初中几何证明题库：矩形

1、(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；(2)如图2,当4AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC勺中点;(3)如图2,在(2)的条件下，求折痕 FG的长.【答案】解：(1)由折叠的性质可得，GA=GE/AGFWEGF.DC/AB,ZEFGAGF./EFGWEGF.EF=EG=AG，四边形AGEF平行四边形(EF/AGEF=AG。又AG=GE.四边形AGEF菱形。DrAGS(2)连接ONAED是直角三角形，AE是斜边，点。是AE的中点,AED的外接圆与BC相切于点N,ONLBG点。是AE的中点,ON是梯形ABCEB勺中位线。.点N是线段BC的中点。(3) OEO

2、N均是4AED的外接圆的半径，OE=OA=ON=21.AE=AB=4在RtMDE中，AD=2AE=4,./AED=30。FG=2OF在RtOEF中，OE=2ZAED=30,OF【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】(1)根据折叠的性质判断出AG=GE/AGFWEGF再由CD/AB得出/EFGWAGF从而判断出EF=AG得出四边形AGEF平行四边形，从而结合AG=GE可得出结论。(2)连接ON则ONLBG从而判断出ON是梯形ABCE勺中位线，从而可得出结论。(3)根据(1)可得出AE=AB从而在RtADE中，可判断

3、出/AED为30°，在RtAEFO中求出FQ从而可得出FG的长度。8.依次连接一次I形场地ABCD勺边ARBGCDDA的中点E、F、GH,得到四边形EFGHM为边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=10米，BC=10，3米，当PM+PH的和为最小值时，EP的长为。10.如图，在矩形ABCD43,AD=4cmAB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合)，连接PD,过点P作PQLPR交直线BC于点Q.(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；(2)连接AC,若PQ/AG求线段BQ的长(用

4、含m的代数式表示)；(3)若4PQD为等腰三角形，求以P、QCD为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围.1.已知长方形ABCDAB=3cmAD=4cm过对角线BD的中点。做BD的垂直平分线EF,分别交ARBC于点E、F,则AE的长为.例2.如图，在矩形ABC邛，AD>AB,将矢I形ABC所叠，使点C与点A重合，折痕为MNJ连结CN若4CDN的面积与CMN的面积比为1：4,则MN的值为【】BME了LAZiBMCA.2B.4C.2a/5D.2医【答案】Do【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点N作NGLBC于G,由四边

5、形ABCD矩形，易彳#四边形CDN虚矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCNM菱形，由CDN的面积与CMN的面积比为1:4,根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN:CM=14,然后设DN=x,由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：过点N作NGLBC于G,四边形ABCD矩形，四边形CDNG1矩形，AD/BG.CD=NGCG=DN/ANM=CMN由折叠的性质可得：AM=CM/AMN=CMN，/ANM=AMN.AM=AN.AM=CM，四边形AMCN!平行四边形。AM=CM四边形AMCN1菱形。,CDN的面积与CMN的面积比为1:4,DNNCM=1:4。设DN=k贝UAN=AM=CM=CN=

6、4）AD=BC=5xCG=>.BM=xGM=3x在RtCGN中，NG'CN2CG244x2x2xT5x,在RtAMNG,MNJgM2NG2J3x2Kl5x2=2,6x,幽=也=25故选D。BMxEB V G C例1.如图，在矩形ABC邛，点E,F分别在BC,CD上，将ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B'处，又将CEF沿EF折叠，使点C落在EB'与AD的交点C'处.则BCAB的值为。【考点】翻折变换（斶可题），折畲的性质，矩形的性质，平行的性质，等胰二培形的性质.全等三角形的判定和性质，锐角三角函裁定义，特殊角的三曲函鼓值.D1分折联接CC，;将AAB

7、E沿AE折餐，庾点R落在AC上的点B处,又将也再沿EF折叠使点C落在EB与AD的交点C处p*ZDC'C=ZECCfi /ECS/DCt.，EC=EC，EC'C=NECC',ICC,是/ECD的平分绕。'/ZCBV=ZD=90%C'C=bC,ACBfCACT)CJ(AAS)H二CB'=CD。又二AB三AB,.B是对编线AC中点，WAC=2AB./-ZACE=30.AB.*.tan2ACB=ten30o=BC例3.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G

8、处，PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH4(1)求证：/APB至BPH(2)当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；(3)设AP为x,四边形EFGP勺面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)如图1,PE=BEEBPhEPB又/EPHWEBC=90,/EPH-/EPBhEBO/EBP即/PBCWBPH又AD/BG，/APB至PBC，/APB至BPH(2)PHD的周长不变为定值8。证明如下：如图2,过B作BQLPH垂足为Q由(1)知/APB至BPH又/A=ZBQP=90,BP=BP.AB

