x(2-5x)的最大值。 解：（1）2=8，当且仅当=即x=2时原式有最小值8。（2）=（+1）+-12-1=4-1；当且仅当+1=即x=9-4时原式有最小值4-1。（3）0<x<,2-5x>0， 当且仅当5x=2-5x，即x=时，原式有最大值。例2. （1）已知x>

36、0,求y=的最大值； (2) 求的取值范围。(1)从而有。（2）显然，所以，或因此，的值域为例3. （1）（06陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）B、8、6C、4D、2（2）（06天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨20（3）已知，则的最小值 解：=3(4)（06浙江）“ab0”是“ab”的 （ ） AA、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不允分也不必要条件（5）（07北京）如果正数满足，那么（ ） A、，且等号成立时的取值唯一、，且等号成

37、立时的取值唯一、，且等号成立时的取值不唯一、，且等号成立时的取值不唯一（6）已知实数x、y满足x2+y2=1，则(1xy)(1+xy) ( ) BA、有最小值，也有最大值1B、有最小值，也有最大值1C、有最小值，但无最大值D、有最大值1，但无最小值例4. 若正实数x、y满足的最小值是多少？分析：本题主要考查最值的求法，函数与方程的思想，均值不等式的应用，化归转化的思想，直线方程与数形结合的思想，以及灵活分析解决数学问题的能力.解法一：时取等号.解法二： 当且仅当时取等号.解法三：设：须（解法四 成等差数列.设此题虽然不难，但考查了学生的审题能力，及在解题过程中正确利用各知识点，可以任学生发挥，

38、既训练了学生的发散思维，又可以提高学生综合利用各部分知识的能力.例5. (2004年上海)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?解:由题意得 xy+x2=8,y=(0<x<4). 于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2()=(+)x+4. 当(+)x=,即x=84时等号成立. 此时, x2.343,y=22.828.故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.（六）不等式恒成立解题基本方法：不等式恒成立题型，通常使用分离常数法，我们经常见到有关不等式恒成立的问题，如“f (x,k)0或f(x,k) 0(其中xA )恒成立，求k的取值范围。”这类问题通常可以分离变量为h(k)g(x)或h(k) g(x), 再利用求函数最值的方法解决。典型题：例1 （2006江西）若不等式x2ax1³0对一切xÎ成立，则a的最小值为（ ）。A0 B. 2 C.- D.-3解：因为xÎ，且x2ax1³0，所以，所以，又在内是单调递减的，所以，故选C。评析：此题若用y=x2ax1，xÎ的最小值非负的方法来解，就太复杂了。（七）