9、国AQBP(AAS。.AP=QPAB=BQ又.AB=BCBC=BQXvZC=ZBQH=90,BH=BH.BC由BQH(HL)。.CH=QH .PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3)如图3,过F作FM/LAB,垂足为M,贝UFM=BC=AB又EF为折痕，EF±BR /EFM廿MEFWABP吆BEF=90。./EFMWABP又./Am/EMF=90,AB=MEEFMABPA(ASA。EM=AP=x2 在RtAPE中，(4BE) 0< 一 < 4 , .当 x=2 时，S有最小值 6。,正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质,勾

10、股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出/ PBCW BPH 进而利用平行线的性质得出/ APB4PBC 即可得出答案。（2）先由AAS证明4AB国AQBP从而由 HL得出ABC阴 BQH即可得 CH=QH因此，4PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CDe8to（3）利用已知得出 EFW 4BPA从而利用在RtAPE中，（4-BE） 2+x2=B邑 利用二次函数的最值求出即可。4.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形 ABCD若AD= 6cm,ZABC= 60° ,则四边形 ABCD勺面积等于cm2.+x2=BE

11、2,即BE2+82XCFBEEM2+X。8又.四边形PEFGf四边形BEFCir等，c 1S BE21 CF BC=22，X 4+ x41 9124= x2 2x+8= x 2 +6。22【考点】翻折变换（折叠问题）例2.如图，矩形 ABCN, AB=2, AD=4 AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,则EF= E £)R F C【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理;【分析】连接EC,AGEF相交于点O。AC的垂直平分线EF,AE=EC四边形ABCDt矩形,/D=ZB=90°,AB=CD=2AD=BC=4AD/BG.AOHA

12、COF.AOOEoOCOFOA=OCOE=OF即EF=2OE在RtCED中，由勾股定理得：CE=CD2+ED,即CE=(4-CE)2+22,解得：QE=5。2在RtABC中，AB=2,BC=4,由勾股定理得：AC=2m5,.1.CO=v5o在RtCEO中，CO=5,CE=5,由勾股定理得：EO=。EF=2EO<5o22例3.已知一个矩形纸片OACB将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点BC重合)，经过点QP折叠该纸片，得点B'和折痕OP设BP=t.(I)如图，当/BOP=300时，求点P的坐标；(n)如图，经过点P再次折

13、叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C'和折痕PQ若AQ=m试用含有t的式子表示m（出）在（n）的条件下，当点C'恰好落在边oa上时，求点p的坐标（直接写出结果即可）.【答案】 解：（I）根据题意，/ OBP=90 , OB=6在RtOBP中，由/BOP=30,BP=t,得OP=2t。.Op=og+BP2,即（2t）2=62+t2,解得：11=23,t2=-2/3（舍去）.点P的坐标为（24,6）。（n）OBP、QQCP分别是由OBPAQCP折叠得到的， .OBPAOBPAQC3AQCP ./OPB=/OPB/QPC=/QPC /OPB+/OPB+QPC+/QPC=180,/OP

14、B+QPC=90。OB BPPC CQ ZBOP+OPB=90,.BOP=CPQ又./OBP=C=90,.OBbAPCQ由题意设BP=t,AQ=mBC=11,AC=6贝UPC=11t,CQ=6-m6t.1211-。m-t-t6（0vtv11）。11t6m66（m）点p的坐标为（11；13,6）或（11+：13,6）。【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理,相似三角形的判定和性质。3小【分析】（I）根据题意得，/OBP=90,OB=。在RtOBP中，由/BOP=30,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。(n)由OBP

15、、AQ(CP分别是由4034AQCP折叠得到的，可知 0B陛AOBP QC七AQCP易证得0BbAPC(Q然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。(出)首先过点P作PH0A于E,易证得APCEsACQA由勾股定理可求得C'Q1O11的长，然后利用相似二角形的对应边成比例与m-t211t6,即可求得t的值：66过点P作PE!0A于E,./PEA4QAC=90°。 /PCE+/EPC=90°。 /PCE+ZQCA=90°,/EPC=/QCA。.PEPC .PCEsACQAoACCQ .PC=PC=1Jt,PE=0B=6AQ=mCQ=CQ=6mACJCQ2

16、AQ243612m。611t，O3612m6m-Ju 即 611 t 6 m t11 t ,6 m662j二一，即3612m=t2。3612mt36=0 。解得将m-t2t6代入，并化简，得3t222t66t11113,11+133'230.点P的坐标为（113。13,6）或（11+；13,6）。5.有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图。将这两张纸条交叉重叠地放在起，重合部分为四边形ABCD则AB与BC的数量关系为例1.如图，矩形ABC/,E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE延长BG交CD于F点，若CF=1,FD=2贝UBC的长为【】A. 3 2【答案】B。【考

17、点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。& M【分析】过点E作EMLBC于M,交BF于.四边形ABC虚矩形，.A=ZABC=90,AD=BC ./EMB=90,.四边形ABME矩形。.AE=BM由折叠的性质得：AE=GE/EGN=A=90°,EG=BM ./ENGgBNMEN3BNM(AAS。，NG=NM E是AD的中点，CM=DE.-AE=ED=BM=CM EM/CD，BNNF=BMCM.BN=NF.NM=1CF=1。.NG=1。2221 5BG=AB=CD=CF+DF=3BN=BGNG=3-5OBF=2BN=52 2B

18、CJBF2CF2J52122<6。故选Bo例2.如图，点D是ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BDBF为邻边作平行四边形BDEF又AP'BE（点P、E在直线AB的同侧），1如果BDAB,那么PBC勺面积与AB画积之比为【】4D EA.1B.3C.1D.34554【答案】Do【考点】平行四边形的判定和性质。D £【分析】过点P作PH/BC交AB于H,连接CHPF,P巳.ApZbE,四边形APE呢平行四边形。，PE区AR, 四边形BDEF平行四边形，.EFBD .EF/ARP,E,F共线。设BD=a, 21-BD-AB,PE=AB=4

19、a。.PFPE-EF=3a。.PH/BCSHBCFS/xPBS.PF/AR.二四边形BFPH是平行四边形。.BH=PF=3aSzxhbc：Saab(=BHAB=3a4a=3:4,Szxpbc：SaabC=3：4o故选D。例3.如图，P是矩形ABCDJ的任意一点，连接PAPRPGPD,得到PABAPBCAPCIDPDA设它们的面积分别是S、5、S3、S4,给出如下结论：S1+S2=S3+S4S2+S4=Sl+S3若S=2Si,则$=2S2若Si=S2,则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】。【考点】矩形的性质，相似【分析】如图，过点P分别作四个三

20、角形的高，APD以AD为底边，PBC以BC为底边，此时两三角形的高的和为AB,$+与=1S矩形ABCD；21 一同理可得出4+$二S矩形ABCD>2 .S2+S=Sl+S3正确，则Sl+S2=S3+S4错误。若S3=2S,只能得出APD与PBC高度之比，S4不一定等于28;故结论错误。如图，若Si=S>,贝U-XPFXAD=-XPBAB,22 .APD与4PBA高度之比为：PF:PE=AB:AD。 /DAEWPEA至PFA=90,.四边形AEPF是矩形，矩形AEPQ矩形ABCD连接AGPF:CD=PE:BC=APAC,即PF:CD=AF:AD=APAG .APMAACIDZPAF=

21、/CAD.点A、P、C共线。，P点在矩形的对角线上。故结论正确。综上所述，结论和正确。例6.如图(1),在矩形ABCD43,把/日ZD分别翻折，使点BD分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CMAN.(1)求证：AN国ACBM.(2)请连接MRNE证明四边形MFNE平行四边形，四边形MFNE菱形吗？请说明理由？(3)P、Q是矩形的边CDAB上的两点，连ZPQCQMN如图(2)所示，若PQ=CQPQ/MN且AB=4,BC=3求PC的长度.图（2）图(D【答案】（1）证明：二.四边形ABC虚矩形，D=/B,AD=BCAD/BG./DACWBCA又由翻折的性质，得/DAN=NAF/ECM4BC

22、M/DAN=BCM.AN国ACBIM(ASA)°4MB(2)证明：.AN国ACBIMDN=BM又由翻折的性质，得DN=FNBM=EM.FN=EM又/NFA至AC*/CNF=/BAO/EMAgMEC.FN/EM.四边形MFNE平行四边形。四边形MFNE是菱形，理由如下：由翻折的性质，得/CEM=B=90°,在4EMF中，/FEM>/EFM，FM>EM.,四边形MFN环是菱形。IIMOB(3)解：AB=4BC=3，AC=5设DN=x则由Saad(=Saand+Sanac得333x+5x=12,解得x=-,即DN=BM3。22过点N作NHLAB于H,则HM=k3=1。

23、在ANHM43,NH=3HM=1由勾股定理，得NM=10o PQ/MNDC/AB, 四边形NMQP1平行四边形。.NP=MQPQ=NM=10o又.POCQ,CQ'而。在CBQ中，CQ=10,CB=3由勾股定理，得BQ=1。 .NP=MQ1。PC=431=2。222【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。【分析】(1)由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到AN国ACBIM(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。(3)设DN=x，则由Saadc=Saand+Sanac可彳导DN=BM=3。过点N作NHLAB于H,则由2勾股定理可得NM=10,从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ即可求得CQ=10o因此，在4CBQ中，应用勾股定理求得BQ=t从而求解。例2.如图，圆柱形玻璃杯高为12cmr底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.点A关于杯上沿 MNM勺对称点B,连接BC交MW点P,连接BM过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP由已知和